5 多変数関数の積分 - Osaka U

基礎解析学２ (S3)   2011-11-22 5.1

5 多変数関数の積分

5.1 重積分

5.1.1 2 重積分

多変数関数fの積分も, 1変数関数の場合と同様に,積分域Dの分割とDarboux和の極限により定義される. 参考文献: [Hairer–Wanner,§§IV.5.1–5.3], [杉浦,§§IV.2–3, 8–9].以下のStep 1–3, Step 4は‘お話’.

仮定. ^当面, ^積分域D^{は 有界},D^でf (^の値)^{も 有界};^{簡単のため},f ^は2^変数,D⇢R². Step 1. ^積分域D^が長方形[a, b]⇥[c, d]^の場合(^定義5.1–5.3^{とその補足}).

[a, b]⇥[c, d]^の分割 : [a, b]^の分割 x={x0, . . . , xn}^と[c, d]^の分割 y={y0, . . . , ym} の積 _x⇥ y={(xi, yk)|0in,0km};mn^{個の小長方形}Eikへの分割.

の幅| |: ^小長方形Eik= [xi 1, xi]⇥[yk 1, yk]の対角線の長さの最大値. の下Darboux^和s :=P

i,k(inf(x,y)2Eikf(x, y))(xi xi 1)(yk yk 1).

のRiemann^和F :=P

i,kf(⇠ik, ⌘ik)(xi xi 1)(yk yk 1) ((⇠ik, ⌘ik)2Eik).

の上Darboux^和S :=P

i,k(sup_(x,y)2Eikf(x, y))(xi xi 1)(yk yk 1).

＊s [S ]^はf ^のグラフz=f(x, y)^を下[^上]^{から近似した体積で},s F S .

＊ 分割 より細かい分割 ⁰ ( ⇢ ⁰)^をとると,s s 0 F 0 S 0 S .

＊s= sup s ^およびS= inf S ^が存在し, ^{任意の分割 に対し},sF S.

定義. s=S^のとき,f^は[a, b]⇥[c, d]で積分可能であるという.

定理(^{区分求積法の原理}). f ^が[a, b]⇥[c, d]^{で積分可能}, “| | ! 0^{なる任意の分割列} { }^{および分割 の代表点}(⇠ik, ⌘ik)2Eikの任意の選択に対し, lim_{| |!}0F ^が存在”.

Step 2. ^積分域Dが一般の場合のための準備(^定義5.4^{とその補足}).

定義. ^長方形R^{の部分集合}A^に対し, A^{の定義関数} Aを, (x, y)2A^なら A(x, y) = 1, (x, y)62A^なら A(x, y) = 0^{によって定義する}. Step 1^の意味で AがR^{で積分可能であ} るとき,Aは面積確定であるといい, Riemann^{和の極限値を}A^{の面積と呼び},v(A)^で表す.

※ 底面A,高さ1の柱体の体積をAの面積とみなす;v(A)はAを包むRによらない.

※n変数(n重積分)のとき,v(A)をAの‘n次元体積’という; 1, 2次元体積はそれぞれ長さ,面積.

補題. ^有界集合B ⇢R^2に対し,^次は同値: (i)B^は面積0; (ii)^任意の" >0^に対し,^有限 個の長方形R1, R2, . . . , R`でB⇢S`

k=1Rk,P`

k=1v(Rk)< "をみたすものが存在する.

※ 補題(ii)で‘有限個’を‘可算無限個’にしたとき, “BはLebesgue測度0”という.

※‘Lebesgue測度0’と対比させるとき, ‘面積0’をJordan測度0ともいう.

※Bが面積0 (Jordan測度0))BはLebesgue測度0.

命題. ^有界集合A⇢R^2に対し, ^次は同値: (i)A^{は面積確定}; (ii)A^の境界@A^は面積0.

※Aの境界@Aとは,Aの境界点[南, p.130]全体からなる集合のこと.

定理. ^長方形R^{上の有界関数}f^に対し,^次は同値: (i) f^{は積分可能}; (ii)f ^{の不連続点から} なる集合B^はLebesgue^測度0. ^特に,B^が面積0^ならば,f^はR^{で積分可能}.

Step 3. ^積分域D^{が一般の場合}(^定義5.5^{とその補足}).

定義. ^{面積確定集合}Dを包む集合で定義された有界関数f ^に対し,^関数f DがD^を包む 長方形R^{で積分可能であるとき},f^はDで積分可能であるといい, Riemann^{和の極限値を} f^のD^{上の積分と呼び},R

Df(x, y)dxdy(=R

Rf(x, y) D(x, y)dxdy)^で表す.

※R

Df(x, y)dxdyをRR

Df(x, y)dxdyと書く流儀もあるが,変数が多いと書きにくい.

※ 表記dxdyは主流だが歴史的;d(x, y)などの方が現代的で変数変換(§5.2)と相性がよい.

基礎解析学２ (S3)   2011-11-29 （配付直後微修正） 5.2

定理5.1^⇤ D^{は有界な閉領域},D^の境界@Dは 区分的に滑らか または 区分的に連続関数の グラフ,^関数f^はD @D^{で連続であるとする}. ^このとき,f ^はD^{上で積分可能である}.

