力学２
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ベクトルと速度・加速度
平面内（２次元）の運動や空間（３次元）の運動を考えよう。
直線上（１次元）の運動と違って，
①物体が運動する向き ②運動の向きの変化（曲がること）
を，しっかりと表現しなければならない。そのために，ベクトルとしての速度・
加速度を用いる。（力学１でも直線運動する物体の速度・加速度に符号を付けて，その 向きを表していた。１次元のベクトル）
ベクトルの計算
① A B
を作図せよ。
② a（2，3），b
（1，4），
3
1
k のとき，ck(b a)
を数値で求めよ。
x
a 2，bx 1 だから，cx k(bx ax) 1 3 )} 3 2 ( 1 3 {
1
y
a 3，by 4 だから，cy k(by ay)
3 } 1 3 4 3 {
1
∴c
1 ，
3
1 ← 成分を並べて表せ（成分表示）
２次元平面（x-y平面）内の運動 速度ベクトル （単に速度と呼ぶ）
時刻tのときP点r(t)にいる。
時間t経過するとQ点r(tt)に移動する。
変位（移動量）r r
r(tt)r(t) 平均の速度
t r
t t r t t r
) ( )
(
※平均の速度の向きは，変位の向きに等しい。
（瞬間の）速度は，
t t r t t r t
t r
t
t
) ( ) lim (
lim ) (
0 0
v 微分を使って
t t t r
d ) ( ) d (
v と表す。
[m]
x [m]
y
O P
Q
) (t r
) (t t r r
) v(t
軌道
＝運動の道筋
k A k A
1 は A
の大きさを
k
1倍したベクトル A
B
力学２
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※ 速度はベクトルである。 速度vの大きさvを速さ（speed）と呼ぶ。
速度vの向きは，物体の運動方向（軌道の接線方向）である。
加速度ベクトル （単に加速度と呼ぶ）
速度の変化量 v は，
v
v(tt)v(t)
平均の加速度は，
t
v
t t t t
) ( )
( v
v
（瞬間の）加速度は，
t
t
v
0
lim t
t t t
t
) ( ) lim (
0
v v
微分を使って a(t) t
t d
) ( dv
と表す。
※ 加速度aの向きは，運動方向と必ずしも同じではない。
加速度ベクトルaを，運動の方向に平行な加速度a//と垂直な加速度aに 分解して考えよう。a
a//a
運動方向に平行な加速度a//は，直線運動の加速度と同じ意味を持ち，
物体の速さの増加や減少を表す。（アクセルとブレーキに対応）
運動方向に垂直な加速度aは，何を意味するか？
例：一定の速さvで，カーブを曲がる場合
0
a ，加速度が生じている。
（aの向きは曲がる方向）
※速さvが一定でも，運動の向きが 変化すれば，速度vは変化する。
運動方向に垂直な加速度aは，
速度ベクトルvの向きが変化する
（運動の向きが変化する）
ことを表す。（ハンドル操作に対応）
[m]
x [m]
y
O
P Q
) v(t
) (tt v
) v(t
) (tt v
v
) (t a
（t0のとき）
v v
a
v v a
) v(t
v v
v
) (
) (
t t t
t a
v
力学２
7
☆ ベクトル量の微分を求めるには，各成分を微分すればよい。
)
v(t
vx(t), vy(t)
t t y t
t x
d ) ( d d ,
) (
d ，
) (t
a
ax(t), ay(t)
t t t
t y
x
d ) ( d d ,
) (
dv v
であることから考えよ。
練習（ア） x-y平面内を運動する物体を考える。（長さの単位は［m］とする。） 時刻t［s］の物体の位置はr(t)
x(t), y(t)
2t, 4t2 8t
で表される。① 物体の軌道を描け。
② 位置r(1.0)（ , ）とr(1.5)（ , ）を作図せよ。
③ r(1.0) からr(1.5) へ移動したとき の，変位ベクトルr を作図せよ。
④ rをr(1.0) と r(1.5) を用いて式で表 し，さらに成分で求めよ。
r
r(1.5) r(1.0)
＝（ ， ）［m］
⑤ t 1.0［s］と1.5［s］の間の平均の速度vを求めよ。
t 1.5[s]1.0[s]0.5［s］ v
t r
（ ， ）＝（ ， ） ［m/s］
※rと同じ向きであることは確認せよ。
⑥ 時刻tの速度v(t)を，r(t)
x(t), y(t)
の各成分（座標）を微分して求めよ。 )
v(t
vx(t), vy(t)
t t y t
t x
d ) ( d d ,
) (
d
t t t t
t
d ) 8 4 ( d d ,
) 2 (
d 2
2, 8 8
t ［m/s］
⑦ 速度v(1.0)，v(1.5)を成分で求め，作図せよ。
) 0 . 1
v(
2, 0
［m/s］，v(1.5)
2, 4
［m/s］⑧ t 1.0［s］～1.5［s］の間の平均の加速度の向きを描け。（vに平行）
2 4
1 1
5 . 0
1
5 . 0
1
2 2
3 3
xxt y
t x t y t t y tt y t x t t y t t x
t r t t r
,
) ( ) ( ), ( ) (
) ( ), ( ) ( ), (
) ( )
(
r
O
x y
4 2
4
2
) 0 . 1 ( r
) 0 . 1 v(
) 5 . 1 ( r
r
) 5 . 1 v(
v
力学２
8 運動方程式とベクトル
平面内や空間内の運動の場合，運動方程式もベクトルの式として扱う。
運動方程式：ma(t)F(t)
このベクトルの式は，平面運動の場合， x成分，y成分の２つの方程式
（空間運動の場合は，x成分，y成分，z成分の３つの方程式）
をまとめて表している。
運動方程式のx成分（x方向の運動方程式）：max(t)Fx(t) 運動方程式のy成分（y方向の運動方程式）：may(t)Fy(t) 物体に作用する合力（力の和）F(t)
の各成分の式を求めて，運動方程式の各 成分の式を立てる。
練習（イ）質量m5［kg］の物体に作用する合力F(t)
が，F(t)
0，20
［N］ で表されるとき，この物体の運動方程式の各成分の式を立てよ。運動方程式のx成分：max(t) 0 または 5ax(t)0 運動方程式のy成分：may(t) 20 または 5ay(t) 20
この運動方程式の各成分を，力学１で学んだ直線運動の場合と同様な手順で解 けば，x方向とy方向それぞれの運動を表す式（解）x(t)とy(t)が求められる。
練習（ウ） 質量mの物体に作用する合力F(t)
が，F(t)
10，5y(t)
［N］ で表されるとき，この物体の運動方程式をそれぞれの方向について立てよ。x方向の運動方程式：max(t) 10 y方向の運動方程式：may(t) 5y(t)
発展（エ） 質量mの物体に合力としてローレンツ力F(t)
2vy(t)，2vx(t)
［N］ が作用するとき，この物体の運動方程式の各成分の式を立てよ。運動方程式のx成分：max(t) 2vy(t) 運動方程式のy成分：may(t) 2vx(t)
発展（エ）の方程式は，x方向とy方向の運動が互いに関係しているので，こ の２つの方程式を連立させて解く必要がある。（力学２では扱わない。）
