基礎数学 B 第 12 回 12-1

(1)

基礎数学B 第12回

12-1

5.5

汎関数の微分

汎関数とは、y= f(z)という形の関数で、さらにzがz=g(x)^のようにxの関数として表わされるものを言います。一まとめにして書くと、y= f g x( ( ))の形になっている関数です。例えば、以下のように見ると、y=(x²+x+1)⁵^やy=e^x²^{などが汎関数です。}

5

2 1)

( + +

= x x

y ^{については、}y=z⁵^，z=x²+x+1

x2

e

y= ^{については、}y=e^z^，z=x²

このような関数について微分を考えてみましょう。dy dxはxの微小な変動に対するy の微小な変動の極限を表わしていますから、間にz=g(x)についての微小な変動を加えることも可能です。即ち、以下となります。

公式

y= f g x( ( ))の微分

z=g x( )，y= f z( )として dy dz dy

dx =dxdz ^（最後にz^{は元に戻します。}）

この公式を用いて、微分を行ってみましょう。

例１

2 5

( 1)

y = x + + x

2 1

z=x + +x ^{とすると、}y=z⁵ とおけます。これに公式を適用すると、

2 5 4

( 1) ( ) (2 1) 5

dy dz dy d d

x x z x z

dx = dxdz = dx + + dz = +  右辺にはzがあるので、それを元のxの関数に戻します。

2 4 2 4

(2x 1) 5(x x 1) 5(2x 1)(x x 1)

= +  + + = + + +

例２

x2

y=e

z=x2 ^{とすると、}y=e^zとおけます。これに公式を適用すると、

( 2) ( )^z 2 ^z

dy dz dy d d

x e x e

dx= dxdz = dx dz = 

右辺にはzがあるので、それを元のxの関数に戻します。

2 2

2x e^x 2xe^x

=  =

ガイドラインに沿って、以下の問題をやってみましょう。

問題

１）y=(2x+1)³ z= ，y=

dy dz dy dx =dxdz =

(2)

12-2

２）y=sin(x²+1) z= ，y=

３）y=x e^{2 3x} （複合問題）

y=x u2 とすると掛け算の公式から、y =

u=e3x ^とすると z= ，u=

du dz du u = dx = dxdz =

組み合わせると

y =

問題解答

１）y=(2x+1)³ z=2x+1， y= z³

3 2

2

(2 1) ( ) 2 3

6(2 1)

dy dz dy d d

x z z

dx dx dz dx dz

x

=  = +  = 

= +

２）y=sin(x²+1) z=x²+1， y=sinz

2

( 1) (sin ) 2 cos 2 cos ( 1)

dy dz dy d d

x z x z

dx dx dz dx dz

x x

=  = +  = 

= +

３）y=x e^{2 3x} （複合問題）

y=x u2 とすると掛け算の公式から、y=(x²)u+x u² =2xu+x u²  まずuの微分を考えてみます。

u=e3x ですから、 z=3x， u=e^z

3

(3 ) ( ) 3 3

z z

x

du dz du d d

u x e e

dx dx dz dx dz

e

 = =  =  = 

=

組み合わせると

2 3 2 3 2 3

2 2 ^x 3 ^x ( (2 3 ) ^x)

y= xu+x u= xe + x e = x+ x e

最初は難しいですが、十分慣れてくると、どんな関数でも暗算で微分できるようになります。

(3)

12-3 演習

2 4

( 3 1)

y = x + + x

z= ，y=

微分公式まとめ

c 0 y= → =y

1

n n

y = → = x y  nx

⁻

x

y = → = e y  e log

_e

1/

y = x → = y  x

sin cos y= x→ =y x

cos sin y= x→ = −y x

tan 1/ cos

2

y = x → = y  x

( ) ( )

y=af x → =y af x

( ) ( ) y= f x g x

( ) ( ) y f x g x

→ = 

( ) ( ) y= f x g x

( ) ( ) ( ) ( ) y f x g x f x g x

→ = +

( ) ( ) y= f x g x

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x f x g x

y g x

 − 

→ =

y= f g x( ( ))

z=g x( )^，y= f z( ) とおいて

dy dz dy y dx dx dz

→ = = 