問8の答 (結果のみ)は既にプリントを渡してあるが、実際に君達の答案を見てみたら苦戦してい る人が多かったので(少し抽象的な例なので、分かりにくい？)、少し詳しめの解説を用意した。
問8解説 一般に写像 f: X → Y の値域は、f(X) と表せる。(1)〜(8) の各問で、写像(対応)を 表す記号と定義域を表す記号を読み取って、f(X) を適当なものに置き換える。例えば(2) では、
D: R→R であるから、値域を表す式は D(R)である。
(1) idX(X) ={idX(x)|x∈X}={x|x∈X}=X.
(2) D(R) ={D(x)|x∈R}={0,1}.
(3) prX(X×Y) ={prX((x, y))|(x, y)∈X×Y}={x|(x, y)∈X×Y}=X.
(4) この f について ad−bc= 1·4−2·3 = 4−6 =−2̸= 0 であるから、授業で説明したことから f(R2) =R2.
(授業では、ad−bc̸= 0 のとき、f(R2) =R2 となる理由を説明しなかったので、ここで説明し ておく。f(R2) ⊂ R2 は明らかだから、R2 ⊂ f(R2) を示そう。(p, q) ∈ R2 とするとき、連立1 次方程式
( p q
)
= (
1 2 3 4
) ( x y
)
は、係数行列が逆行列を持つので解 (x, y)∈R2を持つ。このと き f((x, y)) = (p, q). ゆえに (p, q)∈f(R2). ゆえにR2 ⊂f(R2).)
(5) f(X) ={f(A)|A∈X}={f(A)|A は多角形}=すべての多角形の面積の集合 = (0,∞).
(6) D(X) = {D(f)|f ∈X}={f′ |f ∈C∞(R;R)}=C∞(R;R).
(最後の等式の証明は少し難しいかも。一応書いてみる。Z := {f′ |f ∈C∞(R;R)} とおき、
Z =C∞(R;R)を証明するのが目標である。(a)g ∈Zとすると、(∃f ∈C∞(R;R))g =f′. f が何 回でも微分できることから、gも何回でも微分できる。すなわちg ∈C∞(R;R). (b)g ∈C∞(R;R) とする。このとき、f(x) :=
∫ x 0
g(t)dtとおくと、任意の x∈Rに対して、f′(x) =g(x). g が何 回でも微分できることから、f も何回でも微分できる。すなわち f ∈C∞(R;R). ゆえにg ∈Z.
(a), (b) からZ =C∞(R;R).)
(7) χA(X) = {χA(x)|x∈X}で、各x∈Xに対して、χA(x)は0または1である。χA(X) = {0,1} と回答した人が多かったが、それは実はちょっと穴がある。
• A=Xの場合、任意のx∈Xに対して、x∈AとなるのでχA(x) = 1. ゆえにχA(X) ={1}.
• A=∅の場合、任意のx∈X に対してx̸∈AとなるのでχA(x) = 0. ゆえにχA(X) ={0}.
• それ以外の場合、すなわち A̸=∅ ∧A ̸=X の場合、χA(X) = {0,1}. (8) i(X) ={i(x)|x∈X}={x|x∈X}=X.
問10解説
(1) (a) f: R→R,f(x) = cosx.
• f は全射でない。
証明: −1 ≤ cosx ≤ 1 であるから、y = 2 とおくと、y ∈ R かつ f(x) = y を満たす x∈R は存在しない。ゆえにf は全射ではない。
別証明: f(R) = [−1,1] であることが分かる (これを厳密に証明するのは、少し手間が
かかるが、現時点ではこの辺は高校数学レベルで考えれば良い)。ゆえに f(R)̸=R で あるから、f は全射ではない。
• f は単射でない。(証明: f(0) = 1 =f(2π) であるから。)
• fは全単射でない。証明はたとえば「fは全射でないから。」もちろん「fは単射でない から。」としても良い。
• X = [0, π], Y = [−1,1] とすると、g: X →Y, g(x) = f(x) (x ∈ X) は全単射である。
(g(0) = 1, g(π) = −1 と中間値の定理から、g(X) ⊃ [−1,1]. g(X) ⊂ [−1,1] は明ら かであるから、g(X) = [−1,1]. ゆえに g は全射である。一方、x ∈ (0, π) に対して、
g′(x) = −sinx <0であるから、g は狭義単調減少である。ゆえにg は単射である。) (b) f: R→R,f(x) = sinhx (x∈R)
• f は全射である。
証明1: y = sinhx の増減を調べれば、f(R) = R であることが分かる。厳密にやると
以下のようになる。x→ ∞ のとき、ex → ∞, e−x →0 であるから sinhx→ ∞. また x→ −∞ のとき、ex →0,e−x → ∞ であるから、sinhx→ −∞. このことと連続性か ら、中間値の定理を用いると、f(R)⊃R が証明できる。ゆえにf(R) = R.
証明2: 任意のy ∈ R に対して、ex−e−x
2 = y を解いて、x = log (
y+√ y2+ 1
) . す なわち x = log
( y+√
y2+ 1
)とおくと、sinhx =y. 実際、ex =y+√
y2+ 1, e−x = 1
y+√
y2+ 1 = −y+√ y2+ 1
y2+ 1−y2 =−y+√
y2+ 1. ゆえにf(x) = sinhx= ex−e−x 2 =y.
• f は単射である。実際、f′(x) = coshx≥1>0 であるから、f は狭義単調増加であり、
単射である。
• f は全単射である。
(c) f: R→R,f(x) = coshx (x∈R)
• f は単射でない。実際、f は偶関数であるから、例えば f(1) =f(−1) = e+ 1/e
2 .
• f は全射でない。実際、y = coshxの増減を調べれば、f(R) = [1,∞)̸=Rであることが 分かる。厳密にすると以下の通り。偶関数であるから[0,∞)で調べる。f′(x) = sinhx >0 (x∈ (0,∞)) であるから、[0,∞) で狭義単調増加。f(0) = 1, lim
x→∞f(x) =∞, それと連 続性から、中間値の定理を用いると、f(R) = [1,∞).
• f は全単射でない。証明は「fは全射でないから。」または「fは単射でないから。」
• X = [0,∞), Y = [1,∞) とすると、g: X →Y, g(x) = f(x) (x∈ X) は全単射である。
(g(0) = 1, lim
x→∞g(x) =∞ と中間値の定理から、[1,∞)⊂g([0,∞)). 逆向きは明らかで あるから、g([0,∞)) = [1,∞). 一方、g′(x) = sinhx >0 (x∈(0,∞))であるから、g は 狭義単調増加であるので、単射である。)
(2) g◦f = idX は全単射であるから、g は全射かつf は単射である。一方、f◦g = idY は全単射で あるから、f は全射かつ g は単射である。ゆえにf と g は全単射である。
おまけ f: I →R が単調増加とは、
(∀x1 ∈I)(∀x2 ∈I :x1 ≤x2) f(x1)≤f(x2) を満たすことをいう。この条件は次のように書いても同じである。
(∀x1 ∈I)(∀x2 ∈I :x1 < x2) f(x1)≤f(x2).
一方、f: I →R が狭義増加とは、
(∀x1 ∈I)(∀x2 ∈I :x1 < x2) f(x1)< f(x2) を満たすこと。
「f が狭義単調増加であればf は単射である。」という定理を紹介したが、「fが単調増加であれ ばfは単射である。」という命題は偽である。
