10 線形空間の内積，対称変換

2019年度・線形代数学・同演義II 2019^年12^月12^日

§10 線形空間の内積，対称変換，  Hermite

^{エ ル ミ ー ト}

 変換

今回の内容は教科書のpp. 165–170（ただしpp. 168–169の直交行列に関する記述を除 く）に相当します．

以下の問題で，𝐾 ^とはR^またはC^{のことである．}

10.1 𝑉 ^{を内積の与えられた}𝐾 ^{上の線形空間とし，}𝒖1，𝒖2，…，𝒖𝑘 をいずれも0^でない𝑉 のベクトルとする．いま，𝒖1，𝒖2，…，𝒖𝑘 からどの2個を選んでも，それらは互いに直 交していると仮定する．そのとき，𝒖1，𝒖2，…，𝒖_𝑘 は線形独立であることを証明せよ．

10.2 𝑉 =R[𝑥]3（3次以下の実数係数多項式全部のなす実線形空間）に，

(𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) =

∫ ₁

−1

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

によって内積を与える．いま，𝑘 =0，1，2，3に対し，𝑘 ^次多項式𝐹𝑘(𝑥)^を 𝐹_𝑘(𝑥) =

r2𝑘+1 2

1 2^𝑘 ·𝑘!

𝑑^𝑘

𝑑𝑥^𝑘(𝑥²−1)^𝑘

で定義する．𝐹0(𝑥)^，𝐹1(𝑥)^，𝐹2(𝑥)^，𝐹3(𝑥)が正規直交系であることを確かめよ．（ゆえ に前問の結果からこれらは線形独立で，R[𝑥]3は4次元だから正規直交基底をなす．）

10.3 ［教科書第6章章末問題・問題1 (1)（p. 200）に相当する問題．］

引きつづき前問の状況を考える．𝑘 =0^，1^，2^，3^に対し 𝑓𝑘(𝑥) = 𝑥^{𝑘 とおく．}𝑓0(𝑥)^， 𝑓1(𝑥)^，𝑓2(𝑥)^，𝑓3(𝑥) から，以下のようにして，𝑉 ^{の正規直交系} ℎ0(𝑥)^，ℎ1(𝑥)^，ℎ2(𝑥)^， ℎ3(𝑥)^{を構成する（}Gram–Schmidtの直交化法）．

𝑔0(𝑥) = 𝑓0(𝑥), ℎ0(𝑥) = 1

∥𝑔0(𝑥)∥𝑔0(𝑥), 𝑔1(𝑥) = 𝑓1(𝑥) − (𝑓1(𝑥), ℎ0(𝑥))ℎ0(𝑥), ℎ1(𝑥) = 1

∥𝑔1(𝑥)∥𝑔1(𝑥), 𝑔2(𝑥) = 𝑓2(𝑥) − (𝑓2(𝑥), ℎ0(𝑥))ℎ0(𝑥) − (𝑓2(𝑥), ℎ1(𝑥))ℎ1(𝑥), ℎ2(𝑥) = 1

∥𝑔2(𝑥)∥𝑔2(𝑥), 𝑔3(𝑥) = 𝑓3(𝑥) −

Õ2 𝑖=0

(𝑓3(𝑥), ℎ_𝑖(𝑥))ℎ_𝑖(𝑥), ℎ3(𝑥) = 1

∥𝑔3(𝑥)∥𝑔3(𝑥).

上記の手続きを実際に実行せよ．そして，得られるℎ0(𝑥)^，ℎ1(𝑥)^，ℎ2(𝑥)^，ℎ3(𝑥)^が，前 問の𝐹0(𝑥)^，𝐹1(𝑥)^，𝐹2(𝑥)^，𝐹3(𝑥) に一致することを確かめよ．

10.4 一般に，内積をもつ線形空間𝑉 ^におけるGram–Schmidtの直交化法は次のように記 述される．線形独立なベクトルの組𝒖1，𝒖2，…，𝒖𝑘 ∈𝑉 ^{が与えられたとき，}

𝒗1=𝒖1, 𝒆1= 1

∥𝒗1∥𝒗1, 𝒗2=𝒖2− (𝒖2,𝒆1)𝒆1, 𝒆2= 1

∥𝒗2∥𝒗2, 𝒗3=𝒖3− (𝒖3,𝒆1)𝒆1− (𝒖3,𝒆2)𝒆2, 𝒆3= 1

∥𝒗3∥𝒗3, . . . と定めてゆく．一般に，𝑗 =2，3，…，𝑘 ^に対して

𝒗_𝑗 =𝒖_𝑗 −

𝑗−1

Õ

𝑖=1

(𝒖_𝑗,𝒆_𝑖)𝒆_𝑖, 𝒆_𝑗 = 1

∥𝒗𝑗∥𝒗_𝑗.

（注意：複素線形空間の場合は(𝒖𝑗,𝒆𝑖)^と(𝒆𝑖,𝒖𝑗) ^{は異なる！）}

(1) 上記の手続きで得られる𝒆1，𝒆2，…，𝒆𝑘 が正規直交系となることを証明せよ．

(2) 数ベクトル空間C⁴に標準的な内積を与える．

𝒙1=©­

­­

« 1

𝑖 0 𝑖 ª®®®

¬

, 𝒙2=©­

­­

« 𝑖 1 0 1 ª®®®

¬

, 𝒙3 =©­

­­

« 0 𝑖 1+𝑖

0 ª®®®

¬

にGram–Schmidtの直交化法を適用して正規直交系をつくれ．