(I) 力学と解析力学
1. I. Newton (1642-1726, England): 物体の運動方程式（Newton の第2法則）を発見。１次元の場合、座標を q(t) とすれば
md2q
dt2 = −dU(q)
dq . (1)
U(q) はポテンシャルエネルギーである。
2. L. Euler (1707-1783, Swiss) と J. Lagrange (1736 - 1813, Italy):
数学の変分法を発見：次の積分の値は最も小さくなるため に、関数 y(x) をどのようにとればよいか?
I = Z x2
x1 F(y, y0, x) dx . (2) ただし、積分の下限 (x1) と上限 (x2) およびそのときの y(x1) と y(x2) の値を固定する（与える）。
この問題の答えが次のようになる（後で勉強する）： d
dx
∂F
∂y0 = ∂F
∂y . (3)
こ の方程式は Euler-Lagrange equation と呼び、関数 y(x) についての微分方程式である。
簡単な例：(x, y) 平面で２つの点 P(x1, y1) と Q(x2, y2) を結 ぶ最短の曲線 y(x) を求めよう。
曲線 y(x) の長さ：
I = Z x2
x1 d` = Z x2
x1
r
dx2 + dy2 = Z x2
x1 dx
r
1 + y02. (4) この場合は F(y, y0, x) = √
1 + y02. 従って、Euler-Lagrange equation (3) は
d dx
y0
√1 + y02 = 0 ⇒ y0
√1 + y02 = constant
⇒ y0 = constant ⇒ y(x) = ax+ b . 答えは勿論「直線」である。
変分法のアイディア：積分 I が最小値になったときに、関 数 y(x) を y(x) + δy(x) 微小変分しても、I の値が変わらな い。ただし、 δy(x1) = δy(x2) = 0 を満たすように y(x) を変 分する。
3. W. Hamilton (1805-1865, Irland):
変分法を使って、Newton の運動方程式を導出することが
できることを発見！ 次の積分を考える：
S = Z t2
t1 L(q,q, t) dt .˙ (5) ただし、q(t) は粒子の「座標」（例えば普通の座標 x(t) で も）, q(t1) および q(t2) の値を固定する。L(q,q, t)˙ は La- grangian と呼ばれ、次の形をする：
L = (運動エネルギー T(q,q)) - (˙ ポテンシャルエネルギー U(q)):
L(q,q) =˙ T(q,q)˙ − U(q). (6) そのときに積分 (5) は作用 (action) と呼ぶ。
作用 S は最も小さくなるために粒子の座標 q(t) はどうな るか？ Euler-Lagrange equation (3) に従って
d dt
∂L
∂q˙ = ∂L
∂q . (7)
「座標」の変数 q(t) は粒子の普通の座標 (x(t)) であるとき に、運動エネルギーは T( ˙q) = mq˙2/2. そのときに、Euler- Lagrange equation (7) は
md2q
dt2 = −dU
dq . (8)
となり、Newton の運動方程式 (1) と一致する！
⇒ 最小作用の原理 (Hamilton の原理): 粒子の運動を表す 関数 q(t) が、作用 (5) が最小の値となるように決まる。
4. 以上の形式 (Lagrange 形式) の利点はどこにあるか？
• 直接運動方程式を書き下すより、Lagrangian L = T − U の方が書きやすい場合が多い。
• Lagrangian の対称性 (時間の一様性, 空間の一様性, 空間 の等方性) から保存則 (エネルギー保存、運動量保存、 角運動量保存）を直接導くことができる： E. Noether (1882 - 1935, Germany) の発見 (“Noether Theorem”).
• Lagrange 形式は力学だけでなく、他の物理学の分野に も使える。例えば、変分法から次の方程式を導くこと ができる：
(1) Newton の運動方程式（力学）
(2) Maxwell の方程式 （電磁気学） (3) Schr¨odinger 方程式 （量子力学） (4) Einstein 方程式（一般相対性理論).
Euler-Lagrange equation (3) の導出（変分法）
最小作用 (Hamilton) の原理：次の「作用」(action) が最小の 値をとることを要すれば、粒子の運動 (関数 q(t)) が決まる：
S = Z t2
t1 L(q,q, t)dt .˙ (9) ただし、時刻 t = t1 での位置が q1 = q(t1), 時刻 t = t2 での位 置が q2 = q(t2) 与えられているとする。
作用 (9) を最小にする関数（求めたい関数）を q(t) とすると き、任意の微小変分
q(t) → q(t) + δq(t) (10)
に対して、作用 (9) は変化しない: δS = 0. ただし、δq(t1) = δq(t2) = 0. （q1 および q2 は固定されているので.)
