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2020 年第 1 回 7 月名大本番レベル模試 （2020 年 7 月 12 日実施)
採点基準 数学（理系）
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【理系】（250点満点）
第1問（50点満点）
(1) （配点 27点）
a>0が必要であることに4点
lim
1 0'( )
x
f x
→ +
= ∞
が必要だからa>0など、方法は様々。0
a
≧ を示していても可。 分子の有理化に3点。Ⓐ
※ⒶⒷについて、bを巻き込んだ変形も可。
2 2
2
(1 ) 2 1
( )
1
a x abx b
f x
x ax b
− − − −
= − + +
―Ⓐ=
2 2
2
(1 ) 2 1 ( )
1 1 a x ab b f x x
x a
− − − +
=
− +
―Ⓑ
極限が分かる形にして2点。Ⓑ
1 − a
2= 0
を導いて2点。 a,bに6点。（各3点）
増減の根拠に3点。
y=f (x)が単調増加することに2点。（グラフから読み取れれば、無記述でもよい）
図示に5点。
大まかな形に3点。
(1,1)、漸近線にy=2に1点ずつ（漸近線がある図は4点、ない図は1点）
lim
1 0'( )
x
f x
→ +
= ∞
、凹凸は不要。(2) （配点 23点）
接線の方程式に5点。Ⓒ
Bのy座標に3点。
※Ⓒのy切片が正しいとき、自動的に加点。
Cのx座標に3点。
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S (t)をtの式で表して5点。
極限が分かる形にして5点。
答えに2点。
【a=1,b=
− 2
についての別解】（17点分） f (x)を極限が分かる形にして3点。
1
2lim( 1 )
x
a b
x x
→∞
− − − −
に3点。 1－a=0を導いて2点。
分子の有理化に3点。
※この形から、増減の根拠（3点)も加点される。
答えに6点。（各3点）
第2問（50点満点）
(1) （配点 16点）
※Ⓐについて
余計なものは1つにつき-1点。ただし、下限は0。
p
2を求める過程に4点。Ⓐ（計4通りに1点ずつ）方法は問わない。
p
2の値に4点。
p
4を求める過程に4点。Ⓐ（計4通りに1点ずつ）方法は問わない。
p
4の値に4点。(2) （配点 34点）
S
nが3つあることに4点。
S
n= n
のとき1通りであることに2点。
S
n= 3 n
のとき1通りであることに2点。
S
n= 2 n
のとき文字を設定して5点。 (x,y,z)をパラメータ表示して4点。
nが偶数の時のzの値に2点。
(x,y,z)の組に3点。（ココが正しければ上記も加点）
( x y z , , ) ( ↔ a a
1,
2, , a
n)
が1対1に3点。「よって、
( a a
1,
2, , a
n)
も( 1)
2
n +
通り」程度の記載で可 nが奇数の時のzの値に2点。
(x,y,z)の組に3点。（ココが正しければ上記も加点）
nが偶数のときのPnに2点。
nが奇数のときのPnに2点。
第3問（50点満点）
（1）（配点25点）
文字置きして6点（各3点）
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z
2+ − ( a 1) z − − = ( a 3) 0
に3点。
PQ
が
l m ,
と垂直であることに6点。（各3点）※直接数式で立式した場合、値が正しくなくても加点してよい。
Sの値に3点。
Tの値に3点。
P、Qの座標に4点。（各2点）
（2）（配点25点）
※ベクトルの面積公式利用については、別紙。
PDE
の面積をDE、PQで表して4点。 PQ=
66
に4点。
PDE
の面積の値に4点。
l ⊥ m
に4点。Ⓐ（(1)に記述されている場合に注意） 高さがCPとなることに4点。
※Ⓐが記述されているときのみ加点。
四面体PCDEの体積の値に5点。
【解説】
(1)
最初の答えの9点と答の4点は小同じ。
| PQ |
2の平方完成に6点。
※1ヶ所でもミスがあったら0点。
最少となる値
s = − 2, t = 1
に3点ずつ。第4問（50点満点）
（1）（配点24点）
Xの値を出した時点では加点しない。
a
nの値に5点。
a
n≠ 1
に3点。（背理法を利用していれば） 上記仮定を数式化して3点。
a
nの式に5点。 （イ）に反することに5点。
※和計算の軽微なミスは許容。
結論を明示して3点。
（2）（配点26点）
このNの導入に3点。
1
≦ ≦n N − 1
のときのa
nの値に3点。
N
≦n
のときのa
nの値に3点。（理由は不要） 和を分けていれば4点。
4/4
997
1 k k
a
∑
= の値に4点。 （イ）を式処理して3点。
N =11に3点。
答えに3点。
【解説】
(2)
このようにしてこれを求めた場合、(2)において最初の3点×3を加点してよい。
第5問（50点満点）
1または
− 1
を解に持つことに6点。理由なしでも可とする。<解1>
α=1のときの
f (1)
に3点。 2次方程式を導いて4点。
解が互いに共役な複素数であることに3点。
解の絶対値が1を利用して3点。
( 1)
22 11
2
a a a i
z − + ± − + +
=
から|z|=1など、方法は様々。 aに3点。
bに3点。
（※）の3解に3点。（抜けは2点止まり）
α=
− 1
のときのf (1)
に3点。 （※）を変形して4点。
z
2+ − ( a 1) z − − = ( a 3) 0
の解に6点（3点×2） aの値に3点。
bの値に3点。
（※）の3解に3点。
※(ii)は(i)と同じ基準、対称性を用いるものは別紙。
<解2>
（※）が虚数解をもつならば共役な複素数も解なことに5点。（「係数が実数」に言及すること が必要）
α=1またはα=
− 1
に気づいていれば6点。共役虚数解をもつことに3点。
解の絶対値が1を利用していれば3点。
a,b,α,θに関する条件式3つに15点。（各5点）
α=1のときのa,bの値に6点。（各3点）
α=1のときの（※）の解に3点。（1抜けは2点止まり）
α=
p
4のときのa,bの値に6点。（各3点） α=
