運動方程式を解く2 自由落下と等加速度運動

力学Ⅰ

27

運動方程式を解く２

― 自由落下と等加速度運動 ― ある時刻

t

において，物体に作用する合力 F(t)

が分かっている場合，

物体の運動は，運動方程式 ma(t)F(t) を解くことによって決まる。

前回は最も簡単な例としてF(t)

 0

（力がゼロ）の場合を考えた。

運動方程式 を解くことによって，等速直線運動になることを確かめた。

次の例として，一定の力

F

₀

が作用している場合を考える。

基本手順

Step１ 運動方程式を立て，加速度を求める。

Step２ 加速度から速度を求める。

Step３ 速度から位置（座標）を求める。

Step４ 初期条件から，具体的な運動を決める。

合力が一定 F(t)

F

0

の場合（等加速度運動）

問題 地表近くで質量

m

^［kg］の物体を真上に投げ上げる。空気抵抗は無視で きる。

t  0

^{のとき，地面より}

9 . 8

^［m］の高さから，速さv₀^＝

4 . 9

^［m/s］ で投げ上げた。その後の運動を求めよ。

図

Step１ 運動方程式を立て，加速度を求める。

運動方程式を立てる手順

① 問題を必ず図に書く

② 物体に働く力

(

f₁

， f₂

， ・・・)

を全て見つけて図に書き込む。

③ 解きやすいように座標軸を決める。

④ 合力

F

^

（=

f₁

+

f₂

+・・・）

を求め，その成分

( F

_x

,

F_y

, F

_z

)

^を 式で表す。

⑤ 運動方程式を各成分ごとに立てる。

) ( ) ( ),

( ) ( ),

( )

(t F t ma t F t ma t F t

ma_x  _{x y}  _{y z}  _z

] m/s [ 9 . 4

g m

地面 [m]

9.8

x

y

O

z

力学Ⅰ

28

①′②′ 描け。

③′適当に原点Oを決める。（例えば地上のどこかに決める。） 水平面内に

x

^軸とz軸を決める。鉛直上向きをy^{軸の正とする。}

④′合力を成分で求める。

 ) (t

F

_x

0

^，F_y(t) m

g

^，

F

_z

(t )  0

⑤′運動方程式を立てる。

 ) (t

ma

_x

0

^，ma_y(t) m

g

^，

ma

_z

(t )  0

･･･（ア） ･･･（イ） ･･･（ウ）

加速度を求める。

 ) (t

a

_x

0

^，a_y(t) 

g

^，

a

_z

(t )  0

･･･（エ） ･･･（オ） ･･･（カ）

x

^軸方向，z軸方向は，力がゼロの場合と同じ。

（今の問題設定では，

x

^軸方向，z軸方向には運動しない。） 興味があるy軸方向の運動のみを求める。

Step２ 加速度から速度を求める。

（オ）を速度の時間微分を用いて表す。

 ) (t a_y

t

y t d

) ( dv

の関係を用いて，

t

y t d

) ( dv



g



速度v_y(t)^は，時間

t

^{で微分すると}

 g

^{（定数）になる関数。}

探す＝不定積分 答え⇒ １次関数 定数を

C

₁とおく。

 )

y(t

v

 a

_y

( t ) d t   (  g ) d t   g t  C

₁

∴ v_y(t)

 g t  C

₁ ･･･（キ）

グラフで考えると

t a

y

O

（不定）積分 微分

t

vy

O C1

 g

傾き一定

 g

数学の微分の公式

0 ) d (

) (

d  C  x

C

1 ) d (

) (

d  x  x

x

力学Ⅰ

29 Step３ 速度から位置（座標）を求める。

（ク）を座標の時間微分を用いて表す。

 )

