行列の掛け算（復習）＋行列の転置
戸瀬 信之
ITOSE PROJECT
2011 年 05 月 09 日 fmath20110509
2019 年 6 月 4 日 emath20190604
行列 × 列ベクトル
A = (~ a 1 . . . ~ a n ) が m 行 n 列 , ~ x ∈ R n に対して A~ x = x 1 ~ a 1 + . . . + x n ~ a n
=
...
x 1 a i1 + . . . + x n a in
...
=
...
a i ~ x ...
行列 × 行列
X = (~ x 1 . . . ~ x ` ) が n 行 ` 列とします．
注 A~ x 1 , . . . , A~ x ` ∈ K m が定義される．
A~ x = (A~ x 1 · · · A~ x ` )
=
a 1 ~ x 1 · · · a 1 ~ x j · · · a 1 ~ x `
... ... ...
a i ~ x 1 · · · a i ~ x j · · · a i ~ x `
... ... ...
a m ~ x 1 · · · a m ~ x j · · · a m ~ x `
行列 × 行列 (2)
特に m = 1, すなわち A = a = (a 1 · · · a n ) のとき aX = (a~ x 1 · · · a~ x ` )
これを用いると
AX =
a 1 X
...
a i X ...
a m X
行列 × 行列 (3)
aX = (a~ x 1 · · · a~ x ` )
= (· · · a 1 x 1j + a 2 x 2j + · · · + a n x nj · · · )
=
a 1 (· · · x 1j · · · ) + a 2 (· · · x 2j · · · )
... ...
+ a n (· · · x nj · · · )
= a 1 x 1 + · · · + a n x n
列ベクトルと行ベクトルの転置
列ベクトルの転置
t
x 1
...
x n
= x 1 · · · x n
行ベクトルの転置
t x 1 · · · x n
=
x 1
...
x n
列ベクトルと行ベクトルの転置
列ベクトルの転置の性質
t (~ x + ~ y) = t ~ x + t ~ y, t (λ~ x) = λ t ~ x
これを使うと ~ a 1 , · · · , ~ a n ∈ R m に対して
t (x 1 ~ a 1 + · · · + x n ~ a n ) = x 1 t ~ a 1 + · · · + x n t ~ a n
行ベクトルの転置の性質
t (x + y) = t x + t y, t (λx) = λ t x
行列の転置
m × n 行列
A = (~ a 1 ~ a 2 · · · ~ a n ) =
a 1
...
a m
A の転置 t A は n × m 行列
t A =
t ~ a 1 t ~ a 2
...
t ~ a n
= t a 1 · · · t a m
行列の積 (Quick View)
m × n 行列 A = ~ a 1 · · · ~ a n
=
a 1
...
a m
~ x =
x 1
...
x n
∈ R n , y = (y 1 · · · y m ) ∈ (R m ) ∗ A~ x = (~ a 1 · · · ~ a n )~ x = x 1 ~ a 1 + · · · + x n ~ a n
yA = y 1 a 1 + · · · + y m a m
行列の積の転置（準備）
m × n 行列 A = ~ a 1 · · · ~ a n
, ~ x ∈ R n
t (A~ x) = t ~ x · t A
t (A~ x) = t (x 1 ~ a 1 + · · · + x n ~ a n )
= x 1 t ~ a 1 + · · · + x n t ~ a n
= x 1 · · · x n
t ~ a 1 ...
t ~ a n
= t ~ x · t A
行列の転置の基本性質
A は m × n 行列、 B =
~ b 1 · · · ~ b `
は n × ` 行列とすると
t (AB) = t B · t A, t t A
= A
証明
AB =
A~ b 1 · · · A~ b `
t (AB) =
t (A~ b 1 ) ...
t (A~ b ` )
=
t ~ b 1 t A ...
t ~ b ` t A
=
t ~ b 1 ...
t ~ b `
t A = t B t A
内積との関係（本当はこれが基本）
A は m × n 行列、 ~ x ∈ R n 、 ~ y ∈ R m
(A~ x, ~ y) = ~ x, t A~ y
（復習） ~ a,~ b ∈ R m に対して
(~ a,~ b) = t ~ a · ~ b
公式の証明
(A~ x, ~ y) = t (A~ x) ~ y
= t ~ x · t A · y ~ = (~ x, t A · ~ y)