※‘区分的に’とは, ‘有限個の点を除いて’という意味だった[南, p.131 (次#も)].

※ 曲線{(x(t), y(t))}が‘滑らか’とは, ‘x(t), y(t)がC¹級,x⁰(t)²+y⁰(t)²6= 0’だった.

※ 曲線が‘連続関数のグラフ’とは, ‘{(x, '(x))}[{( (x), y)}] ('[ ]は連続)と書ける’.

※[南]のように単に‘@Dは 連続’では,@Dが面積をもってしまうこと(Peano曲線)もあるのでダメ. 略証 条件の下で@Dが面積0であることが示されるから, Step 2の定理よりOK.

定理5.2^⇤ 2^重積分も, 1変数関数の積分と同様に,^{次の各性質をもつ}. (1) (^線型性) ^{任意の定数}R c,d^に対し,

D(c f(x, y) +d g(x, y))dxdy=c R

Df(x, y)dxdy+dR

Dg(x, y)dxdy.

(2) (^加法性) D=D1[D2かつDR1\D2=; (^{または面積}0)^ならば,

Df(x, y)dxdy=R

D1f(x, y)dxdy+R

D2f(x, y)dxdy.

(3) (^{順序保存性}) D^でf(x, y) g(x, y)^ならば, R

Df(x, y)dxdy R

Dg(x, y)dxdy.

略証 1変数関数の積分と同様に,区分求積法の原理(Step 1の定理)からすぐ.

Step 4. 2^{変数関数の広義積分}(^定義5.6^{とその補足}[^杉浦,§VII.1]).

再仮定. (0)^積分域D^{が有界でないか},^または, D^で関数f ^{が有界でない}. (1)^有界な‘^領域’^{の境界は定理}5.1^{⇤の仮定をみたす}.

(2)^任意のr >0^に対し,D\ {(x, y)|x²+y²r²}^{は面積確定である}. 定義. D1⇢D2⇢ · · · ⇢D,S₁

n=1Dn =Dをみたす有界閉領域の拡大列{Dn}^が存在し, f^はD^{を包む集合で定義され},^任意のDn上で有界かつ積分可能であるとする. ^このとき,

nlim!1

R

Dn|f(x, y)|dxdy^{が存在するならば},f ^はD上で広義積分可能であるといい,^極限値

nlim!1

R

Dnf(x, y)dxdy ^をf ^のD^{上での広義積分と呼び},R

Df(x, y)dxdy^で表す.

※ 広義積分R

Df(x, y)dxdyは有界閉領域の拡大列{Dn}の取り方によらない.

※ 広義積分の絶対収束性(limnR

Dn|f(x, y)|dxdyの存在)を仮定しないと,有界閉領域の拡大列{Dn}の取り   方で値が変わる場合[杉浦,§VII.1,例8]がある;したがって, [南]の定義のままではダメ.

定理5.3 D={(x, y)|axb, '(x)y (x)} (', ^は[a, b]^で連続),^関数f^はD 上で連続であるとする. ^このとき,R

Df(x, y)dxdy=Rb a

⇣R (x)

'(x) f(x, y)dy⌘ dx.

略証 定理5.1^⇤より, fはDで2重積分可能. f がDで連続だから,各xについてyの関数としてf は 連続で積分可能. ', は連続だから,xの関数として右辺(·)内は連続で積分可能. したがって, Riemann 和F = P

i

P

kf(⇠ik, ⌘ik)(yk yk 1) (xi xi 1) において, “| | ! 0のときF !左辺”より,

“| y| !0の後に| x| !0とするとF !右辺”.

※ 右辺=Rb

adxR (x)

'(x) dy f(x, y)などの演算子的記法も数学以外ではしばしば使われる.

※ 実は,右辺は累次積分または反復積分と呼ばれ,左辺の2重積分とは異なる概念である.

※“2重積分可能)累次積分可能”である(Fubini)が,逆は一般には成り立たない(次の例).

※f(x, y) =_(x+y)^{x y}3 はD= [0,1]²において累次積分可能だが,積分R1 0dx,R1

0dyの順序によって値が異なり,  2重積分可能ではない[Hairer–Wanner,§IV.5.6].

課題11/22 [1]^略解例 (A) 5.4 R1 1

⇣R1 x²

0 x²y dy⌘

dx=R1 0

⇣R^p1 y

p1 yx²y dx⌘

dy= ₁₀₅⁸ . 5.5 06=xy!0^のとき|f(x, y)|  |xy| !0^だから,f^は[ 1,1]^{2で連続ゆえに積分可能}. (B) 5.5^⇤ f(x, y) = sin_xy^{1 は}B= ([ 1,1]⇥ {0})[({0} ⇥[ 1,1])^で不連続. ^任意の" >0 に対し,B⇢A= ([ 1,1]⇥[ ^"₈,^"₈])[([ ^"₈,^"₈]⇥[ 1,1]),v(A)<^"₂+^"₂="^より,B^は 面積0. ^よって,f^は[ 1,1]^{2で積分可能}. [^別解] R

[0,1]²sin_xy¹ dxdy=R

[1,1)² sin(uv)

(uv)² dudv なる変数変換において,R

[1,1)² sin(uv)

(uv)² dudv R

[1,1)² 1

(uv)²dudv = 1^{より右辺が絶対収} 束するから,^{左辺は広義積分可能}. ^第2–4^{象限も同様}. ^よって,f ^は[ 1,1]^{2で積分可能}.

