対称空間と等質部分多様体 (1)

対称空間と等質部分多様体 (1)

田丸 博士 ( 広島大学 )

幾何学阿蘇研究集会 休暇村南阿蘇

2013/09/09.

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0 _概要

▼ 紹介したいこと:

◦ 対称空間論の初歩的な入門と, 関連する部分多様体の話題.

▼ 主張:

◦ _{対称空間論は}, 多様体構造無しでも展開できる.

(あまり難しいことを使わなくても, 面白いところまで行ける)

◦ _{対称空間論は}, 興味深い部分多様体の例を供給する.

▼ 目次:

§1: _{等質な集合}.

§2: 集合としての対称空間.

§3: _{部分多様体} (1): R-space. (_明日)

§4: 部分多様体 (2): Hermann 作用. (明日)

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1 _{等質な集合}

§1.1 _概要

▼ やること:

◦ 等質空間論を多様体構造無しでやる. (線型代数と群論だけで出来る... _はず)

▼ 目標:

◦ _群 G _が集合 M _{に推移的に作用する}

⇔ M = G/K と書ける (G ⊃ ∃K : 部分群).

▼ 目次:

§1.2: _群作用.

§1.3: 推移的な作用.

§1.4: _剰余集合 G/K.

§1.5: 主定理.

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§1.2 _群作用 (1/3)

▼ 記号:

◦ G : _群, M : _集合, G 3 e : _単位元.

▼ 定義:

◦ Φ : G × M → M : (g, p) 7→ ϕ_g( p) = g.p が 群作用

:⇔ (i) (gh).p = g.(h.p) (∀g, h ∈ G, ∀p ∈ M), (ii) e.p = p (∀p ∈ M).

▼ 記号:

◦ G y M

によって G が M に作用することを表す.

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§1.2 _群作用 (2/3)

▼ 例:

◦ _行列の積 (g.u := gu) _により GL_n(R) y Rⁿ.

◦ _{同様に行列の積により} GL_n(R) y G_k(Rⁿ).

(G_k(Rⁿ) := {V ⊂ Rⁿ | dim(V) = k} : _{グラスマン})

▼ 例:

◦ 行列の共役 (g.X := gXg⁻¹) により GL_n(R) y M_n(R).

▼ 例:

◦ _{一次分数変換により} SL₂(R) y RH². _{ただしここで},

• RH² := {z ∈ C | Im(z) > 0} : 上半平面,

•



 a b c d



 .z := az + b cz + d.

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§1.2 _群作用 (3/3)

▼ 命題:

◦ G y M とすると以下が成り立つ:

• G ⊃ H : 部分群 ⇒ H y M.

• M ⊃ M⁰ : G _{で保たれる} ⇒ G y M⁰.

▼ 例:

◦ (再掲) GL_n(R) y Rⁿ.

◦ GL_n(R) ⊃ O(n) : _{部分群より}, O(n) y Rⁿ.

◦ Rⁿ ⊃ Sⁿ⁻¹ (単位球) は O(n) で保たれるので, O(n) y Sⁿ⁻¹.

▼ 例:

◦ (_再掲) _{行列の共役} (g.X := gXg⁻¹) _により GL_n(R) y M_n(R).

◦ 部分群なので O(n) y M_n(R).

◦ _{保たれるので} O(n) y { _交代行列 }, { _対称行列 }.

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§1.3 _{推移的な作用} (1/2)

▼ 定義:

◦ G y M : _推移的

:⇔ ∀p, q ∈ M, ∃g ∈ G : g.p = q

◦ M : G _{に関して等質}

:⇔ ∃ _{推移的な作用} G y M.

▼ 例:

◦ GL_n(R) y Rⁿ : _{推移的でない}.

(∵) 0 はどこにも動かないから.

▼ 補題:

◦ G y M : _推移的

⇔ ∃o ∈ M : ∀p ∈ M, ∃g ∈ G : g.o = p.

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§1.3 _{推移的な作用} (2/2)

▼ 例:

◦ O(n) y Sⁿ⁻¹ : _推移的.

◦ O(n) y G_k(Rⁿ) : 推移的.

(∵) グラスマンの方だけ示す.

V₀ := span{e₁, . . . , e_k} ∈ G_k(Rⁿ) _とおく.

∀V ∈ G_k(Rⁿ) _をとる.

(_示すこと: ∃g ∈ O(n) : g.V₀ = V)

V _{の正規直交基底} {x₁, . . . , x_k} _をとる.

