行列式の定義 UkV 置換の符号 - Keio

行列式の定義 置換の符号

戸瀬 信之

， 年 月 日 年 月 日

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

A

^{= (}

aoj )

³

次 正方 行

× i 行 よ るり

T ^:

{

^{1 . 2}_,

3 3

^-)

に い

^て_、

3 } 全 単射 cf 置換

の E

. #

5

3 ⁼ 6 _.

(

₉

寺 晑

^と

いい

^は) ⁼ 1

1 A 1

⁼

エ

EC ^の

)

^{- 9}_{ocn 1} ⁹ .

0(²)

に 9

の(3 )

3. m n

の E

Sg f

r ^の

符号

、

反転数

◆ ⇣

定義  次の置換 2 と  <  を満たす(, )_に対して

( )> ( )

が成立するとき，( , )は で反転されると言います．

✓ ⌘

定義 = 2 に対して

( ) = > = ( ) ( ) = > = ( ) ( ) = > = ( ) ( ) = > = ( )

から( , ) ( , ) ( , ) ( , )が によって反転されます．

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

山 t

→

こと

icj

^のci

sang

^,

mise reste ? ; ; いで が

i.

t.MIL?sss_ ( 交点 数

^」

一、

の 反転

数

⁼₄

反転数

◆ ⇣

定義 2 に対して反転される( , )の個数を反転数と呼びます．反転数が偶数の 場合 を偶置換，反転数が奇数の場合 を奇置換と呼びます．さらに の符号を

"( ) =

( ( _が偶置換)

( _が奇置換) と定義します．

✓ ⌘

咬 点

数

)

で

簡単

^{に らで}

算

できる

。

反転数 の場合

= = =

反転数= 反転数= 反転数=

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

Y

^3つ

選 鑾

→

Y

⁾

や

^{) = いい し ていい2)}

←

を 置換

.

i : : 亹

𤇾 HI 第

反転数 の場合

= = =

反転数= 反転数= 反転数=

(Y)

^に3)

キ

⁽

がっ

^くに)

偶 置換

.

r = の ^一- E

の_いて

互換

|

^{e :}

偶数

嚙 第

総和と積の記号

有限集合⌦={! , . . . ,! }とその上の関数

: ⌦!

に対して X

!2⌦

(!) = (! ) +. . .+ (! ) Y

!2⌦

(!) = (! )· · · (! )

を定義します．

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号 -

wj

^い

Jcwj

⁾

t.nu^の

添字

] 付け

^{に よらない}

点集合

{ , , . . . , }の 点集合全体の集合

⌦ :={{, }; , 2{ , , . . . , }, 6= } を定義します．具体的には

⌦ :={{ , },{ , },{ , }}

⌦ :={{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }}

{1,23=9-2,1}

キ1 Rn ^{= f} c

= ^ー

いし ?

were ^_

#di ^{6 .}

r5 ^{: - . - 、}

点集合による符号

2 に対して

˜

"( ) := Y

{,}2⌦ , <

( ) ( )

例えば = _のときは

˜

"( ) = · · · · ·

= ( ) · ·( ) · ·( ) ·( )

= ( ) = +

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

g nkfs

^{" が で)}

が

_o

命

_{o o}

が

_o

の井

~

^全単

射

定 戦

^できて

fk

^{・ → r4 -) Aa}

well^- defined ^{には3 1-)}

や

^CD ,のcj ^,3

点集合による符号

{ , }2⌦ のとき 6= から ( )6= ( ) 従って{ ( ), ( )}2⌦

#: ⌦ !⌦ { , }7!{ ( ), ( )}は全単射

˜

"( ) =±

˜

"( ) ="( )

T :

単射

.

d

←

the

置換の積

,⌧ 2 は全単射

: { , ,· · ·, }!{ , ,· · · , }, ⌧ : { , ,· · ·, }!{ , ,· · · , } で，その合成

⌧ : { , ,· · · , }!{ , ,· · · , } 7!⌧( ( )) も全単射で

⌧ 2

これを⌧ 2 と記します．

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

問 匙

_E

(な) ⁼ ?

全

単射 全 単射

。

全

単射

^・

積 で 醶 (

^{の 02二)}

の

^{の は}2

の

)

結合 則

^を

満たす

^、

x Y 全的 単射

y な 2

:

go J

^も

全射

xfy で z 単射

^.

-

goj

⑤ - 習

置換の積 例・結合法則

例

= , ⌧ =

のとき

⌧ =

結合法則 , , 2 に対して

( ) = ( )

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

oooo

8

⁰ 0

0 0

0

〇 〇 〇 〇

、

置換の逆

  2 は全単射

: { , , . . . , }!{ , , . . . , } ですから，その逆写像

: { , , . . . , }!{ , , . . . , } も全単射で， 2 であることが分かります．このとき

= =

が成立します．

=

name

× Y と 一

g

^。

f

^{: x →}

×

g. gi と

^→

く g が 8

^の

逆 写 「 '

墍 蟵 ジ 災

一意 性 g

⁼

が

さ が 全 単射 も な 逆

^が

存在 する

_

総和と積の記号

有限集合⌦と写像

:⌦! , :⌦! があるとき

Y

!2⌦

(!) (!) = Y

!2⌦

(!)

