2022 年度第 2 回東北大本番レベル模試
採点基準 数学
【共通事項】
１．約分の未了，根号内の整理不備は１点減点 ２．分母の有理化の不備については減点なし ３．別解の配点は解答の配点に準ずる
【文系】(200点満点) 第1問 (50点満点)
(1) (配点10点)
Pの座標を(x,y)とおき，AP=BPからxとyの関係式を求めて5点
答えに5点 (2) (配点40点) (i) (配点17点)
Qの座標を(x,y)とおき，AQ : QB 1 := rからxとyの関係式を求めて5点
上記で求めた関係式をr = 1のもとで中心と半径が分かる形に変形できて8点
円Cの中心と半径を求めて4点(各2点) (ii) (配点23点)
原点が円Cに含まれる条件を不等式で表して5点
上記の不等式を(4r - 1)(r - 1) < 02 2 まで整理して5点
上記から1 2
< r < 1
4 を導いて6点
rの範囲を求め，r = 1を満たすことを述べて7点
第2問 (50点満点) (1) (配点10点)
Cと
l
の共有点のx座標が，x x| -1|= txの解であることを述べて3点 上記の解がx = 0と|x-1|= tの解であること述べて3点
答えに4点(完答) (2) (配点20点)
Cの式を絶対値を用いずに表して2点
Cの原点における接線の傾きと0 < t < 1の関係の論述，および図示に4点
S(t)を求める定積分の式の立式に2点
S(t)を求める計算に7点
S(t)を求めて5点(0 < t < 1がなければ4点)
(3) (配点20点)
S (t)¢ を求めて5点
S(t)の増減を調べ，S(t)を最小にするtを求めて5点
S(t)の最小値を求める計算と答えに10点
第3問 (50点満点) (1) (配点15点)
m ( , )
q = m n
n は互いに素な正の整数 のような設定に5点
上記を方程式に代入したときn = 1となることを示して7点
証明の結論を述べて3点 (2) (配点12点)
q = 5であることを示して7点
答えに5点 (3) (配点23点)
q + 5が175の約数であることを述べて5点
q + 5が7の約数であることを述べて4点
q k ,
を求める計算と答えに14点第４問 (50点満点) (1) (配点7点)
自分以外の3人すべてに勝った人1人の選び方に2点
上記の1人が3つの対戦で勝つ確率，および残る3つの対戦の結果が任意であることを述べて 2点
答えに3点 (2) (配点25点)
勝ち数に対応する人数の組合せに7点
勝ち数が等しい人が存在しない場合の状況を述べて8点
勝ち数が等しい人が存在しない確率を求めて 5点
答えに5点 (3) (配点18点)
勝ち数が等しい人が存在する事象をX，自分以外の3人すべてに勝った人が存在する事象をY のように定めたうえでP X( )を表して5点
上記の設定のもと，P X( ÇY)を求めて5点
条件付き確率の定義，および答えに8点
【理系】(300点満点) 第1問 (50点満点)
(1) (配点13点)
領域Aを表す不等式の絶対値を外し，x+y x, -yの範囲に直して4点
上記をyの範囲に直して4点
図示に5点 (2) (配点17点)
点Qの座標を表すパラメータu v, をx y, について解いて4点
領域Bを表す不等式の絶対値を外し，2u+1 2,v-1の範囲に直して4点
上記をu,vの範囲に直して4点
図示に5点(座標等が抜けている場合は3点) (3) (配点20点)
領域Bの点(u v, )に対して，第1～第4象限にある部分でのu2 +v2のとり得る値の範囲をそ れぞれ求めて16点(各4点)
答えに4点
第2問 (50点満点) (1) (配点7点)
自分以外の3人すべてに勝った人1人の選び方に2点
上記の1人が3つの対戦で勝つ確率，および残る3つの対戦の結果が任意であることを述べて 2点
答えに3点 (2) (配点25点)
勝ち数に対応する人数の組合せに7点
勝ち数が等しい人が存在しない場合の状況を述べて8点
勝ち数が等しい人が存在しない確率を求めて 5点
答えに5点 (3) (配点18点)
勝ち数が等しい人が存在する事象をX，自分以外の3人すべてに勝った人が存在する事象をY のように定めたうえでP X( )を表して5点
上記の設定のもと，P X( ÇY)を求めて5点
条件付き確率の定義，および答えに8点
第3問 (50点満点) (1) (配点20点)
f x( )の式の設定に4点
有理数解 = q ( ,p q ,p 0)
a p は互いに素な整数 > の設定の下，f x( )に代入した式に4点
式変形を行ってp = 1を示して7点
正しい証明の下で，証明の結論を述べて5点 (2) (配点30点)
a
の満たす4次方程式を導出して5点 (1)の利用により，a= 1,p,p2が必要であることを述べて5点
a= 1,p,p2それぞれのとき条件に適しているかを確認して15点(各5点)
答えに5点
第4問 (50点満点) (1) (配点6点)
OCを求める計算と答えに6点 (2) (配点20点)
OP =
OQ = 1,OP OQ
⋅ = 0を述べて3点
2
OQ OR⋅ - 2
OR OP⋅ = -1, OQ OR2
⋅ -
OR OP⋅ = -1をそれぞれ導いて10点(各5点)
上記の2式より OQ OR 1
= -2
⋅を導いて4点
答えに3点 (3) (配点10点)
OR OP⋅ = 0を求めて4点
四面体OPQRの体積を求めるときの底面と高さの説明，あるいは立式に3点
答えに3点 (4) (配点14点)
OSを
OP ,OQ ,ORで表して4点
OP OS⋅の値に5点
答えに5点
第5問 (50点満点) (1) (配点25点)
3次方程式の解
a b g , ,
はいずれも実数であるか，または1つが実数で他の2つが互いに共役 な複素数であることを述べて3点
a b g , ,
がいずれも実数であるとき，同一直線上にあることを明記して2点 3 次方程式の左辺をf x( )とおいたとき，
a b g , ,
がいずれも実数となる条件p > 0かつ f(- p) > 0かつf( p) < 0を求めて3点
a b g , ,
がいずれも実数であるときのp q, の条件を求めて4点
a b g , ,
の1つが実数で他の2つが互いに共役な複素数であるとき，p < 0 q = 0,
であること を示して7点 図示に6点(境界に対する言及に3点)
(2) (配点25点)
a= cosq+ isinq (0 <q<p)，bをaの共役複素数と設定した下で，g = -2cosqとなるこ とを述べて5点
上記の設定の下，ab+bg+ga abg, からp q, の関係式q = 3p + 12 を導いて10点
(1)と合わせq = 3p + 1 (-2 < q < 2,q2 ¹0)を求めて4点
図示に6点(境界に対する言及に2点)
第6問 (50点満点) (1) (配点10点)
k 1 2
k
1 dx x
ò
+ を求め，左側の不等式を示して6点 右側の不等式を示し，証明の結論を述べて4点 (2) (配点20点)
(1)の左型の不等式に対してk = mからk = n - 1までの和をとって5点
上記を計算し，右側の不等式を示して5点
(1)の右側の不等式に対してk = mからk = n - 1までの和をとって5点
左右の不等式を正しく示し，証明を完成させて5点 (3) (配点20点)
(2)の不等式をm = 2,3,n = 100でそれぞれ用いた式に10点(各5点)
1.6 < S < 1.7を求めて5点
答えに5点
