§1 Rn の開集合の微分形式 (1)

2019^{年度・幾何学}1^演義 2019^年10^月4^日

§1 R

ⁿ

^{の開集合の微分形式 (1)}

R^{n の開集合}U の微分k 形式とは，

f(x₁, . . . ,x_n)dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik

という形の「もの」有限個からなる和である．ここで f(x₁, . . . ,x_n)^はU 上のC^∞ 級関数．

â「『もの』とはいったい何か」というのが気にかかるが，ひとまず後回しにする．まずは計算練 習をして，少しずつ微分形式に実在感をもてるようにするのがよいと思う．

以下で現れる関数は，とくに断らなくてもC^∞級とする．

微分形式を整理する際の計算規則

1. 0dx_i1∧ · · · ∧dx_ik は0である．除去してよい．

2. f dx_i1∧ · · · ∧dx_ik とgdx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik という2つの項があれば，それらはまとめ て(f +g)dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik ^{としてよい．}

3. 項 f dx_i1∧ · · · ∧dx_ik について，隣り合う「dx_il」と「dx_il+1」の順番を入れ換え，先 頭に−1倍をつけてもよい．たとえば f dx₂∧dx₁∧dx₃ =−f dx₁∧dx₂∧dx₃． 4. 項 f dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik の「dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik」部分に「dx_j ∧dx_j」が現れていれば，

その項は0^{である．たとえば}

f dx₂∧dx₁∧dx₂ ^規則=³−f dx₁∧dx₂∧dx₂= 0.

外積ω∧η^{の計算規則}

1. ^外積はC^∞(Rⁿ)双線型性をもつ演算である．

2. (dx_i1∧ · · · ∧dx_ik) ∧ (dx_j1 ∧ · · · ∧dx_jl)=dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik ∧dx_j1 ∧ · · · ∧dx_jl．

外微分dω^{の計算規則}

1. ^外微分はR線型性をもつ演算である．

2. f dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik の外微分は

d(f dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik)=

∑n

j=1

∂f

∂x_j dx_j ∧dx_i1 ∧ · · · ∧dx_ik.

問1.1 R^2の微分1^形式ω^は一般に

ω= f(x,y)dx+g(x,y)dy

と表される．ω∧ω^およびdωを求めよ（整理された形にせよ）．

â ^{一般に，微分}1^形式ω^に対してω∧ω=0となる．もっと一般に，微分k 形式ω^と微分l 形 式η^に対してω∧η=(−1)^klη∧ω^である．

問1.2 R^{3の微分形式}

ω = ydx−x dy, η= z dx∧dy+x dy∧dz, ζ = z dy

について，ω∧η^，ω∧ζ^，η∧ζ ^{を求めよ．}

問1.3 ^問1.2^{の微分形式について}dω^，dη^，dζ ^{を求めよ．}

問1.4 問1.2の微分形式についてd(ω∧ζ)^とdω∧ζ−ω∧dζを求め，両者を比較せよ．

â ^{一般に，微分}k 形式ω^と微分l形式η^に対してd(ω∧η)=dω∧η+(−1)^kω∧dη^である．

問1.5 n^を1^{以上の整数とする．}R^{2n の微分}2^形式

ω = dx₁∧dx₂+dx₃∧dx₄+· · ·+dx_2n−1∧dx_2n について，ω| {z }∧ω∧ · · · ∧ω

n個

を求めよ．

問1.6 R³におけるベクトル解析は微分形式を用いて再解釈される．以下R^{3で考える．}

(1) 微分0形式とは関数のことである．微分0形式（関数）f の外微分df をdx，dy， dzを用いて表せ．また次の微分1^形式ω^，微分2^形式η^{の外微分を計算せよ：}

ω= g₁dx+g₂dy+g₃dz, η = h₁dy∧dz+h₂dz∧dx+h₃dx∧dy.

(2) 次の図式を考える：

{^関数} {^{ベクトル場}} {^{ベクトル場}} {^関数}

{^微分0^形式} {^微分1^形式} {^微分2^形式} {^微分3^形式}.

grad rot

Φ₁

div

Φ₂ Φ₃

d d d

ここで横向きの写像はすべて定義されているが，Φ₁，Φ₂，Φ₃は未定義である．上 の図式が可換になるようにするためには，Φ₁，Φ₂，Φ₃をどう定義したらよいか．