１ ⑴ 与式＝－18－(－15)＝－18＋15＝－３ １ ⑵ 与式＝４×３
８－１ ４＝３
２－１ ４＝６
４－１ ４＝５
４ １ ⑶ 与式＝８ｘ－28－３ｘ－11＝５ｘ－39 １ ⑷ 与式＝４ｘ²ｙ⁴× １
３ｘ²ｙ＝４ ３ｙ³ １ ⑸ 与式＝21 ３
３ －２ ３＋５ ３＝７ ３－２ ３＋５ ３＝10 ３ ２ ⑴
２ ⑴ ４：(ｘ＋３)＝12：６ｘより，４×６ｘ＝(ｘ＋３)×12 24ｘ＝12ｘ＋36 12ｘ＝36 ｘ＝３ １ ⑵
２ ⑴ ２次方程式の解の公式より，ｘ＝－(－３)± (－３)²－４×１×(－６)
２×１ ＝３± 33 ２ １ ⑶
１ ⑶ 与式＝(ｘ²＋４ｘ＋４)＋７－４＝(ｘ＋２)²＋３となるから，この式にｘ＝ ５－２を代入すると，
{( ５－２)＋２}²＋３＝( ５)²＋３＝５＋３＝８ １ ⑷
求める式をｙ＝ａｘ²とする。ｙ＝ａｘ²にｘ＝２，ｙ＝－６を代入すると，－６＝ａ×２²より，
ａ＝－３
２となる。これより，ｙ＝－３
２ｘ²となるから，この式にｘ＝－４を代入すると，
ｙ＝－３
２×(－４)²＝－24 ３ ⑴
３ ⑴ ５×４×３＝60(通り)
比例式ａ：ｂ＝ｃ：ｄが成り立つとき，ａｄ＝ｂｃとなる。
攻略へのアプローチ
代入する数値によっては，値を求める式を変形すると，計算が簡単になる場合がある。
ｘ＝ ５－２なので，(ｘ＋２)という式が含まれるように与式を変形するとよい。
攻略へのアプローチ
２次方程式は，右辺が０になるように移項した後，左辺が因数分解できるときは因数分解を利 用し，因数分解できないときは下の解の公式を利用する。
２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝－ｂ± ｂ²－４ａｃ
２ａ である。
攻略へのアプローチ
ｙがｘの２乗に比例しているとき，ｙ＝ａｘ²(ａは比例定数)が成り立つ。
攻略へのアプローチ
１枚目のカードの引き方は５通りあり，このそれぞれの場合について，２枚目のカードの引き 方は４通り，３枚目のカードの引き方は３通りある。
攻略へのアプローチ
□
１
３ ⑴ １枚目のカードの数字が１のとき，資料１より 12 通りの整数ができる。
１枚目のカードの数字は５通り考えられるから，12×５＝60(通り)
⑵
３５☐の場合，☐にあてはまる数字は１，２，４の３通りある。また，４☐☐の場合，２つの☐に あてはまる数字は 12，13，15，21，23，25，31，32，35，51，52，53 の12通りある。５☐☐の場合 も同様に12通りあるから，350 以上の整数は，全部で３＋12＋12＝27(通り)できることになる。
よって，求める確率は，27 60＝９
20 ３ ⑶①
ｘ－ｚが２以上の整数になるようなｘ，ｚの組み合わせは，(ｘ，ｚ)＝(３，１)(４，１)(４，２) (５，１)(５，２)(５，３)の６組ある。例えば，(ｘ，ｚ)＝(３，１)のときのｙの値は２，４，５の ３通りある。他のｘ，ｚの組み合わせについてもｙの値はそれぞれ３通りあるから，ａ－ｂが 100 以 上になる場合は，全部で３×６＝18(通り)あることになる。よって，求める確率は，18
60＝３ 10 ３ ⑶②
絶対値が１以上４以下の整数は±１，±２，±３，±４の８個ある。
よって，ａ－ｂ＝99(ｘ－ｚ)の値は８種類ある。
４
29ｘ＋410＝33ｘ－30より，29ｘ－33ｘ＝－30－410 －４ｘ＝－440 ｘ＝11 よって，チョコレートドーナツ１個の値段は 110 円である。
