情報数学 I-A 講義のポイント No

情報数学 I-A ^{講義のポイント} No.11

復習 No.10

１）広義の実数全体R=R∪ {−∞,+∞}

i)数列{an} ⊂R の上限，下限，上極限，下極限，極限 単調増加列 a_n ↑ a₁5a₂5a₃5· · ·

単調減少列 an ↓ a1=a2=a3=· · ·

A_n≡ {a_m; m=n}と置くと，A_nは単調減少の集合列 An↓ A1⊇A2⊇A3⊇ · · ·

a_n≡supA_n= sup

m≥na_m (A_nの上限) a_n≡infA_n= inf

m≥na_m (A_nの下限) 定理1 数列{a_n},{

a_n}

に対して，

1. an↓ 2. an↑

定義2 数列{an}に対して，

1. lim sup

n→∞ an ≡ inf

n≥1an = inf

n≥1

(

m≥nsupam

)

を数列{an}の上極限（値）と いう。

2. lim inf

n→∞a_n≡sup

n≥1a_n= sup

n≥1

(

m≥ninfa_m )

を数列{a_n}の下極限（値）という。

3. 数列{a_n}に対して，上極限と下極限が一致する，すなわち，

lim sup

n→∞ a_n= lim inf

n→∞a_n のとき，数列{an}の極限 lim

n→∞an が存在する。

(a) lim

n→∞a_n=a (∈R) のとき，数列{a_n}はaに収束する。

(b) lim

n→∞an= { +∞

−∞ のとき，数列{an}は発散する。

4. Rにおいて，

級数

∑∞ n=1

a_n ≡ lim

m→∞

( _m

∑

n=1

a_n )

補題3 ∀n₁, n₂に対して，

m≥ninf1am5 sup

m≥n2

am

1

定理4 数列{an}に対して，次が成立する。

1. lim inf

n→∞a_n 5lim sup

n→∞ a_n 2. an↑ ⇒ lim

n→∞an = sup

n≥1an

3. an↓ ⇒ lim

n→∞an= inf

n≥1an

4. lim sup

n→∞ a_n = lim

n→∞

(

m≥nsupa_m )

5. lim inf

n→∞an= lim

n→∞

(

m≥ninf am

)

講義 (No.11) ^の内容

X; 集合 (2^X,≼)

A≼B ^def⇔ A⊆B

単調増加の集合列 A_n ↑ A₁⊆A₂⊆A₃⊆ · · · 単調減少の集合列 An↓ A1⊇A2⊇A3⊇ · · ·

A_n ≡ {A_m; m=n}と置くと，A_nは単調減少の集合族の列 A_n↓ A₁⊇ A₂⊇ A₃⊇ · · ·

An ≡supAn= sup

m≥nAm (Anの上限) An ≡infA_n= inf

m≥nA_m (A_nの下限)

定理5 集合列{A_n}に対して，次が成り立つ。

1. sup

n≥1A_n= ∪^∞

n=1

A_n

2. inf

n≥1An=

∩∞ n=1

An

3. An↓ 4. A_n ↑

定義6 集合列{An}に対して，

1. lim sup

n→∞ An ≡ inf

n≥1An = inf

n≥1

(

m≥nsupAm

)

を集合列{An}の上極限（集 合）という。

2. lim inf

n→∞A_n≡sup

n≥1A_n= sup

n≥1

(

m≥ninf A_m )

を集合列{A_n}の下極限（集合）

という。

2

定理7 集合列{An}に対して，次が成り立つ。

1. lim sup

n→∞ A_n= ∩^∞

n=1

∪∞ m=n

A_m

2. lim inf

n→∞An=

∪∞ n=1

∩∞ m=n

Am

3. lim inf

n→∞A_n ⊆lim sup

n→∞ A_n 4. An↑ ⇒ lim

n→∞An= sup

n≥1an =

∪∞ n=1

An

5. An↓ ⇒ lim

n→∞An= inf

n≥1an =

∩∞ n=1

An

3