力学Ⅰ
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ベクトルと速度・加速度
平面内（２次元）の運動や空間（３次元）の運動を考えよう。
直線上（１次元）の運動と違って，物体が運動する向きや，運動の向きが変わ る（曲がる）ことを，しっかりと表現しなければならない。
そのために，ベクトルとしての速度・加速度を用いる。
（力学Ⅰでも直線運動する物体の速度・加速度に符号を付けて，その向きを 表していた。１次元のベクトル）
ベクトルの計算
① Ar Br
− を作図せよ。
② ar=（−5，4），br=
（6，1），
5
=1
k のとき，cr=k(br ar)
− を数値で求めよ。
x =
a −5，bx = 6 だから，cx = k(bx −ax)=
5 )} 11 5 ( 6 5 {
1× − − =
y =
a 4，by =1 だから，cy =k(by −ay)=
5 } 3 4 1 5 {
1× − =−
∴cr=
5
11，
− 5
3 ← 成分を並べて表せ（成分表示）
２次元平面（x-y平面）内の運動 速度ベクトル （単に速度と呼ぶ）
時刻tのときP点rr(t)にいる。
時間∆t経過するとQ点rr(t+∆t)に移動する。
変位（移動量）∆rr rr
∆ =rr(t+∆t)−rr(t) 平均の速度
t r
∆
∆r
t t r t t r
∆
∆ ) ( )
( r
r + −
=
（瞬間の）速度は
t t r t t r t
t r
t
t ∆
∆
∆
∆
∆
∆
) ( ) lim (
lim ) (
0 0
r r
r r + −
=
= → →
v 微分を使って
t t t r
d ) ( ) d ( r = r
v と表す。
[m]
x [m]
y
O P
Q
) (t rr
) (t t rr +∆ rr
∆ ) vr(t
軌道
＝運動の道筋
k A k Ar r
=1 は
Ar
の大きさを
k
1倍したベクトル Ar
Br
力学Ⅰ
6
※ 速度はベクトルである。 速度vrの大きさvを速さ（speed）と呼ぶ。
速度vrの向きは，物体の運動方向（軌道の接線方向）である。
加速度ベクトル （単に加速度と呼ぶ）
速度の変化量 ∆vr は，
vr
∆ =vr(t+∆t)−vr(t)
平均の加速度は，
∆t
∆vr
t t t t
∆
∆ ) ( )
( v
vr + −r
=
（瞬間の）加速度は，
t
t ∆
∆
∆
vr
0
lim→ t
t t t
t ∆
∆
∆
) ( ) lim (
0
v vr + −r
= →
微分を使って ar(t)= t
t d
) ( dvr
と表す。
※ 加速度arの向きは，運動方向と必ずしも同じではない。
加速度ベクトルarを，運動の方向に平行な加速度ar//と垂直な加速度
ar⊥に
分解して考えよう。ar= ar//
+ar⊥
運動方向に平行な加速度ar//は，直線運動の加速度と同じ意味を持ち，
物体の速さの増加や減少を表す。（アクセルとブレーキに対応）
運動方向に垂直な加速度ar⊥は，何を意味するか？
例：一定の速さvで，カーブを曲がる場合
≠0
ar ，加速度が生じている。
（arの向きは曲がる方向）
※速さvが一定でも，運動の向きが 変化すれば，速度vrは変化する。
運動方向に垂直な加速度ar⊥は，
速度ベクトルvrの向きが変化する
（運動の向きが変化する）
ことを表す。（ハンドル操作に対応）
[m]
x [m]
y
O
P Q
) vr(t
) (t+∆t vr
) vr(t
) (t+∆t vr
vr
∆
) (t ar
（t→0のとき）
v v
ar
v v ar
) vr(t
v v
v r r
r
∆
∆ +
= +
) (
) (
t t t
t a ∆
∆vr= r⋅
力学Ⅰ
7
