谷口 金子 手塚 福本 若山 谷口，金子，手塚，福本，若山
数学と産業 数学と産業 数学と産業 数学と産業
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数学
数理科学 産業
II
制御理論，OR理論 → 数理ファイナンスにも
統計学，学習理論，最適化理論統計学，学習理論，最適化理論
・・・ 画像認識
ウェーブレット解析ウェ ブレット解析→ 指紋認識指紋認識(FBI)(FBI)
ラドン変換 → CT画像
整数論整数論 → 暗号理論暗号理論
確率解析 → 数理ファイナンス
非線型方程式非線型方程式((渦渦))，スプライン，スプライン
→ 航空機
位相幾何学位相幾何学((結び目結び目)) → DNADNA解析解析
離散微分幾何学，PDE
→ 映像，可視化（CG )
→ 映像，可視化（CG…)
顕微鏡をのぞくと株価が！
ブラウン運動の発見から数理ファイナンスまで
数理学研究院 谷口説男
株価とブラウン運動
ブラウン運動
株価とブラウン運動
株価の変動（Yホ ルデ ングス）
株価の変動（Yホールディングス）
ブラウン運動のｘ座標
1次元ブラウン運動 (数学的に) 1次元ブラウン運動 (数学的に) 原点から出発する連続関数の空間
W
原点から出発する連続関数の空間W
W={ w:[0 ∞)→R |
連続w(0)=0}
：全事象W={ w:[0,∞)→R |
連続，w(0)=0}
：全事象座標関数
B
t:W→R (B
t(w)=w(t))
座標関数B
t:W→R (B
t(w)=w(t))
時刻
t
での位置(i) B t+s -B s と {B u :u≤s} は独立
時刻 位置
( ) { }
(ii) (ii)
幾何ブラウン運動
03
幾何ブラウン運動
Louis Bacherier (1870-1946)
時刻
t
での株価∝B t 時刻 t での株価∝B t
P l S l (1915 2009 12 13)
時刻
t
での株価Paul Samuelson (1915-2009.12.13)
時刻
t
での株価∝ exp(σB exp(σB t t +νt) +νt)
Black-Sholes
の 価格公式確率論小史
04
確率論小史
1654 Blaise Pascal
（1623 1662
）1654 Blaise Pascal
（1623-1662
）Pierre de Fermat
（1601-1665
）Pascal
Fermat
往復書簡 ゲーム中断時の掛け金の配分
1812 19 Pi Si L l
1812
，19 Pierre-Simon Laplace
統計・確率論の基礎概念Laplace
統計 確率論の基礎概念
1932 Andre
ｙKolmogrov
伊藤清 確率積分 確率微分方程式
Foundations of the Theory of Probability
1942
伊藤清 確率積分・確率微分方程式顕微鏡 顕微鏡
発明 1590年頃オランダ人ヤンセン親子 発明：1590年頃オランダ人ヤンセン親子 (Hans, Zacharias Janssen)
Robert Hooke;1635-1703
Anton van Leeuwenhoek;
1632-1723
ブラウン運動の発見(現象)ラウン運動の発見(現象)
Robert Brown;1773-1858 1828(1827年夏の観測) 非生物現象（すす 岩石 鉱物
Adolphe Brongniart;
1801-1876 1827年 非生物現象（すす,岩石,鉱物,
スフィンクスの破片）
Jan Ingenhousz;1730-1799 1784年 アルコール上の炭素粒子
ユーロネクスト・パリ（旧パリ証券取引所
ブラウンの見たものラウンの見たもの 07
水の中に浮かぶ花粉にから出てき 水の中に浮かぶ花粉にから出てき た微粒子が，止むことのない不規則 でジグザグな運動を行うことを観察 でジグザグな運動を行うことを観察
B.Ford
19世紀後半(なぜ動く？)
08
世紀後半(なぜ動く )
～1880年代
～1880年代
(a)光による不規則な加熱，
(b)溶液内の温度差，溶液の蒸発
1877年 J. Delsaux 水分子との衝突による ( )溶液内の温度差，溶液の蒸発
(c)溶液の表面張力
(d)電気的な力
YES
1888年 L. Gouy
(1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可 (1)運動は非常に不規則，軌道は微分不可 (2) 粒子はお互いに独立に動く
(3) 粒子が小さい，溶液の粘性が低い 溶液 度が が 激 くな 溶液温度が上がる，と運動は激しくなる (4) 粒子の組成・濃度は運動に影響しない