できる３けたの整数のうち，350 以上になるのは，３５☐，４☐☐，５☐☐のいずれかであ る。したがって，☐にあてはまる数字は何通りあるかを数えて，確率を求める。
攻略へのアプローチ
３枚のカードの数字を順にｘ，ｙ，ｚとすると，ａ＝100ｘ＋10ｙ＋ｚ，ｂ＝100ｚ＋10ｙ＋ｘとな る。これより，ａ－ｂ＝(100ｘ＋10ｙ＋ｚ)－(100ｚ＋10ｙ＋ｘ)＝99ｘ－99ｚ＝99(ｘ－ｚ)
ｘ，ｚは１以上５以下の異なる整数だから，ａ－ｂ＝99(ｘ－ｚ)が 100 以上になるのは，ｘ－ｚが ２以上の整数になるときである。
攻略へのアプローチ
①の「攻略へのアプローチ」より，ａ－ｂの値はｙに関わりなく，ｘ－ｚによって決まる。
ｘ，ｚは１以上５以下の異なる整数だから，ｘ－ｚは絶対値が１以上４以下の整数になる。
攻略へのアプローチ
教子さんの所持金を，ｘを使った２通りの式で表し，方程式をたてる。
チョコレートドーナツを29個買うと410円余ることから，その所持金は(29ｘ＋410)円である。
また，33個買うと30円足りないことから，その所持金は(33ｘ－30)円である。
攻略へのアプローチ
１枚目のカードの数字が１のとき，資料１のような樹形図がかけ る。１枚目のカードの数字が他の場合も同様である。
攻略へのアプローチ
□
２１ ２ ３
４ ５ ３ ２ ４ ５ ４ ２ ３ ５ ５ ２ ３ ４
資料１
５ ⑴
半直線ＢＤ上にＢＣ′＝ＢＣとなる点Ｃ′を作図し，点Ｂを中心とする 半径ＢＡの円周上にＰＣ′＝ＡＣとなる点Ｐを作図する。
≪作図の手順≫ 資料３参照
１．点Ｂを中心とする半径ＢＣの円の一部をかき，ＢＤとの交点をＣ′
とする。
２．点Ｂを中心とする半径ＢＡの円の一部をかく。
３．点Ｃを中心とし，点Ａを通る円の一部をかく。
４．点Ｃ′を中心とし，手順３の円と等しい半径の円の一部をかき，手 順２の円との交点をＰとする。
５．線分ＰＢをかく。
∠ＨＢＡ＝∠ＤＢＣとなるような点Ｈを線分ＡＢの左側に作図し，直 線ＢＨ上にＢＰ＝ＢＡとなる点Ｐを作図する。
≪作図の手順≫
１．点Ｂを中心とする適当な半径の円の一部をかき，ＢＣ，ＢＤ，ＢＡとの交点を，それぞれＥ，Ｆ，
Ｇとする。
２．点Ｅを中心とし，点Ｆを通る円の一部をかく。
３．点Ｇを中心とし，手順２の円と等しい半径の円の一部をかき，手順１の円との交点をＨとする。
４．半直線ＢＨをかく。
５．点Ｂを中心とする半径ＢＡの円の一部をかき，半直線ＢＨとの交点をＰとする。
５ ⑵①
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｃ′ Ｄ Ｐ
Ｏ
資料３
∠ＰＢＡ＝∠ＤＢＣ，ＢＰ＝ＢＡとなることを利用して作図す る。(資料４参照)
攻略へのアプローチ
□
２Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｐ
Ｏ Ｅ Ｆ Ｈ Ｇ
資料４
資料５
Ａ
Ｂ Ｃ
Ｏ
Ｈ ２
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡより，△ＡＢＣは正三角形だから，そのすべ ての内角は 60°である。この正三角形は直線ＯＡについて線対称 だから，資料５のように点Ｈをとれる。直線ＯＣについても線対 称だから，∠ＯＣＨ＝60÷２＝30(°)となる。
ここから，△ＣＨＯは１つの鋭角が 30°の直角三角形とわかるの で，資料６より，３辺の長さの比は１：２： ３となる。
攻略へのアプローチ