δS = Z t2
t1 L(q + δq,q˙ +δq, t)dt˙ − Z t2
t1 L(q,q, t)dt˙ = 0. (11) 関数 L(q+δq,q˙ +δq, t)˙ を δq および δq˙ について Taylor 展開し、
一次の項だけをとると、
δS = Z t2
t1
∂L
∂q δq + ∂L
∂q˙ δq˙
dt = 0. (12) 第2項で δq˙ = dtdδq を使って部分積分すれば
δS = ∂L
∂q˙δq|tt2
1 +Z t2
t1
∂L
∂q − d dt
∂L
∂q˙
δq dt = 0. (13) 第1項はゼロ (δq(t1) = δq(t2) = 0 から）、第２項は任意の変分 δq(t) に対してゼロになるために、積分関数はゼロにならない と行けない：
d dt
∂L
∂q˙ − ∂L
∂q = 0. (14)
これは Euler-Lagrange 方程式 (7)、 すなわち運動方程式であ る。
２つの追加コメント：
• 一般に「座標」の変数は何個あってもよいので、Lagrangian は L(q1, q2, . . . , qs; ˙q1,q˙2, . . . ,q˙s;t) で表す。 そのときに、s 個
の関数 qi(t) を独立に変分すればよい。そのときに、 Euler- Lagrange equation は次の s 個の方程式となる：
d dt
∂L
∂q˙i = ∂L
∂qi (i = 1,2, . . . s). (15)
• 「座標」は普通の直交座標 (x(t), y(t), z(t)) であれば、運動 エネルギーは
T = 1 2
X
a ma x˙2a + ˙ya2 + ˙za2 (16) である。(a = 1,2, . . . は粒子の番号.) しかし、極座標などの 変数へ変換すれば、運動エネルギーは
T = 1 2
X
ij
mij(q) ˙qiq˙j (17) となり、係数 mij = mji は一般に座標 q に依存する。
Galilei 不変性について
一般的のコメント: Lagrangian L に任意の関数 f(q, t) の全 微分を足しても、その「新しい Lagrangian」L0
L0(q,q, t) =˙ L(q,q, t) +˙ d
dtf(q, t) (18)
が「古い Lagrangian」L と等価であり、すなわち L と L0 に対 する運動方程式は同じである。
証明: 新しい作用は S0 = Z t2
t1 L0(q,q, t)dt˙ = Z t2
t1 L(q,q, t)dt˙ +Z t2
t1
df dtdt
= S +f(q2, t2)− f(q1, t1) (19)
となり、追加された２項は変分するときに寄与しない。従っ て、δS = 0 と δS0 = 0 は等価である。
Galilei 不変性: Lagrangian を粒子の普通の座標 ~ra(t) で表す: L = X
a
ma 2
·
~ ra
2
−U(~r1, ~r2, . . .). (20) Galilei 変換は
~ra = ~ra0 +V t ,~ t0 = t (21) で与えられ、系の速度 V~は時間に依存しない。 その変換を Lagrangian (20) に代入すれば
L = X
a
ma 2
~r˙0a +V~
!2
− U(~r10, ~r20, . . .) = L0 + X
a ma~r˙0a
!
· V~ + µ 2
V~2
= L0 + d dt
"
X
a ma~r0a
!
· V~ + µ 2
V~ 2t
#
. (22)
ただし、 ポテンシャルエネルギーは Galilei 変換の元で不変で あると仮定した: U(~r1, ~r2, . . .) = U(~r01, ~r20, . . .). また、 µ = Pama は全質量であり、L0 を次のように定義した：
L0 = X
a
ma 2
~r˙0a2 −U(~r01, ~r20, . . .). (23) 従って、式 (22) から、L と L0 の差はある関数の全微分であ り、運動方程式には関係ない。 すなわち、運動する系での Lagrangian L0 は静止系での Lagrangian L と等価である。
Lagrangian と運動方程式について簡単な具体例: 1. 平面振子 （質量 m, 長さ `）:
Lagrange の形式では、「一般化された座標」 q(t) として質 点の角度 ϕ(t) をとる。質点の直交座標 (x, y) を `, ϕ で表
す：
x(t) = `sinϕ(t) ⇒x=· `ϕ˙ cosϕ , y(t) = −`cosϕ(t) ⇒y·= ` ϕ· sinϕ .
