安定な適応制御系の設計

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安定な適応制御系の設計

田勝彦

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岡山理科大学情報処理センター

（1997年10月６日受理）

１゜はじめに

制御対象の入力に無駄時間を含む適応制御系を設計する。有限時間整定系を設計して出力を出来るだけ早く有限時間で目標値に一致させる。内部モデル原理によれば，目標値の極はＧ(s)を制御対象とすると，Ｇ(s)/ｓの極に含まれていなくてはならない為,状態フィードバックにより極配置を行う。又フィードバック系が安定，特にフィードバック伝達関数の極が全て零に成る様に制御装置を設計すれば，構造的に安定を有限時間整定系が設計できる。その時同定誤差により制御装置を求める時，その係数が理想的に設計された場合，

即ちフィードバック伝達関数の極が零に成る様に設計すると，フィードバック制御系が安定である限り，出力を目標値と誤差項に分解した場合,誤差項は設計通りＺ－ｌの多項式にならなくても，即ち有限整定しなくても，フィードバック系が安定である限り零に収束する。

更に環境の変化により制御対象の状態方程式の係数が変わった場合とか，時間がたって制御対象の劣化が起った場合，逐次サンプル時間間隔毎にオンラインで同定をくり返して，

制御装置の係数や，状態フィードバックのゲインん計算して正しく変更していかねばならない。その考え方はKalman1)により発表されたものがある。その際制御装置を設計する時，制御装置の分子と制御対象の分母の間に極零相殺が起り2)，可制御性，可観測性の性質が成り立たなくなり，制御対象が不安定の場合，出力は発散する。

更にオンライン同定には最少２乗法を使ってあるが，観測ノイズが存在する場合には，

同定結果に偏差が生じる。そこで,Landａｎの開発したオンラインモデル規範形同定装置を

利用する3)4)5)。

所が閉ループ系の並列形同定法6)7)では，制御装置をオンラインで設定していない。制御装置の分母と理想的フィードバック系の極の比が正実性を,満足する様に設定してある為，

いつも可能とは限らない。しかも有限整定しない。そこで先のLandａｎの先の同定法の様

に，プラントの出力とモデルの出力の誤差に補償装置を入れて正実性を満足する様に設計

すると，パラメータの同定結果は偏差は零に収束する。

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２．極配置

内部モデル原理により，状態フィードバックを使って,制御対象をＧ(s)＝Ｐ(s)e-Tsとする時，Ｇ(s)/ｓの極が目標値の極を含む様に変え，又有限整定してシステムが構造的に安定に成る様に，制御装置を使ってフィードバック伝達関の極が全て零に成る様にペズー方程式を使って制定する。サンプル値制御系では操作入力は区分的に定数になるので，無駄時間をｄＴと置いて，ここにＴはサンプル時間間隔とする。離散化実現は

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として表わせる。先の制御対象の極配置を行う為に，

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により,状態フィードバックと制御入力のフィードバックを行う8)｡所がＧ(s)は状態フィードバックにより極は変えられても，零点は動かせない。その為に極配置して極は変えられても，拡張Ｚ変換の分子は変えられない。所がパルス伝達関数の拡張Ｚ変換の分母の極と分子の問には一定の関係が成り立つ。その為に極配置されたパルス伝達関数の原像のラプラス変換が存在しない。その為にサンプル値時間間隔が小さくない時には，サンプル値制御系を設計すると目標値と出力とは過度状態が経てばサンプル時点では一致する。之はＺ変換は極と零はラプラス変換の様に任意であるからであり，しかしながらサンプル時点間では一致せずに影の振動が生じる。そこでサンプル時間間隔を短かくすると連続系に近付いて影の振動は小さくなり，殆ど目立たなくなる。図１にはサンプル時間間隔Ｔ＝5.0の影の振動が起きる例を示した。

更にベズーの方程式を使ってフィードバック伝達関数の極が全て零に成る様に設計すれば同定された制御対象の同定誤差により設計された制御装置の設定誤差の為有限整定しなくても,安定である限り出力は目標値に収束する｡誤差項のZ-1の多項式がフィードバック伝達関数の極を含む安定な有理式に変わる為である。

３．適応制御系の同定法

図２に示した様に閉ループの再帰型同定法を用いて，オンラインで適応制御系を設計す

る｡その場合出力にサンプル時間間隔毎に観測を受ける時の観測ノイズｗ(kT)が存在する

場合を考える。ここでｗ(kT)は白色ノイズとする。すると出力の観測値はＨＧ(z)を制御

対象のパルス伝達関数，Ｕ(z）を入力とするとき

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出力Ｙ(z)は

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何れも有色ノイズを含む様になる。ここにＣ(z)は制御装置である。その為に最小２乗法と

か補助変数法は閉ループ系では同定結果に偏差が生じる。そこで並列形モデル規範形同定

法を使って見る3)4)5)｡離散カルマンフィルタを使ってノイズを軽減し，状態変数,出力を推定して同定を行えば出力にノイズの影響は殆ど無くなる。この同定法は非線形を含むフィ

ードバック同定法であり，超安定の条件を満足する様に，即ち正実性の条件が満足される様にプラントとモデルの出力との誤差に補償装置を組み込めば，パラメータは真値に収束する8)。真値に収束させる為には操作量の周波数のrichnessが必要であり，それは過度状態で実現される事になる。

そこで，図３，図４，５では制御対象

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に対して，図３，４では目標値

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サンプル時間間隔Ｔ＝０．１で平均値0.0分散0.001の白色ノイズが観測値に含まれる場合の最小２乗法と補助変数法の同定による応答を示してあり，パラメータの偏差の為影の振動

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図４補助変数法による適応制御系の目標値と出力観測ノイズ平均0.0分散0.001

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図５モデル規範形適応制御系の応答

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が生じている。図５には，モデル規範形並より同定法による適応制御系の応答，即ち目標値r(t)＝２５.OsinO1tサンプル時間間隔Ｔ＝1.0の場合を示してある｡観測ノイズは平均値

0.0,分散1.0の白色ノイズで，パラメータの初期誤差は0.001である。

４．結び

無駄時間入力を持つ制御対象に対して適応制御系を設計した。出力に観測ノイズが含まれる場合，今迄のオープンループ系に対して作られた同定法を，閉ループ系に用いると問題が生じる。モデル規範形並列同定法を使って，超安定の条件が満足される様に適応制御系を構成すると，制御対象のパラメータは真値に偏差なく収束し，出力は目標値に収束する。制御対象のパラメータの同定誤差が僅かの場合は，制御装置のパラメータ設定誤差も僅かで，フィードバック系は安定である限り出力は目標値に有限時間でないが，時間と共に収束する。たとえ制御対象が安定でなくてもフィードバック回路の制御装置により安定化できるが，同定誤差が大きい場合には，フィードバック伝達関数の極がＺ平面の単位円外に出て，系が不安定となると出力は発散してしまう。之が初期誤差が0.001と小さくしか取れない理由である

参考文献

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