基礎解析学２ (S3)   2011-11-29 5.3

5.1.2 微分と積分および極限と積分の順序交換

微分も積分も極限操作である. 極限操作は一般には交換可能ではない(^例えば, ^m_n ^に対し,

nlim!1 lim

m!1 m

n =1 6= 0 = lim

m!1 lim

n!1 m

n). ^{この小節では},^累次積分(^定理5.3)^{に関連して}, 微分と積分,極限と積分の交換可能性に関する十分条件を述べる.

定理 5.4 [a, b] ⇥ I (I ⇢ R は任意の区間 ) 上で定義された関数 f (x, y) とそ の偏導関数

^@f

@y

(x, y) がともに連続であるとき , y の関数として R

b

a

f (x, y) dx は I 上で C

¹

級であり ,

_dy^d

R

b

a

f (x, y) dx = R

b a

@f

@y

(x, y) dx が成り立つ .

略証 F(y) :=Rb

a f(x, y)dx. ^F(y)_{y y}^F(y₀ ⁰⁾ =Rb a

f(x,y) f(x,y0)

y y0 dx =Rb a

@f

@y(x,9⌘)dx^より,

F(y) F(y0) y y0

Rb a

@f

@y(x, y0)dx Rb a

@f

@y(x, ⌘) ^@f_@y(x, y0) dx!0 (y!y0).

※(^微分の)^{平均値の定理から},y^とy0の間に⌘^が存在し,y!y0のとき⌘!y0.

※‘^{パラメータ}y^付き1^{変数関数族}’f(x, y)の積分で定義された関数F(y)^{の微分可能性}.

※F(y)^{が広義積分}Rb 0

a でも, lim

u!b 0sup|Rb 0 a

Ru

a |= 0 (^{一様収束性})^{をみたせば}OK.

応用 R₁

0 sinx

x dx= ^⇡₂ [^南, pp.98–99]^の計算(^あらすじ). t >0^に対し,f(x, t) :=e ^txsin_x^x, F(t) := R₁

0 f(x, t)dx^とおく. ^広義積分F(t)^{は一様収束}(^上の※)^する. ^定理5.4^より, F⁰(t) = R₁

0 e ^txsinx dx. Ash–Ash^公式64^より,F⁰(t) = [^{e tx( t}_1+t^sin2^{x cosx)}]^x=u_x=0^!1

= _1+t¹2. F(t) =C Arctant. lim

t!1F(t) = 0^{が示される}. C= ^⇡₂,F(t) = ^⇡₂ Arctant.

t!lim+0F(t) =F(0)^{が示される}. ^{したがって},R₁

0 sinx

x dx=F(0) =^⇡₂.

定理 5.5 [a, b] ⇥ Y (Y ⇢ R は空でない任意の部分集合 ) 上で定義された関数 f(x, y) が , (i) 有界 , (ii) 各 y に対し x について積分可能 , (iii) 極限 lim

y!c

f (x, y) が存在し積分可能 , をみたすとき , lim

y!c

R

b

a

f (x, y) dx = R

b a

lim

y!c

f (x, y) dx.

略証 g(x) := lim

y!cf(x, y). Rb

a f(x, y)dx Rb

a g(x)dx Rb

a |f(x, y) g(x)|dx_y!

!c0.

※Arzel`a^{による定理};^{有界性が本質}; [^南, p.193]^は‘^積分可能’^より強く‘^連続’^と仮定.

※ べき級数g(x) = lim

N!1

PN

n=1fn(x) (y=N, c=1)などの項別積分可能性に応用.

※(i)^は“9M(x),8" >0,Rb

a |f(x, y) g(x)|dx"Rb

aM(x)dx="·^定数”^でもOK.

応用 P₁

n=1 1

n² = ^⇡₆² [Euler (1741)]^の計算(^あらすじ). Arcsinx^をMaclaurin^{展開すると},

|x|  1^のときArcsinx=P₁

n=0 (2n 1)!!

(2n)!!

x²ⁿ⁺¹ 2n+1. R1

0

Arcsinx

p1 x² dx= [¹₂(Arcsinx)²]¹₀ = ^⇡₈². R1

0 x²ⁿ⁺¹

p1 x²dx = R⇡/2 0

sin²ⁿ⁺¹t

p1 sin²td(sint) = _(2n+1)!!^(2n)!! [^南, p.98^例題3.4]. g(x) = ^Arcsinp_{1 x}2^x, f(x, N) =PN

n=0 (2n 1)!!