!

· Y

!2⌦

(!)

!

全単射':⌦!⌦_{があるとき} Y

!2⌦

('(!)) = Y

!2⌦

(!)

X

!2⌦

(!) =X

!2⌦

('(!))

1

キロ⁼ⁿ

-"

cnn.TL

^{上の 内}

数

^、

に、、

一一

、

いけ

.name

→ 爽

=

新

nnne

ない

@tGcw.sg

^cwp

)

^{- _ - はいい}

よ

^くい

)

= JCW^{、1 --} J^{(Wu) -}

Ist

^go.sigcwn

)

Joy^CW) ^{こ た}

置換の積と符号

◆ ⇣

定理 , ⁰ 2 に対して

"( ⁰) ="( )"( ⁰)

✓ ⌘

"( ⁰) = Y

{,}, <

( ⁰)( ) ( ⁰)( )

= Y

{,}, <

( ⁰( )) ( ⁰( ))

0( ) ⁰( ) · ⁰( ) ⁰( )

= Y

{,}, <

( ⁰( )) ( ⁰( ))

0( ) ⁰( ) · Y

{,}, <

0( ) ⁰( )

= Y

{ ,`}, <`

( ) (`)

` · Y

{,}, <

0( ) ⁰( )

="( )·"( ⁰)

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

R

時

_n

~

ど

が

^い

ない で 3

=

一

ftp.go が

-_- ^The

互換の符号

◆ ⇣

定理 互換⌧ = ( `)2 に対して

"(⌧) =

✓ ⌘

隣接互換⌧ = ( + )_に対して"(⌧) =

< _のとき

( ) = ( + )( + + )· · ·( )

( )( )· · ·( + + )( + )

3 4 5 6 7

3 4 5 6 7

た、e

で こ た

^{よ きた}

.io

^なに

j

い 1 ○ 簎 ジ 111

→

3 4 ⁵ 6 7 rzl

恢成

^E

4

^{3 7)}

かた 1

互換の符号

◆ ⇣

定理  2 は有限個の互換⌧ , · · · , ⌧_{`の積（合成）として}

=⌧ · · ·⌧_` と表せます．

✓ ⌘

証明は に関する帰納法によります．

( ) = _のとき⌧ = ( )_{とします．このとき}

⌧ ( ) = _なので ⌧ 2

従って

⌧ =⌧ · · ·⌧_`

を満たす互換⌧ , . . . ,⌧_` 2 が存在します．⌧ = _なので

=⌧ ⌧ · · ·⌧_`

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

○ 隣接 碝

^、

Su^-1 t

- - w

任意

_の

置換

は アミダ^で

超 見

^できる_」

- -.- が

薄

稲

。

_ 。

互換 を

_、

、

○

互換の符号

◆ ⇣

定理 2 が互換の積として

=⌧ · · ·⌧_{`</sub> =⌧<sup>0</sup>· · ·⌧<sub>`}⁰0

と 通りに表現されているとします．このとき`<sub>と</sub>`⁰ _{の偶奇は一致します．}

✓ ⌘

EC^の)= C^-1)9 ₌

almost

_El^' C ^{mod 2}

)

巡回置換

,· · ·, 2{ , ,· · · , }はお互いに異なるとします．

( ) = , ( ) = , . . . , ( ) = , ( ) = と

( ) = ( 62{ , , . . . , }) で定義される置換を = ( · · · )と記します（巡回置換）．

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

←

nn

て

^{n n}

←

→

の二 ( ¹ 3

、

9 74 ) ^ESq

/ t

/

^{「 ' ヽ」 の(2)= 2}

4 ³」

「(5) ⁼ 5

T

9 7 ^s

巡回置換

◆ ⇣

定理任意の 2 は巡回置換の積で表せます．

✓ ⌘

=

✓ ◆

を考えます． から始めて で動かしていくと，

! ! ! ! !

と に戻ります．さらにここに現れていない数 , , , のうちで最小である から始 めて， で動かしていくと

! ! !

と に戻ります．今まで現れていない は ! とそれ自身に写ります．このこと から

たん

ー.

ない

_ii 、2

. ^{. .}

y 演習

888 の の

^{まじめに3で}

れ て いい

順

→ ( 1 3 9741 )

集

、 nr 合

(2 G5 )

rhn per

巡回置換

巡回置換は互換の積で表せます．実際， ,· · · , 2{ , · · ·, }がお互いに異なると するとき

( · · · ) = ( )( )· · ·( )

が成立します．これは次から分かります．

( )( · · · ) = ( · · · )

戸瀬 信之 行列式の定義 置換の符号

←

.

→

た Es

^{mini (1 3 9 7 4}

)

h

に

い ^{こい いい}いいいろ)

れ た

2