採点基準数学（文系・理系）

(1)

採点基準数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（100点満点）

第1問（40満点）

（1）（配点12点）

(ア) 4点 (イ) 4点 (ウ) 4点

（2）（配点13点）

(ア) 4点

(イ) 6点(各3点) (ウ) 3点

（3）（配点15点）

(ア) 5点 (イ) 6点 (ウ) 4点

（1）（配点12点）

(ア) 4点 (イ) 4点 (ウ) 4点

（2）（配点13点）

(ア) 4点

(イ) 6点(各3点) (ウ) 3点

（3）（配点15点）

(ア) 6点(各3点) (イ) 6点(各3点) (ウ) 3点

(2)

（1）（配点9点）

 判別式より条件を示して6点

 答えに3点

（2）（配点6点）



x

²

 2 ( a  1 ) x  2 a  1

^{を因数分解して}3点

 答えに3点 (3)（配点15点）



g x ( )  x

²

 4 ax  4 a

²

 3 a  2

^{とおいたとき、放物線}

y  g x ( )

^の軸は

x  2 a

であることを述べて2点



g x ( )  0

^の解が

1   x 2 a  1

^{を満たす条件を示して}8点

 途中の計算と答えに5点

第4問（30 点満点）

（1）（配点12点）



R m (

²

)  R r ( )

² ^{となることを示して}4点



r  0 1 2 3 4 ,, , ,

^{それぞれに対して，}

r

²

, ( ) R r

² ^{の値を求めて}5点

 答えに3点

（2）（配点10点）



2 r

²

, ( R r 2

²

)

^{の値を求めて}8点

 証明できて2点

（3）（配点8点）

 背理法で示す方針を立て，

R b ( 2

²

)  R c ( )

² ^{となることを述べて}3点



R a ( )

² ^を求めて4点

（1）（配点12点）



f x ( )

^を

( x  1 )

²で割ったときの商を正しく設定できて3点



x

の恒等式を導き，係数を比較して5点

（2）（配点6点）



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^{の判別式を示して}4点

 答えに2点

(3)



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^が

x  1

^{を解に持つ場合の}

a

の値を求め，実数解の個数を求めて5点



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^が

x  1

を解に持たないとき，さらに

a

の値で場合分けをし，それぞれの解の個数を求めて6点

 答えに1点

第6問（30点満点）

（1）（配点8点）



AB ,AC ,AB AC     

の値をそれぞれ求めて3点(各1点)



 ABC

の面積公式を利用し，答えに5点

（2）（配点8点）



OH 

をパラメータ

( ,) s t

^表示し，

OH AB     0 ,OH AC     0

となる条件式を導けて3点



OH 

で設定したパラメータ

( ,) s t

 答えに1点

（3）（配点14）点）

 体積

V

^{が最大となるときの点}Pの位置を正しく捉えて4点

 O から平面

L

までの距離と，球の直径の長さを求め，四面体

ABCP

^の底面を

 ABC

^とみたときの高さを求め8点

 答えに2点

【理系】（200点満点）

（1）（配点17点）

(ア) 6点 (イ) 6点 (ウ) 5点

（2）（配点17点）

(ア) 6点

(イ) 6点(各3点) (ウ) 5点

（3）（配点16点）

(ア) 5点 (イ) 6点 (ウ) 5点

(4)

（1）（配点17点）

(ア) 6点 (イ) 6点 (ウ) 5点

（2）（配点17点）

(ア) 6点

(イ) 6点(各3点) (ウ) 5点

（3）（配点16点）

(ア) 6点(各3点) (イ) 6点(各3点) (ウ) 4点

（1）（配点15点）

 判別式より条件を示して10点

 答えに5点

（2）（配点10点）



x

²

 2 ( a  1 ) x  2 a  1

^{を因数分解して}5点

 答えに5点 (3)（配点25点）



g x ( )  x

²

 4 ax  4 a

²

 3 a  2

^{とおいたとき、放物線}

y  g x ( )

^の軸は

x  2 a

であることを述べて3点



g x ( )  0

^の解が

1   x 2 a  1

^{を満たす条件を示して}14点

（1）（配点15点）



R m (

²

)  R r ( )

² ^{となることを示して}5点



r  0 1 2 3 4 ,, , ,

^{それぞれに対して，}

r

²

, ( ) R r

² ^{の値を求めて}5点

 答えに5点

（2）（配点10点）



R m ( 2

²

)  R r ( 2

²

)