(2n)!!

x²ⁿ⁺¹ (2n+1)p

1 x²,M(x) =p ¹

1 x² として, ^定理5.5 (^と上の※)^より, P₁

n=0 1

(2n+1)² =^⇡₈². s=P ₁

n² =^⇤P ₁

(2n+1)²+P ₁

(2n)² = ^⇡₈²+¹₄s^より,P₁

n=1 1 n² = ^⇡₆².

＊ 絶対収束する級数は項の順序を入れ替えても和は変わらない[南, p.253定理6.3].

※1644にMengoliが提起した‘Basel問題’; LeibnizもBernoulli兄弟も求められなかった.

※Eulerの最初のアイデア[Euler (1735)]は, ^sinx_x の無限積表示^sinx

x =Q₁

n=1(1 _n^x2²⇡²)とMaclaurin展   開 ^sinx

x =P₁

n=0( 1)ⁿ_(2n+1)!^x2n でx²の係数を比較するという,厳密性を欠くものだった.

注意 自然科学で扱う関数はほとんどが定理5.4,定理5.5の十分条件をみたすので気にせず 順序交換できるが,そうでない特殊な状況(絶対零度や相転移点など)もあるので注意せよ.

基礎解析学２ (S3)   2011-12-06 5.4

復習[§5.1重積分] 重積分も定義が一番難しい;押さえておくべきポイントをまとめる.

•^{重積分は積分域}D^を‘^底面’,^関数の値f(x, y)^を‘^高さ’^とする‘^棒グラフ’^全体の‘^体積’.

•^積分域D^の境界@Dが区分的に滑らかならば,@D^は面積0^なので,^{積分値には無関係}.

•^関数f(x, y)^{の不連続点}(x, y)^{全体が積分域}D^で面積0^ならば,f ^はD^{で重積分可能}.

•^重積分R

Df(x, y)dxdy^{可能な関数}f ^は,^累次積分[Rb a

R (x)

'(x) f(x, y)dy dx^等]^可能.

•微分/極限と積分に関する交換可能定理は, 難しい具体的計算の遂行などに応用される.

5.2 変数変換

5.2.1 Jacobi 行列

注意 5.2.3^{での応用に合わせて},^以下[^南]^の(u, v)^と(x, y)^{を入れ替えて表記する}.

＊ 微分可能な1^変数関数g(u)^{の全微分は}dg=g⁰(u)du^だった(p.169).

＊ 微分可能な2^変数関数g(u, v)^{の全微分は}dg= (gu, gv) ^du_dv ^だった(p.170).

  ※dg=gudu+gvdvの右辺を行列の積で書いた.

  ※gの微分g⁰= (gu, gv)とrg, gradgの関係など(基礎解析学1,ハンドアウトp.4.5)を復習せよ.

微分可能な 2 次元ベクトル値 2 変数関数 g(u, v) =

^x(u,v)_y(u,v)

の全微分は , 各 成分の全微分をまとめて , dg =

^dx_dy

= (

^xyu^uxy^vv

)(

^du_dv

) と行列表示される .

※ 係数(^xy^uu^xy^vv)^はg^の微分g⁰;u= (^uv)^{とベクトル表記すると},dg=g⁰(u)du.

※ 全微分dg^とは,^各点u^ごとにg^を1^{次近似する}1^次変換:R²!R^{2 の}‘^族’ (1, p.4.8).

微分可能な 2 次元ベクトル値 2 変数関数 g(u, v) =

^x(u,v)_y(u,v)

の全微分の微分 係数 g

⁰

= (

^xyu^uxy^vv

) を , g の Jacobi 行列と呼び J

g

などで表すことがある .

※ 上のg^のJacobi^行列Jgは2^{次正方行列に値をとる}2^{変数の関数}.

※ 一般に,g^がm^{次元ベクトル値}n^{変数関数のとき},Jgはm⇥n^行列値n^変数関数.

5.2.2 Jacobi 行列式

微分可能な 2 次元ベクトル値 2 変数関数 g(u, v) =

^x(u,v)_y(u,v)

の Jacobi 行列 J

g

= (

^xy^uu^xyv^v

) の行列式を , g の Jacobian と呼び

^@(x,y)_@(u,v)

で表す .

※ ^@(x,y)_@(u,v)をg^のJacobi行列式と呼ぶこともある; ^@(x,y)_@(u,v)と異なる記号を使うこともある.

※ 公式^@(x,y)

@(u,v)

@(u,v)

@(z,w) =_@(z,w)^@(x,y),^特に@(x,y)_@(u,v)^@(u,v)_@(x,y) = 1は線型代数の基礎だが重要(^例題5.4).

※ 上のg^のJacobian ^@(x,y)_@(u,v) ^{は実数値をとる}2^{変数の関数}.

※ 一般に,n^{次正方行列値}n^変数関数Jgの行列式 ^@(x1,...,xn)

@(u1,...,un) は実数値n^変数関数. 考察 R^{2において}, (^ac), ^b_d で張られる平行四辺形を ^{a b}_{c d} で表すことにする. ^正方形 /^{1 0}_{0 1}/^に左から(^xyu^uxyv^v)^{をかけると平行四辺形}/^xyu^uxy^vv/^になる: (^xy^uu^xyv^v) /^{1 0}_{0 1}/ = /^xy^uu^xy^vv/.