y(t

v t

t y d

) (

d を用いて，  t

t y d

) ( d

C

1

t 

 g

座標y(t)^は，時間

t

で微分すると１次関数になる関数 探す＝不定積分 答え ⇒ ２次関数

もうひとつ定数

C

₂^{を使って，}

 ) (t

y



^vy

( t ) d t   (  g t  C

¹

) d t 

^ ₂¹

g

^{t2 C1tC2}

∴ y(t) ² _{1 2} 2

1 t CtC



g

･･･（ク）

グラフで考えると

（ク）式で座標y(t)^{の式が求まった。→ 運動方程式が解けた。}

 ) (t

y ² _{1 2}

2

1 t CtC



g

･･･（ク） ，v_y(t)

 g t  C

₁ ^{･･･（キ）}

が，運動方程式（イ）の解（一般解）である。

C

₁，

C

₂が任意定数。

Step４ 初期条件から，具体的な運動を決める。

 0

t

での座標と速度の値・・・初期条件

 ) 0 (

y

9.8

^［m］･･･（ケ），v_y(0)

4.9

^［m/s］･･･（コ）

一般解（ク），（キ）で

t  0

と置き，初期条件（ケ），（コ）を用いれば，

 ) 0 (

y 0² ₁ 0 ₂

2

1  C  C

 g

 C

₂ これが

9.8

［m］に等しい 。

 ) 0

y(

v

 g  0  C

₁

 C

₁ これが

4.9

［m/s］に等しい。

∴

C

₂

 9.8

^［m］，

C

₁

 4.9

^［m/s］

t

vy

O C1

y

O

t

C2

（不定）積分 微分

数学の微分の公式

0 ) d (

) (

d  C  x

C

1 ) d (

) (

d  x  x

x

x x x

x ( ) 2

d ) (

d ² ₂





時間が経過すると 傾きが減少する。

力学Ⅰ

30

したがって，

t  0

での運動の具体的な軌道を表す式は，

 ) (t

y ²

2 1 g t

  4 . 9 t  9 . 8

^{･･･（サ） ，}v_y(t)

 g t  4 . 9

･･･（シ）

これが特解である。（この初期条件のときだけ成り立つ特別な解）

練習１ y(0)

9 . 8

^［m］，v_y(0)

4 . 9

^［m/s］を初期条件として，最高位置に到 達する時刻

t

₁，地面に到着する時刻

t

₂を求めよ。実際の運動の様子を図に描け。

最高位置ではv_y 0 ^{となるので，}v_y(t₁)

 9 . 8 t

₁

 4 . 9  0 。

∴ t1 0 . 50 ［s］

地面は

y  0

だから，

y ( t

₂

)   4 . 9 t

₂²

 4 . 9 t

₂

 9 . 8  0

。

∴ t2  2 . 0 ［s］

高校の物理では，自由落下，鉛直投げ上げなどと運動を区別しているが，

初 期 条 件 を 変 え れ ば １ つ の 式 （ 一 般 解 ） で 表 せ る の で ， 区 別 せ ず に

「自由落下」と呼ぶことにする。

一定の力F(t)

F

0

が作用しているとき，物体の運動は等加速度運動となる。

一直線上を運動している場合は，等加速度直線運動の式

 ) (t

x ₀ ² _{0 0}

2

1a t v tx ^，v_x

(t )  a

₀

t 

v₀

m a

₀

 F

⁰

で表される。^※速度の式は，加速度の意味を考えて，こう表せることを理解せよ。

練習２ 加速度が

a

₀^［m/s²］である等加速度直線運動している物体の速度v_x

(t )

^の 式が，v_x

(t )  a

₀

t 

v₀^{で表せることを示せ。}

加速度の意味は，１秒間で速度が

a

₀^［m/s］ずつ変化することである。0

［s］から

t

［s］の

t

秒間では，その

t

倍変化するから，速度は

x





v

a

₀

t

だけ変化する。

t  0

^［s］のときの速度をv₀^{とすれば，}v₀^から

a

₀

t

^だけ変化 するので，

t

^{秒後の速度}v_x

(t )

^は，

 )

x

(t

v

a

₀

t 

v₀ で表せる。

y

O x