☆ ベクトル量の微分を求めるには，各成分を微分すればよい。
= )
vr(t
(
vx(t), vy(t))
=
t t y t
t x
d ) ( d d ,
) (
d ，
= ) (t
ar
(
ax(t), ay(t))
=
t t t
t y
x
d ) ( d d ,
) (
dv v
練習（ア） x-y平面内を運動する物体を考える。（長さの単位は［m］とする。） 時刻t［s］の物体の位置はrr(t)=
(
x(t), y(t))
=(
2t, −4t2+8t)
で表される。① 物体の軌道を描け。
② 位置rr(1.0)=（ , ）とrr(1.5)=（ , ）を作図せよ。
③ rr(1.0) からrr(1.5) へ移動したとき の，変位ベクトル∆rr を作図せよ。
④ ∆rrをrr(1.0) と rr(1.5) を用いて式で表 し，さらに成分で求めよ。
= rr
∆ rr(1.5) −rr(1.0) ＝（ ， ）［m］
⑤ t =1.0［s］と1.5［s］の間の平均の速度vrを求めよ。
∆t= 1.5[s]−1.0[s]=0.5［s］ vr = =
t r
∆
∆r
（ ， ）＝（ ， ） ［m/s］
⑥ t =1.0［s］のときの速度vr(1.0)を作図せよ。
⑦ 時刻tの速度vr(t)を，rr(t)=
(
x(t), y(t))
の各成分（座標）を微分して求めよ。= )
vr(t
(
vx(t), vy(t))
= =
t t y t
t x
d ) ( d d ,
) (
d
− +
t t t t
t
d ) 8 4 ( d d ,
) 2 (
d 2
(
2, −8 +8)
= t ［m/s］
⑧ 速度vr(1.0)を成分で求めよ。
= ) 0 . 1
vr(
(
2, 0)
［m/s］2 4
1 −1
5 . 0
1
5 . 0
−1
2 −2
3 3
O
x y
4 2
4
2
) 0 . 1 ( rr
) 0 . 1 vr(
) 5 . 1 ( rr
rr
∆
力学Ⅰ
8 運動方程式とベクトル
平面内や空間内の運動の場合，運動方程式もベクトルの式として扱う。
運動方程式：mar(t)=Fr(t)
このベクトルの式は，平面運動の場合， x成分，y成分の２つの方程式
（空間運動の場合は，x成分，y成分，z成分の３つの方程式）
をまとめて表している。
運動方程式のx成分（x方向の運動方程式）：max(t)=Fx(t) 運動方程式のy成分（y方向の運動方程式）：may(t)=Fy(t) 物体に作用する合力（力の和）Fr(t)
の各成分の式を求めて，運動方程式の各 成分の式を立てる。
練習（イ） 質量mの物体に作用する合力Fr(t)
が，Fr(t)=
(
−10，−5y(t))
［N］ で表されるとき，この物体の運動方程式の各成分の式を立てよ。運動方程式のx成分：max(t)= −10 運動方程式のy成分：may(t)= −5y(t)
この各方向の運動方程式を，力学Ⅰで学んだ直線運動の場合と同様な手順で解 けば，x方向とy方向のそれぞれの運動を表す式（解）x(t)とy(t)が求められ る。
練習（ウ）質量mの物体に作用する合力Fr(t)
が，Fr(t)=
(
2vy(t)，−2vx(t))
［N］ で表されるとき，この物体の運動方程式の各成分の式を立てよ。運動方程式のx成分：max(t)= 2vy(t) 運動方程式のy成分：may(t)= −2vx(t)
練習（ウ）の方程式は，x方向の加速度ax(t)がy方向の速度vy(t)によって決 まり，y方向の加速度ay(t)がx方向の速度vx(t)によって決まる，とう形に なっている。このような場合は，x方向の運動方程式とy方向の運動方程式を 別々に解いて，運動を決めることができない。２つの方程式を連立させて解く 必要がある。（力学Ⅱでは扱わない）