この1^{次変換において},^{面積拡大率は}/^xy^uu^xy^vv/^の面積, ^すなわち|xuyv xvyu|= _@(u,v)^@(x,y) . しかも, ^@(x,y)_@(u,v) <0,“^変換/^{1 0}_{0 1}/!/^xy^uu^xy^vv/^が反転” ,“^回転(^xyu^u)!(^xy^vv)^{が負の向き}”.

したがって, /^xy^uu^xy^vv/ の面積を反転か否かで符号付き ^@(x,y)

@(u,v) のまま表すとスッキリする.

基礎解析学２ (S3)   2011-12-06 5.5

5.2.3 積分の変数変換

考察 1変数関数の積分の変数変換(^置換)^はRx( )

x(↵) f(x)dx=R

↵f(x(u))^dx_dudu(^定理3.11) だった. ^{簡単のため},x(↵) =a < b=x( )^{と仮定する}. ^dx_du <0^のとき,↵ > ^より,^置換 はdu^{の向きを正として}R

[a,b]f(x)dx=R

[ ,↵]f(x(u))^dx_dudu=R

[ ,↵]f(x(u)) ^dx_du du と書ける. ^さらに,^あえて [ , ↵] =x ¹([a, b]), [ , ↵] =|x ¹([a, b])|^{と書くことにすると}, R

[a,b]f(x)dx=R

x ¹([a,b])f(x(u))^dx_dudu =R

|x ¹([a,b])|f(x(u)) _du^dx du ^と書ける. ^これは

dx

du >0^すなわち↵ < ^{のときも成り立つ}. ^要するに,^積分区間x ¹([a, b])^をdu^の向きに 合わせると,^{置換の微分係数dx}_du ^{に絶対値がつき dx}_du ^{になるのだ}. [南, p.201]

※ ^dx

du は変換[0,1]!^dx_du[0,1]の長さ拡大率であり,閉区間 ^dx

du[0,1]の長さである.

※1変数の積分における置換では,duの向きに合わせた‘符号付き’拡大率[長さ] ^dx_du の方がスッキリしていた.

定理 5.6 ( 変数変換 ) D, D

⁰

を境界が区分的に滑らかな有界閉領域とし , 変換 g を D

⁰

から D の上への C

¹

級写像 , g は D

⁰

の内部 D

⁰

@D

⁰

で 1 対 1 かつ det g

⁰

(u, v) =

^@(x,y)_@(u,v)

6 = 0 とする . f を D 上で連続な関数とする . このとき ,

R

D

f(x, y) dxdy = R

D⁰

f(x(u, v), y(u, v))

^@(x,y)_@(u,v)

dudv.

※ 変数を(x, y)^から(u, v)^{へ変えるとき},^{変換の方向は}(u, v)7!(x, y)^{と逆になる}!

※uv-^{平面の向きとは},微小な長方形の符号付き面積d(u, v) :=du⇥dv^{を正とするもの}.

※d(v, u) = d(u, v)^と考える;n^次元では,d(u (1), . . . , u (n)) = sgn( )d(u1, . . . , un).

※ 上の考察に合わせると,右辺はR

|D⁰|f(x(u, v), y(u, v)) ^@(x,y)_@(u,v) d(u, v)^{と書くべき}.

※ 通常の重積分ではD^{0の向きを}d(u, v)^{の向きに合わせるので},^{絶対値を書かない}.

※ 向きも込めると,^右辺はR

D⁰f(x(u, v), y(u, v))^@(x,y)_@(u,v)d(u, v)^と書け, ^{スッキリする}.

例 5.3

^⇤

直交座標 (x, y ) から極座標 (r, ✓) への変換 g(

^xy

) = (

^r_r^cos_sin✓^✓

) ( 例 4.19) について , J

g

=

^cos_{sin✓ r}^{✓ r}_cos^sin_✓^✓

,

^@(x,y)_@(r,✓)

= r, g([0, a] ⇥ [0, 2⇡]) = { x

²

+y

²

 a

²

} .

※dxdy=r drd✓は幾何学的考察からもわかる;✓^{の範囲は幅}2⇡の閉区間なら何でもよい.

※D⁰ = [0, a]⇥[0,2⇡]はr✓-平面の長方形領域;D=g(D⁰)はxy-平面の円板領域.

※D^0の境界@D^0でg^は1^対1^でないが, @D^0は面積0なので積分の値には関係ない.

例題 5.3

^⇤

(Gauß 積分 ) R

₁

1

e

^x2

dx = p

⇡.

[^南, pp.202–203, pp.205–206]

略解 I := R₁

1e ^x2dx. I² = lim RR

Re ^x2dx RR

Re ^y2dy = limR

SRe ^{x2 y2}dxdy, SR= [ R, R]². DR={x²+y²R²}^として,R

DRR

SR R

Dp2R. ^{極座標変換すると}, R

DRe ^{x2 y2}dxdy=R2⇡

0

RR

0 e ^r2rdr d✓=⇡(1 e ^R2),^同様にR

D^p_2R=⇡(1 e ^2R2).

limR

DR= limR

Dp2R =⇡^より,I²= limR

SR=⇡. ^{したがって},I=p

⇡.

