数学 IA – p.2/6

数学 IA

微分方程式の基本

新居 俊作

微分方程式

数学 ^{IA – p.2/6}

微分方程式＝物理現象を微積分を用いて記述する

微分方程式＝物理現象を微積分を用いて記述する

[例^] 放射性物質が崩壊する速度は,その物質が現在存在する量に比例する. 時刻 に存在する物質の量を とすると 時間 の間に崩壊する量 は を

比例定数として は減少するので

と表される

ここで の極限をとると の微分を含んだ次の方程式が得られる

この様な 未知関数 上の場合は の微分を含む方程式を微分方程式とよぶ

数学 ^{IA – p.4/6}

微分方程式＝物理現象を微積分を用いて記述する

[例^] 放射性物質が崩壊する速度は,その物質が現在存在する量に比例する.

時刻 t に存在する物質の量を y(t) とすると, 時間 [t, t + ∆t] の間に崩壊する量 ∆y は k を 比例定数として (y(t) は減少するので k < 0):

∆y = ky(t)∆t i.e. ∆y

∆t = ky(t) と表される.

ここで の極限をとると の微分を含んだ次の方程式が得られる

この様な 未知関数 上の場合は の微分を含む方程式を微分方程式とよぶ

微分方程式＝物理現象を微積分を用いて記述する

[例^] 放射性物質が崩壊する速度は,その物質が現在存在する量に比例する.

時刻 t に存在する物質の量を y(t) とすると, 時間 [t, t + ∆t] の間に崩壊する量 ∆y は k を 比例定数として (y(t) は減少するので k < 0):

∆y = ky(t)∆t i.e. ∆y

∆t = ky(t) と表される.

ここで ∆t → 0 の極限をとると y(t) の微分を含んだ次の方程式が得られる:

dy

dt = ky この様な 未知関数 上の場合は の微分を含む方程式を微分方程式とよぶ

数学 ^{IA – p.4/6}

微分方程式＝物理現象を微積分を用いて記述する

[例^] 放射性物質が崩壊する速度は,その物質が現在存在する量に比例する.

時刻 t に存在する物質の量を y(t) とすると, 時間 [t, t + ∆t] の間に崩壊する量 ∆y は k を 比例定数として (y(t) は減少するので k < 0):

∆y = ky(t)∆t i.e. ∆y

∆t = ky(t) と表される.

ここで ∆t → 0 の極限をとると y(t) の微分を含んだ次の方程式が得られる:

dy

dt = ky

この様な, _未知関数 (_{上の場合は} y(t)) _{の微分を含む方程式を微分方程式とよぶ}.

基本的な用語

数学 ^{IA – p.5/6}

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

二つ以上の独立変数 等 の未知関数 等 及びその偏導関数 を含む方程式を偏微分方程式とよぶ

常 偏 微分方程式に含まれる 偏 導関数の最高階数を その微分方程式の階数と よぶ

階常微分方程式で の形の方程式を 正規形の常微 分方程式とよぶ

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび 個々 の特定の関数を特殊解とよぶ

階常微分方程式で 変数がある特定の値 等 の時の未知関数の

階までの導関数の値 等 を指定する条件を初期条件とよぶ 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

常 偏 微分方程式に含まれる 偏 導関数の最高階数を その微分方程式の階数と よぶ

階常微分方程式で の形の方程式を 正規形の常微 分方程式とよぶ

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび 個々 の特定の関数を特殊解とよぶ

階常微分方程式で 変数がある特定の値 等 の時の未知関数の

階までの導関数の値 等 を指定する条件を初期条件とよぶ 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

数学 ^{IA – p.6/6}

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

階常微分方程式で の形の方程式を 正規形の常微 分方程式とよぶ

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび 個々 の特定の関数を特殊解とよぶ

階常微分方程式で 変数がある特定の値 等 の時の未知関数の

階までの導関数の値 等 を指定する条件を初期条件とよぶ 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび 個々 の特定の関数を特殊解とよぶ

階常微分方程式で 変数がある特定の値 等 の時の未知関数の

階までの導関数の値 等 を指定する条件を初期条件とよぶ 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

数学 ^{IA – p.6/6}

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

•

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび, _個々 の特定の関数を特殊解とよぶ.

階常微分方程式で 変数がある特定の値 等 の時の未知関数の

階までの導関数の値 等 を指定する条件を初期条件とよぶ 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

•

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび, _個々 の特定の関数を特殊解とよぶ.

•

n 階常微分方程式で, 変数がある特定の値 (t = 0, x = 1 等) の時の未知関数の n − 1 階までの導関数の値 (y(0)y^′(0), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) 等) _{を指定する条件を初期条件とよぶ}. 微分方程式と初期条件を与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問

題とよぶ

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

数学 ^{IA – p.6/6}

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

•

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび, _個々 の特定の関数を特殊解とよぶ.

•

n 階常微分方程式で, 変数がある特定の値 (t = 0, x = 1 等) の時の未知関数の n − 1 階までの導関数の値 (y(0)y^′(0), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) 等) _{を指定する条件を初期条件とよぶ}. 微分方程式と初期条件を与えられて,それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ.

常微分方程式を区間 で考える時 未知関数又はその導関数の

等 での極限値を与える条件を境界条件とよぶ 微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

•

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび, _個々 の特定の関数を特殊解とよぶ.

•

n 階常微分方程式で, 変数がある特定の値 (t = 0, x = 1 等) の時の未知関数の n − 1 階までの導関数の値 (y(0)y^′(0), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) 等) _{を指定する条件を初期条件とよぶ}. 微分方程式と初期条件を与えられて,それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ.

•

_{常微分方程式を区間} (α, β) で考える時, 未知関数又はその導関数の x → α, β (or t → α, β 等) での極限値を与える条件を境界条件とよぶ.

微分方程式と境界条件を 与えられて それらを満たす特殊解を求める問題を境界値問題とよぶ

数学 ^{IA – p.6/6}

基本的な用語

•

_{一つの独立変数} (t, x _等) _{の未知関数} (y(t), y(x) 等) _{及びその導関数} y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁾ を含む方程式を常微分方程式とよぶ.

•

_{二つ以上の独立変数} (x, y _等) _{の未知関数} (u(x, y) 等) _{及びその偏導関数} u_x, u_y, u_xx, u_xy, u_yy, . . . _{を含む方程式を偏微分方程式とよぶ}.

•

(_常 or _偏) _{微分方程式に含まれる} (_偏) _{導関数の最高階数を}, _{その微分方程式の階数と} よぶ.

•

n _{階常微分方程式で} y⁽ⁿ⁾ = f(x, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾) の形の方程式を, _{正規形の常微} 分方程式とよぶ.

•

与えられた微分方程式を満たす関数の一般的な形をその方程式の一般解とよび, _個々 の特定の関数を特殊解とよぶ.

•

n 階常微分方程式で, 変数がある特定の値 (t = 0, x = 1 等) の時の未知関数の n − 1 階までの導関数の値 (y(0)y^′(0), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(0) 等) _{を指定する条件を初期条件とよぶ}. 微分方程式と初期条件を与えられて,それらを満たす特殊解を求める問題を初期値問 題とよぶ.

•

_{常微分方程式を区間} (α, β) で考える時, 未知関数又はその導関数の x α, β (or