従って、Lagrangian は次のようになる：
L = m 2
x·2 + y·2
− mgy
= m
2 `2ϕ˙2 + mg`cosϕ . 運動方程式：
d dt
∂L
∂ϕ˙ = ∂L
∂ϕ
⇒ ϕ··= −g
` sinϕ . (24)
微小振動のときに sinϕ ' ϕ を利用で、 この微分方程式は 簡単に解ける。
2. 2重平面振子 (質量 m1, m2, 長さ `1, `2):
Lagrange の形式で は、「一般化さ れ た座標」 と し て角度 ϕ1(t), ϕ2(t) をとる。
x1 = `1sinϕ1, y1 = −`1cosϕ1
x2 = `1sinϕ1 +`2sinϕ2, y2 = −`1cosϕ1 − `2cosϕ2.
Lagrangian は次のようになる (各自で確認!):
L = m1 2
x·12 + y·12
!
+ m2 2
x·22 + y·22
!
−m1gy1 −m2gy2
= m1 +m2
2 `21 ϕ·12 +m2
2 `22 ϕ·22 +m2`1`2 ϕ·1ϕ·2 cos(ϕ1 − ϕ2) + (m1 + m2)g`1cosϕ1 +m2g`2cosϕ2.
3. 質量 m の質点が滑らかな球面 (半径 R) 上を運動してい る。鉛直下向きに一様な重力 mg がかかっている。
質点の極座標 (r = R,Θ, ϕ) を導入し、Lagrange の形式で
「一般化された座標」として角度 Θ(t), ϕ(t) をとる。
(x, y, z) = R(sin Θ cosϕ, sin Θ sinϕ, cos Θ) ⇒ x,· y,· z·
!
= R Θ cos Θ cos· ϕ− ϕ· sin Θ sinϕ, Θ cos Θ sin· ϕ + ϕ· sin Θ sinϕ,− Θ sin Θ·
!
Lagrangian は次のようになる：
L = m 2 R2
Θ·
2 + ϕ· 2 sin2Θ
−mgRcos Θ 運動方程式：各自で導け。
コメント：Θ = 定数という場合もある。 この運動モードは 安定であることが証明できる。
レポート問題: 振り子の運動方程式 (24) から 振り子の周期 T を次の手順で計算する：
ϕ· 2= 2g
` (cosϕ− cosϕ0) (25) ただし ϕ0 は定数で、「振り子の最大の角度」となる。
• 式 (25) の変数 ϕ, t を分離して（変数分離の方法）、両面 を周期の 1/4 について積分する。 [時間 t を 0 から T /4 まで、角度 ϕ を 0 から ϕ0 まで.] その結果が
T = 2
v u u u t
` g
Z ϕ0 0
dϕ
r
sin2 ϕ20 −sin2 ϕ2 (26) で表す。
• 積分 (26) に変数変換 ϕ → z を行う：
sinz = sin ϕ2 sin ϕ20
そのときに積分 (26) が次のようになる：
T = 4
v u u u t
` g
Z π/2 0
√ dz
1 − k2sin2z (27) ただし k ≡ sin ϕ20 を定義した。
• 積分 (27) の値を無限級数の形として求めるために、次の 展開式を使う (x = ksinz < 1)：
√ 1
1 − x2 = 1 + 1
2x2 + 1 · 3
2 · 4x4 + 1 · 3· 5
2 · 4· 6x6 + . . .
≡ X∞
n=0
cnx2n (28)
ただし展開係数は
cn = 1 ·3 · 5 ·. . . · (2n −1)
2· 4 · 6· . . . ·(2n) (c0 = 1) (29) 展開式 (28) を (27) に代入して、各項を別々に積分する。
そのときに公式
Z π/2
0 dz sin2nz = cn π 2 を使う。(係数 cn は式 (29) と同じ.)
• 結果が次のようになることを示す：
T = T0 X∞
n=0
c2nsin2n ϕ0
2 = T0
1 + 1
4 sin2 ϕ0
2 + 9
64 sin4 ϕ0
2 +. . .
ここで T0 = 2πr`/g である。
• 角度 ϕ0 を 10◦ から 170◦ の間 (ラジアンへ換算）の値を 使って周期の比 T /T0 を求めよ。T = 2T0 になる角度？
ϕ0 = 180◦ の場合は何が起こる？