課題11/29 [1]^略解例 (A) 5.6 (2)^{問題の積分}=R2⇡

0

R2 1

p1

1+r²rdr d✓= 2⇡(p

5 p

2).

5.7 (2)u:=x+y, v:=x y. x=^u+v₂ ,y= ^{u v}₂ . ^@(x,y)_@(u,v) = ¹₂. D⁰ := [1,2]⇥[ 1,1].

R

Dxlog(x+y)dxdy=R

D⁰ u+v

2 logu| ¹₂|dudv=R2 1

R1 1

u+v

4 logu dv du= log 2 ³₈. 5.9 (2)R

x²+y²+z²a²(x²+y²)dxdydz=R

ra,0✓⇡,0'2⇡(r²sin²✓) (r²sin✓ drd✓d')

= Ra

0 r⁴dr R⇡

0(1 cos²✓)( cos✓)⁰d✓ R2⇡

0 d' = ¹₅a⁵·⁴₃ ·2⇡=₁₅⁸⇡a⁵.

(B) [^{空間極座標}Jacobian^{の幾何学的考察}] r^方向 r,✓^方向r ✓,'^方向rsin✓ '^から なる‘^微小殻’^の体積がr²sin✓ r ✓ '+ (^高次の項)^だから. [p.202;1, p.4.8,例4.19⁰]

基礎解析学２ (S3)   2011-12-13 （ 2011-12-30 改訂） 5.5a

補足[§5.2^変数変換] 置換考察の例 R1

1f(x)dx ^⇤=¹

x= u

R 1

1 f( u) ( 1)du^⇤=²R1

1f( u) (1)du ^において,⇤1^は x^に uを代入しただけの素直な計算, ⇤2^は2つの負符号を同時にひっくり返す計算技法 である. ^これを, R

[ 1,1]f(x)dx^⇤=¹R

[ 1,1]f( u) ( 1)du^⇤=²R

| [ 1,1]|f( u)| 1|du ^と あえて書こう. ^{このような計算は}, ^dx_du ^{の符号にかかわらず},公式として一般に成り立つ:

Z

[a,b]

f(x)dx^⇤=¹ Z

x ¹([a,b])

f(x(u))dx dudu^⇤=²

Z

|x ¹([a,b])|

f(x(u)) dx du du.

⇤1^{が置換公式であり},⇤2が計算技法であることに注意しよう. 変数変換の例 累次積分R1

1(R1

1f(x, y)dx)dy ^⇤=¹

x= u,y=v

R1 1(R 1

1 f( u, v) ( 1)du)dv^⇤=² R1

1(R1

1f( u, v) (1)du)dv ^において, ⇤1^は(x, y)^に( u, v)を代入しただけの素直な計 算,⇤2^は2つの負符号を同時にひっくり返す計算技法である. ^{これを重積分の形で},^あえて R

[ 1,1]²f(x, y)dxdy^⇤=¹R

[ 1,1]²f( u, v) ( 1)dudv^⇤=²R

| [ 1,1]²|f( u, v)| 1|dudv ^と 書こう. ^{このような計算は}, _@^@(x,y)_(u,v)^{の符号にかかわらず},公式として一般に成り立つ: Z

D

f(^xy)dxdy^⇤=¹ Z

(^xy) ^1(D)f(^x(u,v)_y(u,v))^@(x,y)_@(u,v)dudv^⇤=² Z

(^xy) ^1(D) f(^x(u,v)_y(u,v)) ^@(x,y)_@(u,v) dudv.

⇤1が現代的な変数変換公式であり,⇤2が符号を調整するための計算技法である.

※|_@(u,v)^@(x,y)|=|det(^x_y^u_u^x_y^v_v)|.絶対値| · |と行列式det(·)を区別するため,慣れるまで行列式を| · |と書くな!

※|(^xy) ¹(D)|の絶対値| · |だけ伝統的に書かないので,具体的な計算ではくれぐれも注意すること:   例えば,上の累次積分の例では,⇤2の直後,R1

1

R 1

1 と書いてしまいがちだが,常にR1 1

R1

1とすること.   置換考察の例で言えば,逆方向R 1

1 を無理矢理順方向R1

1にするようなもので,違和感があるかもしれないが,   ^dx_du (^@(x,y)_@(u,v))に絶対値がついている|_du^dx|(|^@(x,y)_@(u,v)|)ので帳尻が合っているのだ.

※ このように,現代的な公式の方がスッキリしているが,応用では伝統的な記法の方が主流なので注意せよ;   現代的な公式も,^@(x,y)_@(u,v) <0の場合, (^x_y) ¹(D)を‘負の面積’を持つ‘底面’として計算しなければならない.

