次正方行列の固有値問題

次正方行列の固有値問題

戸瀬 信之

Aeit 北出 ) I A

⁼

( と )

・

バー

_」

が

払

ほ )

^m

(

_int

な )

⁼

APG ) も 出た ま )

型 だ が

^→

が

ほ ) で は 高 )

.g e

座標 変換 し ない PGD に 正則 ぼ で 烑 川

( え ) で Ja

^を

表現 する こと が な 言 が

。

( シ )

⁼

が ( 8 ) うまく 選ぶ

nrnnn

(i) が 別

(j)

⁼

が ( な )

⁼

が

^円

( ま )

⁼

○ が 円 は 信 」

で いい ( 虹 が 的

Tien

が AP

⁼

( とう ) 単純

^に

3 3

^.

I ぼ いが

龜 梁 は がい か ぼ 」

^→

と 興

E

^{: 正}

則

^→

か が

,

T ピ

( は

_、^一

に ) が

⁼

8

1 3

^{: 2× 2}

罒的 で -8 }

が 国 に対して

BR

⁼

8

1

^~

な こ 器 : 韞

で

る @tIiAlt.o

B

_は

正則

↳ ^{一 一}

展開

^。

次正方行列の正則性（復習）

◆ ⇣

次正方行列 2 ( )に対して は正則 , ⇣

~ =~ )~ =~⌘

, | |6= 特に

9~ 6=~ ⇣

~ =~⌘

,| |=

✓ ⌘

うり ^ベクトル

表示

as^,

THE

^.

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⁾

い た

^ひ

だ

^{が いい。}

)

n n

nnhe

○

_{_}

総

足 、

でも

. p ro

次正方行列の固有方程式

次正方行列 =

✓ ◆

の固有多項式

( ) = | |

=

= ( + ) +

= ( + ) + det( )

(↵) = , ~ =↵~_を満たす~ 6=~_が存在

入 I

、^- A=

( 出 )

^-

( 出 )

=

(

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.

. .

_ .ca^- a

)

nneth.E.ca

^{- as a -}

d

^{) - ec}

ftp.

⁼

IAI

atd ^{= t}~ CA) A ^の トレース

tmall.nl?IrAl=

^。

(

のむ

A

) で

=

?

具体例

=

✓ ◆

の固有多項式

( ) =

= = ( )( + )

固有値 = の固有ベクトルを求める。

✓ ◆ ✓ ◆

=~ , = , =

から ✓ ◆

=

✓ ◆

=

✓ ◆

( 6= )

い、 ^{- A =}

( 沅 )

^-

( た )

は

だい

^に

1

^入

を

^a

簡王 興

国有^で_se

bing.nu

^{= でって}

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^{いく ) - C-DC-4}

)

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.

-1. ^'

t⁼ 5

,

- 1 A の

固有値

. m eThen _in

時 に

⁵⁽

ま

)

〇

〇

〇

一 y

^い

ど

^{-) が}

角

^{化 でまろ、}

(t) (5IEA)し

ま

⁾⁼⁸

{

^{-4つく+ 2}_y⁼

OTL I

- -

5 箱 器 に )

具体例

固有値 = の固有ベクトルを求める。

✓ ◆ ✓ ◆

=~ , = , =

から ✓ ◆

=

✓ ◆

=

✓ ◆

( 6= )

品質 籩 8

-

に たて た

^{がいい 。}

-

nn

い た )

いいと き

た ( 岩 ) に 品 ) 主 に )

AT

^{= 一}

で

^{re n}

行列の対角化

~ =

✓ ◆

, ~ =

✓ ◆

, = (~ ~ )とすると

= ( ~ ~ ) = ( ~ ~ )

= (~ ~ )

✓ ◆

=

✓ ◆

det( ) = = 6= _{から は正則}

は対角化可能

=

✓ ◆

「 開

然 」 が い

.is

o -7

^_

t. 孿

^で

城 だ が が

行列の対角化（その意味）

が定める変換✓ ₀

0

◆

=

✓ ◆

変数変換

✓ ◆

=⇠~ +⌘~ =

✓⇠

⌘

◆

✓ ₀

0

◆

=⇠⁰~ +⌘⁰~ =

✓⇠⁰

⌘⁰

( 爾

◆

i

行列の対角化（その意味）

✓⇠⁰

⌘⁰

◆

=

✓ ₀

0

◆

=

✓ ◆

=

✓⇠

⌘

◆

=

✓ ◆ ✓

⇠

⌘

◆

座標 変換

^で

だ

^が→

が

を

見える

_よう に している

!

¹.

. .

.

\ 55

月

一、

△ 言動

_で

二

( 笑 )

と

で

行列の対角化（その応用）

 対角化 =

✓ ◆

=

✓ ◆ ✓ ◆

=

✓ ◆ ✓ ◆

=

✓ ◆ ✓ ◆

=

✓

( )

◆

=

✓

( )

◆

行列の対角化（一般論）

定理  次正方行列 の固有多項式

( ) = ( ↵) ( )

に対して、↵6= が成立するとする。このとき は対角化可能です。すなわち正 則行列 が存在して が対角行列になります。

~ =↵~ _、 ~ = ~ _で~ 6=~ ( = , )

~ ~ = ~ ~ = ↵~ ~

= ~ ~

✓↵ ◆

g) EMIR

^{) の}

.pe

^{R Dso}D = 0 c =^の

場合

ついて しよ^.

対角化の十分

な

₄.

p^< o 後^で、 -

-

」

r

^E

剌

^のo

た

⁽_p^{) =0 =}

p ( 8 g )

P ^は正 目_りか ?

