採点基準数学（文系・理系）

(1)

1/4

第 1 回 6 月京大本番レベル模試（2019 年 6 月 23 日実施)

採点基準数学（文系・理系）

【共通事項】

１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点２．分母の有理化の不備については減点なし３．別解の配点は解答の配点に準ずる

【文系】（150点満点）

第1問（30点満点）



   

OP,OQ,OR,OSをそれぞれ

  

OA,OB,OCで表して4点

 新たにパラメータを設定し，P,Q,R,Sが同一平面上にある必要十分条件を述べて10点



  

OA,OB,OCが1次独立であることから，上記のパラメータをp,q,r,sで表して10点

 証明できて6点

 箱の中に白のカードが残らない事象を正しく場合分けをして10点

 最初に白のカードを取り出す確率を求めて2点

 2回目に取り出すときに白のカードが含まれる確率を求めて8点

 答えに10点

 P,Q,Rのx座標をそれぞれp q r, , としたとき，それぞれの接線の方程式をp q r, , で表し，

接線どうしの交点をそれぞれp q r, , で表して6点

 Gの座標を上記のp q r, , で表して4点

 Pを通り直線QRに垂直な直線，Qを通り直線RPに垂直な直線をそれぞれ求めて8点(各4点)

 Hのy座標からp q r, , の関係式を求めて8点

(2)

2/4 第4問（30点満点）

(1)（配点22点）

 C_aに外接する円の中心を 1 b b

  

 

 

B , のようにおき，中心間の距離の関係よりa b, の関係式

3 2 2 3

2 4 0

ab  a b a b  を導いて8点

 f x( ) ax³ 2a x² ² a x³ 4のようにおき，f x( ) 0 が2つの正の解をもつようなaの値を求める方針を立てて2点

 上記のf x( )に対して増減を調べ，極値を求めて10点

 答えに2点 (2)（配点8点）

 3つの円の半径をすべて求めて4点

 答えに4点

 mod 6で考えたときに，条件(*)がm0,1,2 3, のいずれに対してもf m( )0であることと同値であることを述べて4点

 mod 6でjが奇数のとき

2

^j

 2

，jが偶数のとき

2

^j

  2

，任意の自然数jに対して

(-2)

j

 -2

であることを述べて6点

 mod 6で任意の自然数jに対して

3

^j

 3

となることを述べて2点

 条件(*)がmod 6で条件A B 0,B A 0,2(A B) 0,2(AB)0,3(A B) 0がすべて成り立つことであることを述べて10点(各2点)

 正しく証明できて8点

(3)

3/4

【理系】（200点満点）

 A,Bの座標をそれぞれtで表して10点(各5点)

 A,BでのKの接線の傾きを求めて4点

 線分ABが円Eの直径であることを示して6点



2

2 4

t t

S t e e

t t

p  ^



  

 

 

( ) を導いて5点

 答えに10点

 箱の中に白のカードが残らない事象を正しく場合分けをして10点

 最初に白のカードを取り出す確率を求めて2点

 2回目に取り出すときに白のカードが含まれる確率を求めて8点

 答えに10点

 mod 6で考えたときに，条件(*)がm0,1,2 3, のいずれに対してもf m( )0であることと同値であることを述べて4点

 mod 6でjが奇数のとき

2

^j

 2

，jが偶数のとき

2

^j

  2

，任意の自然数jに対して

(-2)

j

 -2

であることを述べて6点

 mod 6で任意の自然数jに対して

3

^j

 3

となることを述べて2点

 条件(*)がmod 6で条件A B 0,B A 0,2(A B) 0,2(AB)0,3(A B) 0がすべて成り立つことであることを述べて10点(各2点)

 正しく証明できて8点

(1)（配点15点）

 ACBDから，(g a d b )(  )(g a d b )(  )0 を導いて6点

 _a ¹ _b ¹ _g ¹ _d ¹

a b g d

 ,  ,  ,  を利用して結論を導けて9点

(2)（配点20点）

 OH0 OI0

   

かつのとき，pをa b g d, ,,で表して8点

 OH

  

0 OI

 

0



またはのときも上記のpとa b g d, ,,の関係が成り立つことを述べて2点

 zの方程式z + az + b = 0² の解と係数の関係から，a g  a,agbを述べて2点

 2p + aとbをそれぞれb d,で表して4点(各2点)

(4)

4/4 第5問（35点満点）

(1)（配点15点）

 P,Q,Rのx座標をそれぞれp q r, , としたとき，それぞれの接線の方程式をp q r, , で表し，

接線どうしの交点をそれぞれp q r, , で表して5点

 Gの座標を上記のp q r, , で表して2点

 pとX，qとX，rとXの関係式をそれぞれ導いて6点(各2点)

 証明できて2点 (2)（配点20点）

 p q r, , がtの3次方程式t³ 3Xt² 3t6X 0の解でなければならないことを述べて2点

 上記の逆について述べ，Xの取り得る値の範囲は，このtの3次方程式が異なる3つの実数解をもつための条件として求められることを述べて6点

 f t( )t³ 3Xt² 3t6Xのようにおき，f t( )の増減を調べて3点

 f t( )の極値の符号を考察することにより，結論を導いて9点

 A(1, , ),B( cos ,sin , ),C( , , ) (0 0 a a 0 a b c c0)のような体積が求めやすい座標を設定して 4点

 上記の設定の下，a + b +c = 1² ² ² を述べて4点

 上記の設定の下，acosbを導いて4点

 上記の設定の下，bをa b g, , で表して8点

 cをa b g, , で表して10点

 途中の計算と答えに5点

採点基準 数学（文系・理系）

第 1 回 6 月京大本番レベル模試 （2019 年 6 月 23 日実施)