極座標のJacobi^行列 基礎解析学１ハンドアウトp.4.8^例4.19^{0に書いたように},^全微分 の変換(^dx_dy) = ^cos_sin^✓_{✓ r}^r_cos^sin_✓^✓ (^dr_d✓) ^{と微分演算子の公式}(^@/@x_@/@y) =⇣_{cos✓ sin✓/r}

sin✓ cos✓/r

⌘(^@/@r_@/@✓) の間には, Jacobi^行列J^に関し, J = ^cos_{sin✓ r}^{✓ r}_cos^sin_✓^✓ =^t⇣

cos✓ sin✓/r sin✓ cos✓/r

⌘ 1

という関係が ある. この関係は任意の変数変換に対し一般に成立する. ^{空間の極座標}(p.4.6a)^について,

J=^t

✓_{cos' sin' 0}

sin' cos' 0

0 0 1

◆⇣_{sin✓ cos✓ 0}

0 0 1

cos✓ sin✓ 0

⌘ ^{1 0 0}

0 ¹_r 0 0 0 ¹_⇢

!! 1

=

✓_{cos' sin' 0}

sin' cos' 0

0 0 1

◆⇣_{sin✓ cos✓ 0}

0 0 1

cos✓ sin✓ 0

⌘⇣1 0 0 0r0 0 0⇢

⌘

より, ^@(x,y,z)_@(r,✓,') = detJ = 1·1·r⇢=r²sin✓ ^{と計算される}(^練習問題5.9(2)).

※r 0,✓はz-方向✓= 0から z-方向✓=⇡まで,'はxy-平面上x-方向'= 0から1周'= 2⇡.

※xyz-空間の球領域(D)x²+y²+z²a²とr✓'-空間の直方体領域(D⁰) [0, a]⇥[0, ⇡]⇥[0,2⇡]が対応.   直方体領域D⁰の境界@D⁰上で変換は1:1でないが,境界@D⁰は体積0だから,積分の値には関係ない.

※ 全微分の積dx dy dzを計算し,dr, d✓, d'の‘交代性’を使っても, Jacobianr²sin✓が計算できる:  dx dy dz= [(dr) sin✓cos'+r(cos✓ d✓) cos'+rsin✓( sin' d')] (←全微分[dx])        [(dr) sin✓sin'+r(cos✓ d✓) sin'+rsin✓(cos' d')] (←全微分[dy])        [(dr) cos✓+r( sin✓ d✓)] (←全微分[dz]) (↓交代性:d✓ dr= dr d✓,dr²= 0等)       = (r²cos✓sin✓) [(drcos✓)d✓ d'] + ( rsin²✓) [dr( rsin✓ d✓)d'] =r²sin✓[dr d✓ d'].

基礎解析学２ (S3)   2011-12-13 （ 2011-12-20 改訂） 5.6

5.3 曲線とその長さ , 曲率

定義 R^{2の曲線とは},^閉区間[a, b]^からR^{2への連続写像}f(t) = (x(t), y(t))^のこと. 仮定 特に断らない限り, R²の曲線は 区分的に滑らか とする.

※ 一般に,連続写像f: [a, b]!RⁿをRⁿの曲線という.

※t2[a, b]を時刻,f(t)2R²を運動する点の時刻tにおける位置ベクトルと考えよ.

※ パラメータtの取り方(fの定義)によらない像(軌跡)としての曲線の性質が重要.

※ 重要な例:二次曲線,葉線,懸垂線,サイクロイド,レムニスケイト,アステロイド,渦線など. [後見返し参照] 定義 連続写像f: [a, b]!R^2をR^{2の曲線とする}. ^区間[a, b]^の分割 ={x0, . . . , xn}^に 対し, l :=Pn

i=1f(xi 1)f(xi)^とおく. l:= sup l ^を曲線f^の長さ(^弧長)^という.

※ 曲線fの長さlは非負だが,有限とは限らず,無限大1かもしれない(練習問題5.16).

※ 曲線fの長さlは,パラメータ変換x(t)によらず,像のみによる(x(t)の全単射性).

事実 曲線f: [a, b]!R^2の長さl^{が有限のとき}, lim

| |!0l =l[^杉浦, IV§16].

定理 5.7 C

¹

級関数 f(x) のグラフ (x) = (x, f (x)) について , a  x  b の 部分に相当する の曲線としての長さ l は , l = R

b

a

p 1 + f

⁰

(x)

²

dx.

※ 速度(^接)^ベクトル(p.168;1, p.4.8) ⁰(x)^{の大きさが}p

1 +f⁰(x)^2だから,^当然!

定理 5.8 C

¹

級曲線 f : [↵, ] ! R

²

の長さ l は , l = R

↵

p x

⁰

(t)

²

+ y

⁰

(t)

²

dt.

※ 速度(^接)^ベクトル(p.168;1, p.4.8) f⁰(t)^{の大きさが}p

x⁰(t)²+y⁰(t)^2だから,^当然!

定理 極座標 x = r(✓) cos ✓, y = r(✓) sin ✓ における曲線 r(✓) (↵  ✓  ) の長さ l は , l = R

↵

p r(✓)

²

+ r

⁰

(✓)

²

d✓.