(5) 運動は止むことがない カルノーの原理？
(5) 運動は止むことがない ル 原理
ポアンカレ
19世紀後半 原子は存在しない 19世紀後半 原子は存在しない
電磁気学理論 電磁気学理論
「連続な 微分方程式で
熱力学の成功（巨視的）
微分方程式で
記述できる」 Lucretius;BC99年頃-BC55
実証主義
J.Maxwell 物質はすべて原子から成りたつ
部屋に差し込む光に浮かぶ微塵
実証主義
気体分子論
E.Mach F.Ostwald L.Boltzmann
気体分子論 統計力学
1905年 奇跡の年 アインシュタイン 1905年 奇跡の年 アインシュタイン
光量子仮説，ブラウン運動，特殊相対性理論
時刻
t
にx
の回り単位体積空間に 時刻t
にx
の回り単位体積空間に見つかるブラウン運動する 微粒子の数
f(x t)
微粒子の数f(x,t)
熱方程式
Albert Einstein, 1879-1955
核 ガウス核
アインシュタインよりも先に
11
アインシュタインよりも先に
1904 1906 1906
William Sutherland (Austraria) 1859 1911
Marian von Smoluchowski 1872-1917 R：気体定数，T：絶対温度
1859-1911 1872-1917
気
NA：アボガドロ数 η：粘性率，a：粒子半径
歴史ー数学的に 1880年 12
Thorvald Thiele;1838 1910 Thorvald Thiele;1838-1910
デンマーク人の天文学者・統計学者1880
年計器の時刻tにおける位置
B t
の推定 計器の時刻tにおける位置B t
の推定 観測値：Z t = B t + ε ｔ
（測定誤差あり）B t
は独立な増分を持つB t
は独立な増分を持デンマーク語の論文
最小二乗法
歴史ー数学的に 1900年 歴史 数学的に 900年
L i B h i 1870 1946 Louis Bacherier;1870-1946
Théorie de la spéculation,
投機の理論Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.17 (1900), 21--86
S
株価S S S
と仮定S
t：株価S
t-S
s～S
t-s と仮定熱方程式・ガウス核
熱 式 核
数学的厳密性？
学位論文
honorable
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学位論文
honorable
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中心極限定理・
Donsker
の不変原理歴史ー数学的に 1905ｰ13年 15
R：気体定数，T：絶対温度，
NA：アボガドロ数， Les Atomes (1913)
直径1μm程度の球形微粒子を浮かべたコロイド溶液で精緻な観測 Jean Perrin;1870-1942
η：粘性率，a：粒子半径
(i) ストークスの法則を『小さい』ブラウン粒子に適用してよい (ii) 浸透圧の公式を『大きい』ブラウン粒子に適用してよい (iii) 平均二乗変位σ＾2∝t
(iii) 平均二乗変位σ 2∝t，
粒子の変位のヒストグラムは正規分布のグラフに一致する
(iv) Dを力学的拡散係数と同一視して良い
(iv) Dを力学的拡散係数と同 視して良い
(v) 種々の方法によるアボガドロ数の計測
⇒Einsteinのアボガドロ数の計測法が正しい
歴史ｰ数学的に 1923年 16
b
Norbert Wiener
;1894-19641923 Differential space, J. Math. Phys. 2
ブラウン運動の存在！
連続性！
連続性！
歴史ｰ数学的に 1931年
Andrey Kolmogorov
;1903 1987Andrey Kolmogorov
;1903-1987 Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann. 104拡散過程の構成⇔偏微分方程式 拡散過程の構成⇔偏微分方程式 コルモゴロフの拡張定理ル フ 拡張定理
コルモゴロフの連続性定理
歴史ｰ数学的に 1940年
Paul Lévy;1886-1971 Paul Lévy;1886 1971
Le mouvement Brownien plan Amer Jour Math 62 (1940) Amer. Jour. Math., 62 (1940)
Haar関数 Haar関数
(k+1)2-n+1 k2-n+1
