情報数学 I-A 講義のポイント No.2
復習 (No.1)
集合（Set）
A, B 集合を表す記号
a∈A, b /∈B 集合の要素を表す記号
∅≡ { }空集合
包含関係 B⊂Adef⇔ ∀x∈B⇒x∈A
真部分集合 B$Adef⇔ ∀x∈B⇒x∈A かつ ∃x0∈A s.t. x0∈/B 等号A=Bdef⇔ A⊂B かつ B⊂A (∀x∈B⇔x∈A)
和集合A∪B≡ {x; x∈A または x∈B}
共通集合A∩B≡ {x; x∈A かつ x∈B}
差集合A\B≡ {x; x∈A かつ x /∈B}
補集合Ac≡X\A={x∈X; x /∈A}
対称差A△B ≡(A\B)∪(B\A) 添え字の集合J の各要素αに
J∋α 7→ Xα を対応させて作られる集合 集合族A ≡ {Xα; α∈J}
和集合 ∪
α∈J
Xα
共通集合 ∩
α∈J
Xα
例１)J ={1,3,5}のとき，
集合族 A ≡ {X1, X3, X5} 和集合 ∪
α∈J
Xα=X1∪X3∪X5
共通集合 ∩
α∈J
Xα=X1∩X3∩X5
例２)J=N(自然数の全体)のとき，
集合族A ≡ {X1, X2, X3,· · · } 和集合 ∪
α∈J
Xα= ∪∞
k=1
Xk =X1∪X2∪X3∪ · · ·
共通集合 ∩
α∈J
Xα= ∩∞
k=1
Xk=X1∩X2∩X3∩ · · ·
講義の内容 (No.2)
直積集合
X×Y ≡ {(x, y) ; x∈X, y∈Y} 添え字の集合J の各要素αに
J ∋α 7→ Xα を対応させて作られる集合 集合族A ≡ {Xα; α∈J}
直積集合∏
α∈J
Xα
例１)J ={1,3,5}のとき，
集合族A ≡ {X1, X3, X5} 直積集合 ∏
α∈J
Xα=X1×X3×X5
例２)J =N(自然数の全体)のとき，
集合族A ≡ {X1, X2, X3,· · · } 直積集合 ∏
α∈J
Xα=∏∞
k=1
Xk =X1×X2×X3× · · · 実数Rの部分集合
閉区間[a, b]≡ {x∈R; a5x5b}=線分ab 開区間(a, b)≡ {x∈R; a < x < b}
半開区間(a, b]≡ {x∈R; a < x5b}
半開区間[a, b)≡ {x∈R; a5x < b}
例３)J =N(自然数の全体)のとき，
集合族A ≡ {A1, A2, A3,· · · } ただし，An≡(1
n,3−1n)
(n= 1,2,3,· · ·) 和集合 ∪
α∈J
Aα= ∪∞
k=1
Ak = (0,3),共通集合 ∩
α∈J
Aα= ∩∞
k=1
Ak = (1,2)
写像(mapping) f :X →Y
集合Xの各元xに集合Y の1つの元yを対応させる規則f のことをXか らY への写像という。
domf 写像f の定義域という。
ranf ≡ {f(x) ; x∈dom f} 写像fの値域という。
とくに，dom f =Xのとき，写像fの値域は，f(X)≡ {f(x) ; x∈X}
で表される。
(1) A ⊂ X に対して，f(A) ≡ {f(x) ; x∈A}を，Aのf による像と いう。
(2)B ⊂Y に対して，f−1(B)≡ {x∈X; f(x)∈B}を，Bのf による 原像という。
写像の種類
(1)単射(1対1，one-to-one, injection)
(*)∀y∈ranf に対して，∃1x∈X s.t. y=f(x) (**)∀x, x′ ∈domf に対して，x̸=x′ ⇒ f(x)̸=f(x′) (2)全射(上への，onto, surjection)
(*)ranf =Y
(**)∀y∈Y に対して，∃x∈X s.t. y=f(x) (3)全単射(上への1対1，one-to-one onto, bijection) (*)全射かつ単射
補題 1 写像f :X →Y に対して，
A⊂B ⇒ f(A)⊂f(B)
補題 2 J = N (自然数の全体)のとき，集合族 A ≡ {Aα;α∈J}, 集合族 B ≡ {Bα;α∈J}に対して，
Aα⊂Bα (∀α∈J) ⇒ ∪
α∈J
Aα⊂ ∪
α∈J
Bα
補題3 J = N (自然数の全体) のとき，集合族 A ≡ {Aα;α∈J},集合族 B ≡ {Bα;α∈J}に対して，
Aα⊂Bα (∀α∈J) ⇒ ∩
α∈J
Aα⊂ ∩
α∈J
Bα
定理4 (1.2) A1, A2⊂X, B1, B2⊂Y, f:X →Y に対して次が成立 する。
(1) f(A1∪A2) =f(A1)∪f(A2), f(A1∩A2)⊂f(A1)∩f(A2) ; (2) A1⊃A2 のとき，f(A1\A2)⊃f(A1)\f(A2) ;
(3) f−1(B1∪B2) =f−1(B1)∪f−1(B2), f−1(B1∩B2) =f−1(B1)∩ f−1(B2)
(4) B1⊃B2 のとき，f−1(B1\B2) =f−1(B1)\f−1(B2) ; (5) A1⊂f−1(f(A1)), f(
f−1(B1))
=B1∩f(X), f(
A1∩f−1(B1))
= f(A1)∩B1