※✓^{の微小変化}d✓^に対し,^点(x, y)^はr^方向にr⁰d✓,✓^方向にrd✓^{変化するから},^当然! 曲線の曲率 曲線の像(^軌跡)C^{の曲率とは},C^の各点P^でCを円近似したときの半径⇢^の 逆数^のこと. ^ただし, Pのまわりが直線のときは, ⇢=1, = 0^とする. C^{のパラメー} タを弧長s^に取ると, ^{速度ベクトル}(x⁰(s), y⁰(s))^{の大きさは}1 (^等速運動)^であり,^加速度 ベクトル(x⁰⁰(s), y⁰⁰(s))が速度ベクトルに直交することがわかるが,^{加速度ベクトルの大き} さ(x⁰⁰(s)²+y⁰⁰(s)²)^{1/2こそ曲率}^{に他ならない}. (p.211^の定義はNewton^による.) 包絡線 パラメータt^{を含む曲線の族}F(x, y, t) = 0^が,^別の曲線C^に接し,^{その接点の軌} 跡がC^{に一致するとき},C^をF(x, y, t) = 0^{の包絡線と呼ぶ}. ^曲線の族y=tx t^2とその 包絡線y=¹₄x²の例については, [例5.9; p.3.9,例^; 1, pp.v–x]を参照せよ. tをパラメー タとするC^{1級曲線の族}F(x, y, t) = 0^{の包絡線が}F(x, y, t) = 0^かつFt(x, y, t) = 0^をみ たす必要性(^定理5.9)^は,多変数関数の陰関数定理(^定理4.8)^{からわかる}.

課題12/06 [1]^略解例 (A) 5.10 (3) ^{位置ベクトルが}(x,¹₂x²)^より,^{速度ベクトルは}(1, x), 大きさはp

1 +x². よって,l=R↵ 0

p1 +x²dx^Ash=^{224 1}₂↵p

1 +↵²+¹₂log(↵+p

1 +↵²).

(4) 極座標に関する定理より,l=R↵ 0 ap

✓²+ 1d✓⁽³⁾= ¹₂a ↵p

↵²+ 1 + log(↵+p

↵²+ 1) . 5.16 [f(x) = xsin_x¹] (1) 0< x1^{より 1}_x 1^だから, sin_x¹ = 1, ¹x = (n+¹₂)⇡.

よって, ^{求める点列は}Pn = (xn, yn) = _(n+¹1

2)⇡,_(n+^{( 1)}1ⁿ

2)⇡ . (2) PnPn+1 |yn|+|yn+1| より, l |y0|+P₁

n=12|yn|=_⇡² +P₁

n=1 2 (n+¹₂)⇡

2

⇡

P₁

n=0 1 n+1

2

⇡

R₁

1 dx

x =1. (B) 5.16^⇤[f(x) =x²sin¹_x] (1) ^同様に, Pn = (xn, yn) = _(n+¹1

2)⇡,_(n+^{( 1)}1 ⁿ

2)²⇡² . ⇠n:= _n⇡¹ . (2) ^弧PnPn+12(|yn|+|xn ⇠n+1|) ⇡²²+_⇡¹ _n¹2 より, 0xx1の部分の弧長l1

について,l1 _⇡²²+_⇡¹ P₁

n=1 1 n²

p.5.3

= _⇡²2 +_⇡^{1 ⇡}₆² =¹₃+^⇡₆ <1. [別解] 0< x1のとき, f⁰(x) = 2xsin_x¹ cos¹_xより,|f⁰(x)| 3, lim_u!+0R1

u

p1 +f⁰(x)²dxp

10<1. [例題2.4参照]

基礎解析学２ (S3)   2011-12-20 （ 2012-01-08 改訂） 5.7

5.4 図形の面積と体積

＊ 閉区間[a, b]⇢R^1の‘^長さ’^はb a,^長方形[a, b]⇥[c, d]⇢R^2の‘^面積’^は(b a)(d c),   直方体[a, b]⇥[c, d]⇥[e, f]⇢R^3の‘^体積’^は(b a)(d c)(f e). ^同様に,n^次元直   方体Qn

i=1[ai, bi]^の‘n^次元体積’^は,Qn

i=1(bi ai)^{と定義するのが自然}. ^ここで,n+ 1   次元直方体はn^{次元直方体を}‘n^次元底面’^{とし閉区間を}‘^高さ’^{とすることに注意}.

＊p.5.1^のStep 2^と同様に,R^{nの有界な部分集合}A⇢R^nに対し,A^{の定義関数}(^または  特性関数) Aを,x2A^なら A(x) = 1, x62A^なら A(x) = 0 ^{によって定義する}.

定義 5.7 R

ⁿ

の有界な部分集合 A ⇢ R

ⁿ

に対し , D を A ⇢ D をみたす n 次 元直方体として , V (A) := R

D A

(x

1

, . . . , x

n

) dx

1

· · · dx

n

が 存在する とき , A は体積確定であるといい , V (A) を A の n 次元体積と呼ぶ .

※V(A)^はA^を‘n^次元底面’^とし1^を‘^高さ’^とする‘n+ 1^次元柱体’^の‘n+ 1^次元体積’.

※p.5.1^のStep 2^で