拡張して Rⁿ _{の正規直交基底} {x₁, . . . , x_n} _を作る.

このとき g := (x₁, . . . , x_n) ∈ O(n).

すると g.V₀ = g.span{e₁, . . . , e_k} = V.

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§1.4 _剰余集合 (1/3)

▼ 設定:

◦ G : _群, G ⊃ K : _部分群.

▼ 定義:

◦ G 上の同値関係を次で定義: g ∼ h :⇔ g⁻¹h ∈ K.

◦ _商集合を G/K := G/ ∼ _{で表し 剰余集合 と呼ぶ}.

▼ 補足:

◦ _同値類: [g] := {h ∈ G | h ∼ g} = gK.

◦ _商集合: G/ ∼:= {[g] | g ∈ G}.

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§1.4 _剰余集合 (2/3)

▼ 定理:

◦ G/K : _剰余集合

⇒ G/K は G に関して等質.

▼ 証明の方針:

◦ G y G/K by g.[h] := [gh] _と定めて, _{以下を示す}:

• well-defined であること.

• _{群作用であること}.

• _{推移的であること}.

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§1.5 _主定理 (1/3)

▼ 定理:

◦ M : G に関して等質

⇒ G ⊃ ∃K : _部分群 s.t. M = G/K (_{全単射が存在}).

▼ 証明の方針:

◦ _部分群 K _{は次のように定める}:

• M 3 p : 一つ固定.

• G_p := {g ∈ G | g.p = p} ( p _{における 固定部分群}).

◦ F : G/G_p → M : [g] 7→ g.p _と定めて, _{以下を示す}:

• well-defined _{であること}.

• _{全単射であること}.

▼ 用語:

◦ M = G/K _{を 等質空間表示 と呼ぶ} (_{こともある}).

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§1.5 _主定理 (2/3)

▼ 例:

◦ Sⁿ⁻¹ = O(n)/K, _ただし K :=













 1

α



 | α ∈ O(n − 1)









. (_{これを略記して} Sⁿ⁻¹ = O(n)/O(n − 1) _{で表すことが多い})

▼ 証明:

◦ O(n) y Sⁿ⁻¹ : 推移的は既に見た.

◦ _{よって次を示せば良い}: ∃p ∈ Sⁿ⁻¹ s.t. G_p = K.

◦ p := e₁ とすれば示せる.

▼ コメント:

◦ G_p は p に依存する (等質空間表示もそれによって変わる).

◦ _しかし, G_{p と} G_{q は共役なので}, _{あまり気にしない}.

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§1.5 _主定理 (3/3)

▼ 例:

◦ G_k(Rⁿ) = GL_n(R)/K,

ただし K :=













 α β

0 γ



 | α ∈ GL_k(R), γ ∈ GL_n−k(R)









. (∵) V₀ := span{e₁, . . . , e_k} における固定部分群を求めれば良い.

▼ 例:

◦ G_k(Rⁿ) = O(n)/K⁰ (= O(n)/(O(k) × O(n − k))),

ただし K⁰ :=













 α

γ



 | α ∈ O(k), γ ∈ O(n − k)









. (∵) _上記の V_{0 における固定部分群は} O(n) ∩ K _だから.

▼ コメント:

◦ 同じ集合 M が, 本質的に異なる等質空間表示を持つことがある.

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§1.6 _おまけ

▼ 多様体構造も考える:

◦ M : _{可微分多様体}, G : _リー群.

▼ 定義:

◦ G y M : なめらか

:⇔ _{作用を与える写像} Φ : G × M → M _{がなめらか}.

▼ 定理:

◦ G ⊃ K : _閉部分群

⇒ ∃1 _{可微分多様体構造} on G/K s.t. G y G/K : _なめらか.

▼ 定理:

◦ M : _{等質多様体} (i.e. ∃G y M : _なめらか, _推移的)

⇒ G ⊃ G_p : 閉, M = G/G_p : 可微分同相.

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2 _{集合としての対称空間}

§2.1 _概要

▼ やること:

◦ 対称空間論を多様体構造無しでやる.

▼ 目標:

◦ M : 等質な対称空間

⇔ M = G/K, _ただし (G, K) _は “_対称対”.

▼ 目次:

§2.2: 対称空間の定義.

§2.3: _{等質な対称空間}.

§2.4: 対称対.

§2.5: _主定理.