^{となることを示して}3点



2 r

²

, ( R r 2

²

)

の値を求め，証明できて7点

(5)

 背理法で示す方針を立て，

R b ( 2

²

)  R c ( )

² ^{となることを述べて}10点



R a ( )

² ^を求めて12点

（1）（配点20点）



f x ( )

^を

( x  1 )

²で割ったときの商を正しく設定できて5点



x

の恒等式を導き，係数を比較して8点

（2）（配点10点）



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^{の判別式を示して}6点

 答えに4点

（3）（配点20点）



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^が

x  1

^{を解に持つ場合の}

a

の値を求め，実数解の個数を求めて8点



x

²

 ( a  2 ) x   4 0

^が

x  1

を解に持たないとき，さらに

a

の値で場合分けをし，それぞれの解の個数を求めて9点

 答えに3点

（1）（配点14点）



AB ,AC ,AB AC     

の値をそれぞれ求めて6点(各2点)



 ABC

の面積公式を利用し，答えに8点

（2）（配点14点）



OH 

をパラメータ

( ,) s t

^表示し，

OH AB     0 ,OH AC     0

となる条件式を導けて6点



OH 

で設定したパラメータ

( ,) s t

 答えに2点

（3）（配点22点）

 体積

V

^{が最大となるときの点}Pの位置を正しく捉えて7点

 O から平面

L

までの距離と，球の直径の長さを求め，四面体

ABCP

₀^の底面を

 ABC

^とみたときの高さを求め12点

 答えに3点

(6)

（1）（配点10点）

 直線

l

_t^が点

( , ) 3 2

^{を通る条件を考え，}

t

^{の方程式を導いて}6点

（2）（配点20点）



t

^{の方程式を導き，点}

( , ) x y

^が

D

^{に属する条件は}

t

が実数解をもつことであると考えて3点



x  4 , x  4

で場合分けをし，それぞれについて実数解をもつ条件を示して12点(各6点)

 正しく図示して5点

（3）（配点20点）

 領域

E

^{を正しく把握して}5点



A( 1 2 , ) ,P( , ) x y

^とおき，

m

^を直線APの傾きととらえ，直線APの方程式を導いて3点

 領域

E

^と直線APの関係を図示し，

m

^{の最大，最小を示して}4点

 答えに8点(各4点)

（1）（配点20点）



 

⁵

1

^を導いて3点



1  

⁵

 ( 1   )( 1    

²

 

³

 

⁴

)

^を示して2点

 途中の計算と

1    

²

 

³

 

⁴^の値に5点



( 1   )( 1  

²

)( 1  

³

)( 1  

⁴

)

^を



^{ }

^

²

^

^³

^

^⁴



^{を含んだ式で表して}⁶^点



( 1   )( 1  

²

)( 1  

³

)( 1  

⁴

)

^の値に4点

（2）（配点16点）



d

₁

  1



, d

₂

  1

² ^と表して6点(各3点)

 途中の計算と答えに10点(各5点) (3)（配点14点）



sin



sin sin sin

  

 2  3  4

5 5 5 5

^を

d j

_j

(  1 2 3 4 ,,,)

^で表して6点



( 1 



)( 1 

²

)( 1 

³

)( 1 

⁴

)

^を

d j

_j

(  1 2 3 4 ,,,)

^で表して6点

 答えに2点

（1）（配点20点）



f x g x  ( ), ( ) 

^{をそれぞれ}

 f x ( )   g x ( )

^{の形に表して}12点(各6点)



f x ( )

^を

f x g x  ( ), ( ) 

^{を用いて表して}4点

 答えに4点

(7)



I

_{n k}_,^を求めて5点

 証明できて5点 (3)（配点20点）

 (2)より， _,

n n k n n

k k k n k k

n e n

n I

n k n k



















 



1 ² ²



1 ²



1



1 ² ²

が成り立つことを述べて3点



lim

ⁿ

n k

n dx

n k x

 



  



¹ ² ² ⁰¹

¹ ¹

² ^を導いて³^点



lim

ⁿ

n k

n dx

n k x

 

 

  

 

 

  



1 ² ² ⁰¹ ²

1

^{の値を求めて}⁷^点



lim

n k

e n





 



1 ²

の値を求めて5点

 答えに2点

採点基準 数学（文系・理系）