符号長 n (当座固定) • 符号語数 M := #C (大きいほど良い)

誤り訂正符号の性能を表すには

• 符号長 n (当座固定)

• 符号語数 M := #C (大きいほど良い)

• 最小距離 d (大きいほど良い)

「M −→ 大」と「d−→ 大」とは

相反する要求!!

問題: n, d を固定した時の M の上限は ?

符号語数の評価

問題: n, d を固定した時の M の上限は ?

d : 設計距離

A_q(n, d) := max{M ∃C :q 元 (n, M, d)-符号}

−→ n, d と q:= #T とで評価する

Hamming の球充填上界

(sphere-packing bound) q:= #T のとき、

(n, M,2t+ 1)-符号が存在

=⇒M Ã _t

X

k=0

µn k

¶

(q−1)^k

!

≤qⁿ

従って、

A_q(n, d) Ã _t

X

k=0

µn k

¶

(q−1)^k

!

≤qⁿ (t=¥_d−1

2

¦)

Gilbert-Varshamov の下界

q:= #T のとき、

A_q(n, d) Ã_d−1

X

k=0

µn k

¶

(q−1)^k

!

≥qⁿ

即ち、

M Ã_d−1

X

k=0

µn k

¶

(q−1)^k

!

≤qⁿ

=⇒ (n, M, d)-符号が存在

問題: n, d を固定した時の M の上限は ?

符号語数 M の大きい符号を

組織的に構成するには、

C の元がなるべく“均等に”分布する

のが望ましい

−→ V =Tⁿ の持つ数理構造(対称性)を利用

· · · 線型符号

線型符号

T =Fq : 有限体にとる

V =F_qⁿ : F_q 上の線型空間の構造を持つ (和・スカラ倍がある)

C : V の部分線型空間のとき C : 線型符号(linear code)と呼ぶ

有限体(finite field)

Z/nZ : n で割った余りの等しい整数は同一視

−→ 環の構造を持つ(加減乗が出来る) Z/nZ : 体(四則演算が出来る)

m p : 素数

F_p :=Z/pZ : p 元体

有限体(finite field)

q=p^m : 素数冪 (p : 素数) に対して q 個の元から成る有限体が存在

−→ Fq, GF(q) と書く 構成:

f(X)∈F_p[X] : F_p 上の m 次既約多項式 K :=F_p[X]/(f) とすると、

K は体で、 dim_FpK =m −→ #K =q

有限体上の線型空間

有限体 F_q 上でも、R や C 上と同様に、

線型代数が出来る(基底・次元・などなど) T =F_q : 有限体

V =F_qⁿ : F_q 上の線型空間の構造を持つ C ⊂V : 部分線型空間となるものを考える

• 0∈ C

• x,y ∈ C =⇒x+y∈ C

• x∈ C, a∈Fq =⇒ax∈ C

線型符号(再掲)

T =F_q : 有限体にとる

V =F_qⁿ : F_q 上の線型空間の構造を持つ

C : V の部分線型空間のとき C : 線型符号(linear code)と呼ぶ

線型符号の不変量 符号語長 n= dim_FqV

k := dim_FqC : C の F_q 上の次元

符号語数 M = #C =q^k −→ [n, k]-符号

w(x) := #{i x_i 6= 0} : x∈V の重み(weight) d(x,y) =w(y−x)

最小距離 d=d(C) = min{w(x) x∈ C,x6= 0}

−→ [n, k, d]-符号

Hamming 距離(再掲)

V =Tⁿ 上に次で定まる距離

d:V ×V −→R

を V 上の Hamming 距離(distance)と呼ぶ :

x= (x₁, . . . , x_n),y= (y₁, . . . , y_n)∈V に対し、

d(x,y) := #{i x_i 6=y_i}

線型符号の不変量

• 符号長 n= dim_FqV (当座固定)

• 情報長 k= dim_FqC (大きいほど良い)

• 最小距離 d (大きいほど良い) R:= k

n : 伝送レート

δ:= d

n : 相対最小距離

−→ R, δ : 共に大きくしたい (相反する要求)

線型符号の例

• 多数決符号(反復符号)

• パリティ検査符号(誤り検出のみ)

• Hamming 符号

多数決符号(反復符号, repetition code) n= 2t+ 1, V =F_qⁿ

1 つの文字を n 回繰返して送信 C ={(x, x, . . . , x) x∈F_q} ⊂V v = (1,1, . . . ,1) とすれば、C =F_qv

• 符号長 n= dim_FqV

• 情報長 k= dim_FqC = 1

• 最小距離 d=n (t 個までの誤りを訂正可)

パリティ検査符号(parity-check code)

V =Fqn

C = (

x= (x₁, x₂, . . . , x_n) Xn

i=1

x_i = 0 )

⊂V

• 符号長 n= dim_FqV

• 情報長 k= dim_FqC =n−1

• 最小距離 d= 2

(誤り検出のみで訂正能力なし)

拡大符号(extended code)

V =F_qⁿ

C : [n, k, d]-符号 ⊂V に対して C :=





(x₁, . . . , x_n, x_n+1)

(x₁, . . . , x_n)∈ C Xn+1

i=1

x_i = 0





 : C の拡大符号 ⊂Fqn+1

C : [n+ 1, k, d]-符号