と 区別

^としたら

PHP

^に

は

_。

)

行列の対角化（一般論）

= (~ ~ )の正則性

◆ ⇣

定理 次正方行列 に対して

は正則 , det( )6= , ⇣

~ =~ )~ =~⌘

✓ ⌘

~ + ~ =~ ) = = _を示す。

~ + ~ =~

! ( )( ~ + ~ ) = ( ↵) ~ =~

! ~ =~ ! = 注意~ 6=~_ならば⇣

~ =~ , = ⌘

やぼ

I

T

が 品 で い

_に

命

に

Esther

^{=e. 1}

が

^{一 の}

か

⁾

く、が

、心

や

^だが

m e ro ne -

t

で

^も8

~

と Ai でいや

^だ

蟪

c、^{= 0.}

CTI

で

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つか

^{+ c}で

つ

_で^は

だ

^で

~ nine

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^E

Mm

⁽

1

²¹

)

、

de

,

-

Re ER

_, ^{の i キメ}

j

^{に も}

j )

劇 に なる な ぼ だ ば

、

.ie )

が いか e

^は

糸 見 た 独立

c.

が い た

^{が t}

cette

^に

は する 帰 糸内法

l

⁼ 2 . は

OK

。

固有多項式に関する注意

定理 が正則ならば

( ) = ( )

次正方行列 , _に対してdet( ) = det( ) det( )_{を用いる。}

det( ) det( ) = det( ) = det( ) =

det = det

= det ( )

= det( ) det( ) det( )

= det( )

A 1→

〇 哨

^は

nnfn

^「

座標 変換

nnnn

ほ

^に

吃 )

で

五

. C)^は

不

変

の 明 が 9

^~

で

は

、P

Tthrypes

^{" で}

こ

きが )

固有多項式に関する注意 応用

正則行列 により

=

✓ ◆

以下  =

✓ ◆

と対角化されたら

( ) = ( ) = ( ) = ( )( )

が_AP=

( こ )

^{と 対}

角

^{化 したと} する ^{と 、}

この

8 は

固有 Y

^てた

式

^の 2

まで

^に なろ

、

一転 が

^こ

い た

^。

1

^でいい

。

固有多項式に関する注意 応用

=

✓↵

↵

◆

は対角化できない。

( ) = ( ↵) から、 が対角化可能ならば

=

✓↵

↵

◆

= ·↵ =↵

✓↵

↵

◆

=

✓↵

↵

◆

これは矛盾

たい 1 し た

_。

1

= (×_×)^て

一、

inert ^.

0 0

mm

対 角

化できない 。

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^{) =}

G

^{- の}

が

_、

A

^:

対 角

^化

できる

^と

する

が A に し た )

t

A

⁼

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二

p

^x

た が

^{二 d}

た

_

にとって 定理

_は

いこい が

、

対 角

^化

可能

} A

^{= れ}

た

の定理

=

✓ ◆

に対して

( + ) + det( )· = 具体例 =

✓ ◆

に対して =

( + ( )) + ·( ) =

! ( + ) = ( + ), ( ) = ( )

! ( + ) = ( + ), ( ) = ( ) ( )

! = ( + ) ( ) ( )

A^{" のうち}

算

、

Tony

^Model.

f~CA)

定理

mh _」

t.CA^{に at} q^{= 1+}B⁼4 ^-5

Race

^, c

the

^{t meterと} も ^{det CA}A^{に' いる}t A^。=5 A^{4 .}

で

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= d=_{4 7} -5 _Annette ^{i n t 2}

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^{=-A +5}た

= G^- 5 )で^も) _{m n n n renren.int} 二 一(^A-5I-)

( 𧸐

_{S こ が}^{... バe't が _ en-}

一

^、

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一 (5+

いか

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5 CA

^t

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、

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ID

^{= -}

CA

^{- 5 I} _、

)

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と

A

²

(

^{A +}

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⁼

A

^.

5

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二

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た 」 が ( A

- 5

I

_-

)

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CA

^t I

、

)

^{= にし}

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_{C A -5}

た

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)

5 ² CA ⁺ _I

-

)

A ³

(

^At

た )

^{= 一 一 一 -}

A

^"

CA

⁺

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⁼

が ( At た

)

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に対して JCA )

⁼ am

が

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,

A

^{+9 。}

I

_、

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₂

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⁼

( 出 )

五 日 (

入

)

^{二 入 2 -} _Cat

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⁼

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₂

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.

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た _ ? ; し た )

に

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篊 ( 節 と ! 約

i ! 災 嵩 簿 で は

ec.ua ) 𡏄

^と

の定理 その応用

次正方行列 の固有値↵, が↵6=

(↵+ ) +↵ =

! ( ↵ ) = ( ↵ ), ( ) =↵( )

! ( ↵ ) = ( ↵ ), ( ) =↵ ( )

!( ↵) = ( ↵ ) ↵ ( )

! =

↵( ↵ ) ↵

↵( )

AE MUIR) ^、

f

^{$ 112 で も}

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動学

的^でいる 。

→

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④ ←

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p ^{- の}

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=

P

^{の とき と か}

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別

^の

角 キミ を

入

^" を

IAA ) で 割る

。

の定理 その応用

次正方行列 の固有値↵, が↵6=

(↵+ ) +↵ =

! ( ↵ ) = ( ↵ ), ( ) =↵( )

! ( ↵ ) = ( ↵ ), ( ) =↵ ( )

!( ↵) = ( ↵ ) ↵ ( )

! =

↵( ↵ ) ↵

↵( )