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§2.2 _{対称空間の定義} (1/3)

▼ 記号:

◦ M : _集合, Map(M) := {f : M → M : _写像 }.

▼ 定義:

◦ s : M → Map(M) : x 7→ s_x とする.

◦ (M, s) _{が 対称空間}

:⇔ (i) ∀x ∈ M, s_x(x) = x.

(ii) ∀x ∈ M, (s_x)² = id.

(iii) ∀x, y ∈ M, s_x ◦ s_y = s_sx(y) ◦ s_x. (意味は後で)

▼ 用語:

◦ s_{x を} x _{における 点対称 と呼ぶ}.

◦ 条件 (ii) を “s_x : 全単射” に弱めたものが カンドル.

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§2.2 _{対称空間の定義} (2/3)

▼ 復習:

(i) s_x(x) = x, (ii) (s_x)² = id, (iii) s_x ◦ s_y = s_sx(y) ◦ s_x.

▼ 例 (自明な対称空間):

◦ 任意の集合 M は, 自明な点対称 (s_x := id) により対称空間.

▼ 例 (ユークリッド空間):

◦ Rⁿ _は, _{通常の点対称} (s_p(x) := 2 p − x) _{により対称空間}.

▼ 例 (_球面):

◦ Sⁿ _は, 中心を通る直線に関する折り返しにより対称空間. (式で書くと s_p(x) := −x + 2hx, pip)

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§2.2 _{対称空間の定義} (3/3)

▼ 例 (_{グラスマン}):

◦ _{グラスマン多様体} G_k(Rⁿ) _は, _{次により対称空間}:

• r_V : Rⁿ → Rⁿ : V に関する折り返し.

• s_V : G_k(Rⁿ) → G_k(Rⁿ) : W 7→ {r_V(w) | w ∈ W}.

▼ 例 (群):

◦ 任意の群 G は, 次により対称空間: s_a(g) := ag⁻¹a.

▼ 補足:

◦ _群 G 上の点対称の意味は次の通り:

• s_e(g) = g⁻¹.

• L_a : G → G : g 7→ ag (_左移動) _とすると,

L_a ◦ s_e ◦ L_a⁻¹(g) = L_a((a⁻¹g)⁻¹) = ag⁻¹a = s_a(g).

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§2.3 _{等質な対称空間} (1/3)

▼ やること:

◦ _対称空間 (M, s) _{が 等質} :⇔ _{自己同型群} Aut(M, s) _が M _に推移的.

▼ 定義:

◦ f : (M, s^M) → (N, s^N) : 準同型

:⇔ ∀x ∈ M, f ◦ s_x^M = s^N

f (x) ◦ f

⇔ ∀x ∈ M, _次が可換:

M

s_x^M

−→ M

f ↓ ↓ f

N

s^N

f (x)

−→ N

▼ 命題 (s_x ◦ s_y = s_sx(y) ◦ s_x の解釈):

◦ ∀x ∈ M, s_x : M → M : 準同型.

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§2.3 _{等質な対称空間} (2/3)

▼ 定義:

◦ f : (M, s^M) → (N, s^N) _{が 同型} :⇔ f _{は全単射かつ準同型}.

◦ Aut(M, s) := { f : M → M : 同型 } _{を 自己同型群}.

▼ 命題:

◦ ∀x ∈ M, s_x ∈ Aut(M, s).

(余談: {s_x | x ∈ M} で生成される部分群を 内部自己同型群)

▼ 定義:

◦ (M, s) _{が 等質} :⇔ Aut(M, s) y M _が推移的.

▼ 例:

◦ (M, s) : _{自明な対称空間} (s_x = id) _は等質.

(∵) Aut(M, s) = {f : M → M : 全単射 } _だから.

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§2.3 _{等質な対称空間} (3/3)

▼ 例:

◦ _球面 Sⁿ _{は等質な対称空間}.

(∵) O(n) ⊂ Aut(Sⁿ, s) を示せば十分.

点対称は次で与えられてた: s_p(x) := −x + 2hx, pip.

O(n) の作用は和とスカラー倍と内積を保つので, _{点対称も保つ}.

▼ 例:

◦ _群 G (s_a(g) = ag⁻¹a) _{は等質な対称空間}.

(∵) _左作用 G y G が自己同型を示せば良い.

(_{ここで左作用は} a.g := L_a(g) = ag _{で与えられてた})

点対称は s_e を左移動でばらまいたものだった

(s_a = L_a ◦ s_e ◦ L_a⁻¹)

ことから従う.

