基礎数学 A 第 12 回

基礎数学A 第12回

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2.7.2 座標の回転 【試験範囲外】 【動画】

ここからは三角関数が出てきて少しだけ難しくなります。本当に数学の苦手な人は飛ば しても試験に影響はありません。

行列の応用の例として座標の回転の話をしておきましょう。今、下の図のように、ある点 を角度だけ回転させた 2つの座標で見たとします。回転後の座標( ,x y )で見ると点は元 の座標( , )x y の位置から動いたように見えます。





x’

y

x ｙ’





(x, y) (x’, y‘)

図1 座標の回転

この２つの座標の値の関係は以下のような式で与えられます。詳しい説明は省略します が、あまり気にする必要はないでしょう。重要なのはこれが行列を使って書かれるところで す。

公式

座標を ^{だけ回転させると点}( , )x y は以下の位置になる。

cos sin

sin cos

x x y

y x y

 

 





=  + 

= −  + 

この関係を、行列を使って書いてみましょう。掛け算の関係を使うと以下のようになります。

cos sin

sin co s

cos sin sin

s co

x y

x

x

y y y

x    

 

 

 + 

      

= =

      

−  +  −

      

ここで、

x y

  

=  

x  ， cos sin sin cos

 

 

 

=  

 − 

U ， x

y

=    x  

とすると、上の式は以下のように書けます。

 = x Ux

この行列Uを回転行列といいます。今は2次元での回転ですが、3次元などの回転もこのよ うに回転行列を使って表すことができます。以下の例を見てみます。

例

x^座標を 3（60度）回転させてxにする。（x =Ux） １）回転行列Uを数式で表せ。

cos( 3) sin ( 3) sin( 3) cos( 3)

 

 

 

= − 

U または、 cos 60 sin 60

sin 60 cos 60

 

 

= −    U

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角度 =60をラジアンという単位で表したのが = 3です。覚えておくのは、 =180 という対応です。知っている人も多いと思うので、以後はこのラジアンという表示法で書い て行きましょう。

２）回転行列U^{を数値で表せ。}

0.5 0.8660 0.8660 0.5

 

= − 

U

三角関数を使っていますので、これを数値で表してみましょう。例えばcos( 3)=0.5^、 sin( 3)=0.8660ですが、これもパソコンを使って調べることができます。

まず、データとして図2のように入力します。

図2 行列の数式での入力

ここで、はソフトの中では「pi」と入力します。（角度にを使おうと思うと、sind(60), cosd(60)という方法もありますが、あまり使わないでしょう。）

図3 実行画面と結果

残念なのですが、行列計算プログラムは電卓なので、 などは表示できません。

３）逆に− 3^（-60度）回転させた回転行列を求めよ。

cos( 3) sin ( 3) cos( 3) sin ( 3)

sin ( 3) cos( 3) sin ( 3) cos( 3)

    t

   

− − −

   

=− − −   = − =

B U

逆に回転させると、回転角度は− 3^{です。2番目の等号は、}

cos(− =x) cos , sin(x − = −x) sinx

という関係を使っています。これを見ると行列Bは、回転行列Uの転置行列になっていま す。

４）^tU=U⁻¹であることを示せ。

1

tU=U− であることを示すには、逆行列の定義であるU U^t = ^tUU=Iの関係を示せばよ いでしょう。実際調べてみるには、ソフトに、u*mt(u)または、mt(u)*uと打ち込んでみま

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12-3 しょう。結果は以下のようになります。

図4 出力結果

t =t =

U U UU I のような関係を満たす行列を直交行列といいます。つまり、回転行列は 直交行列である、といえます。

５）回転行列の行列式U ^{の値を求めよ。}

=1 U

ソフトの入力では mdet(u)です。実際にやってみて下さい。

６）回転行列の縦・横の成分を2乗して足すといくつになるか。【Skip OK】

11 12

21 22

u u

u u

 

=  

 

U u₁₁² +u₁₂² =u₁₁² +u₂₁² =cos²+sin² =1

回転行列にはまた、1行目と2行目または、1列目2列目の間で、以下のような性質もあり ます。

11 21 12 22 11 12 21 22

cos ( sin ) sin cos 0 cos sin ( sin ) cos 0 u u u u

u u u u

   

   

+ = − + =

+ = + − =

７）以下のx^{座標の点は}x座標ではどこに移るか。（x =Ux^） 1

2 x y

   

   =

   

2.2321 0.1340 x

y

   

= =

   

  Ux  

ここでは、以下のように入力して、u*xとして実行します。

図5 入力画面

８）x =Ux^を逆に x= の形で書くとどうなるか。

両辺に左からU⁻¹ を掛けると

右辺：U Ux⁻¹ =Ix=x 左辺：U x⁻¹  よって、x=U x⁻¹ となります。

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９）以下のx^{座標で与えられる点は}x座標のどこから来たか。（x=U x⁻¹ ^） 2

5 x y

   

  =

    



1 3.3301

4.2321 x

y

− −

 = = 

   

  U x  

データとして、x’という行列を作り、minv(u)*x’で計算できます。

注）８）、９）でU^{−1の代わりに、}Uを使っても同じです。

演習

x^{座標を45度（} 4^{）回転させて}x^{座標にする。（}x =Ux^）

１）回転行列Uを数式と数値で表せ。

数式  

=  

 

U ^数値  

=  

 

U 数値の解答で

① 0.7071 0.7071 0.7071 0.7071

 

− 

  ^②

0.8660 0.5 0.5 0.8660

 

 − 

  ^③

0.7071 0.7071 0.7071 0.7071

 − 

 

 

２）以下のx ^{座標の点は}x 座標ではどこに移るか。

2 5 x y

   

   =

   

x y

   

= =

   





  

 Ux

① 4.8595 2.3214

 

 

  ^②

4.9497 2.1213

 

 

  ^③

4.8595 2.3214

 

− 

 

３）以下のx ^{座標の点は}x 座標のどこから来たか。

3 2 x y

   

  =

    



x 1

y

 = − = 

   

  U x  

① 0.7071 3.5355

 

− 

  ^②

0.7071 3.5355

 

 

  ^③

0.7071 3.5355

− 

 

 

【動画】

【C.Analysis: 基礎数学A_12】