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§2.4 _対称対 (1/2)

▼ やること:

◦ §2.4 _{で対称対を定義}.

◦ §2.5 _{で次を示す}: 等質な対称空間 ↔ _対称対.

▼ 記号:

◦ G _は群, G ⊃ K _は部分群.

▼ 定義:

◦ _組 (G, K, σ) _{が 対称対}

:⇔ (i) σ : G → G _は対合的 (σ² = id) _{な群自己同型}. (ii) K ⊂ Fix(σ, G) := {g ∈ G | σ(g) = g}.

▼ 例:

◦ σ = id のとき (G, K, σ) _は対称対 (自明な対称対).

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§2.4 _対称対 (2/2)

▼ 例:

◦ G := SL_n(R), σ : G → G : g 7→ ^tg⁻¹

⇒ • Fix(σ, G) = SO(n).

• ∀K ⊂ SO(n), (G, K, σ) _は対称対.

▼ 記号:

◦ I_{n を単位行列}, I_p,q :=



 I_p

−I_q



.

▼ 例:

◦ G := O(n), σ : G → G : g 7→ I_k,n−k g I_k,n−k

⇒ • Fix(σ, G) = O(k) × O(n − k).

• ∀K ⊂ O(k) × O(n − k), (G, K, σ) _は対称対.

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§2.5 _主定理 (1/3)

▼ やること:

◦ _{等質な対称空間} ↔ _対称対.

▼ 定理 (対称対 → 等質な対称空間):

◦ (G, K, σ) が対称対

⇒ _{以下で定まる} s _によって G/K は等質な対称空間となる:

• s_[e]([g]) := [σ(g)].

• a ∈ G _に対して ϕ_a : G/K → G/K : [g] 7→ [ag].

• s_[a] := ϕ_a ◦ s_[e] ◦ ϕ_a⁻¹. (G の作用でばらまいた)

▼ コメント:

◦ _{証明は直接計算}.

◦ s が well-defined の証明に K ⊂ Fix(σ, G) が必要.

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§2.5 _主定理 (2/3)

▼ 定理 (_{等質な対称空間} → _対称対):

◦ (M, s) _{が等質な対称空間}

⇒ _{以下で定まる} (G, K, σ) _{は対称対である}:

• G := Aut(M, s).

• M 3 p _{を一つ選んで}, K := G_p (_{固定部分群}).

• σ : G → G : g 7→ s_p g s_p (_ここで s_p ∈ G _に注意).

▼ まとめ:

◦ _{等質な対称空間} (M, s) ↔ _対称対 (G, K, σ).

▼ 例:

◦ _{自明な対称空間} (M, s) (s_x = id)

↔ 自明な対称対 (G, K, σ) (σ = id).

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§2.5 _主定理 (3/3)

▼ 対称対の復習:

◦ G := O(n), σ : G → G : g 7→ I_k,n−k g I_k,n−k

⇒ ∀K ⊂ O(k) × O(n − k), (G, K, σ) _は対称対.

▼ 例 (_球面 Sⁿ):

◦ (_復習) Sⁿ⁻¹ = O(n)/O(n − 1) _だった.

◦ σ : O(n) → O(n) : g 7→ I_1,n−1 g I_1,n−1 と定義.

◦ _すると (O(n), O(n − 1), σ) _は対称対.

▼ 例 (_{グラスマン} G_k(Rⁿ)):

◦ (復習) G_k(Rⁿ) = O(n)/(O(k) × O(n − k)) だった.

◦ (O(n), O(k) × O(n − k), σ) (_ただし σ _{は上記のもの}) _は対称対.

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§2.6 _おまけ

▼ 定義:

◦ _{リーマン多様体} (M, g) _{が リーマン対称空間} :⇔ ∀x ∈ M, ∃s_x : M → M : 等長変換 s.t.

• s_x(x) = x.

• (s_x)² = id.

• Fix(s_x, M) ⊃ {x} _は開集合.

▼ 命題:

◦ 連結リーマン対称空間 ⇒ (集合としての) 対称空間.

▼ 定理:

◦ 連結リーマン対称空間はリーマン対称対 (G, K, σ) _{と対応する}.

◦ _ここで, (G, K, σ) _{が リーマン対称対}

:⇔ _対称対, G は連結リー群, Fix(σ, G)⁰ ⊂ K ⊂ Fix(σ, G).

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