点Ｃが移動した後の点をＣ′とすると，△ＰＢＣ′≡△ＡＢＣとな る。これより，点Ｐは，点Ｂを中心とする半径ＢＡの円周上にあ り，ＰＣ′＝ＡＣとなる点とわかる。(資料２参照)
攻略へのアプローチ
□
１Ａ
Ｂ Ｃ
Ｄ Ｃ′
Ｐ
Ｏ
資料２
△ＣＨＯにおいて，ＯＨ：ＯＣ：ＨＣ＝１：２： ３となるから，
ＨＣ＝ ３
２ ＯＣ＝ ３
２ ×２＝ ３，ＯＨ＝１
２ＯＣ＝１
２×２＝１，
ＢＣ＝２ＨＣ＝２ ３，ＡＨ＝ＯＡ＋ＯＨ＝２＋１＝３ よって，求める面積は，１
２×ＢＣ×ＡＨ＝１
２×２ ３×３＝３ ３ ６ ⑴
点Ａは関数①のグラフ上の点でｘ座標が２だから，ｙ座標を求めるため，ｙ＝２ｘ²にｘ＝２を代入す ると，ｙ＝２×２²＝８となる。これより，Ａ(２，８)
直線②は点Ａを通るから，ｙ＝－ｘ＋ｂにｘ＝２，ｙ＝８を代入すると，８＝－２＋ｂより，ｂ＝10 よって，求める式は，ｙ＝－ｘ＋10
⑵
点Ｂは直線②上の点でｙ座標が０だから，ｘ座標を求めるため，ｙ＝－ｘ＋10 にｙ＝０を代入すると，
０＝－ｘ＋10 より，ｘ＝10
点Ｃは２点Ａ(２，８)，Ｂ(10，０)の中点だから，そのｘ座標は２＋10
２ ＝６，ｙ座標は８＋０
２ ＝４よ り，Ｃ(６，４)となる。
直線ℓは原点を通るから，その切片は０なので，求める式をｙ＝ｃｘとする。
直線ℓは点Ｃを通るから，ｙ＝ｃｘにｘ＝６，ｙ＝４を代入すると，４＝６ｃより，ｃ＝２ ３ よって，求める式は，ｙ＝２
３ｘ
直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂと表せる。このとき，ａは直線の傾きを表し，ｂはｙ軸上の切片を表し ている。
直線②は，問題の条件よりａ＝－１となるので，求める式をｙ＝－ｘ＋ｂとすると，点Ａを通 ることから，ｂを求めることができる。
攻略へのアプローチ
三角形の１つの頂点を通る直線が，その三角形の面積を２等分す るとき，この直線は通る頂点の向かい側にある辺の中点を通る。
この場合，直線ℓは△ＯＡＢの頂点Ｏを通るから，頂点Ｏの向か い側にある辺ＡＢの中点を通る。すなわち，点Ｃは辺ＡＢの中点で ある。(資料７参照)
なお，２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を両端とする線分の中点の座標 は，(ｘ₁＋ｘ₂
２ ，ｙ₁＋ｙ₂
２ )である。
攻略へのアプローチ
資料７
Ａ
Ｂ Ｃ
ℓ
Ｏ
② ｙ
ｘ
資料６
２ １
３ 30°
60°
⑶
ＥＡ＝(点Ａのｙ座標)＝８より，△ＯＡＢ＝１
２×ＯＢ×ＥＡ＝１
２×10×８＝40 である。したがって，
△ＤＦＢ＝１
２△ＯＡＢ＝１
２×40＝20…(＊＊)となればよい。
ＥＢ＝(２点Ｅ，Ｂのｘ座標の差)＝10－２＝８より，△ＥＡＢはＥＡ＝ＥＢの直角二等辺三角形であ る。ＥＡ//ＤＦより，△ＤＦＢ∽△ＥＡＢだから，△ＤＦＢも直角二等辺三角形とわかる。したがっ て，ＤＢ＝(２点Ｄ，Ｂのｘ座標の差)＝10－ｄだから，ＦＤ＝ＤＢ＝10－ｄとなり，
△ＤＦＢ＝１
２×ＤＢ×ＦＤ＝１
２(10－ｄ)²と表せる。
(＊＊)より，１
２(10－ｄ)²＝20 (10－ｄ)²＝40 10－ｄ＝± 40 10－ｄ＝±２ 10
－ｄ＝－10±２ 10 －ｄ＝－10＋２ 10よりｄ＝10－２ 10，－ｄ＝－10－２ 10より ｄ＝10＋２ 10 ｄ＝10±２ 10となる。よって，(＊)より，ｄ＝10－２ 10
点Ｆは直線②上の点でｘ座標がｄだから，ｙ座標を求めるため，ｙ＝－ｘ＋10 にｘ＝ｄを代入すると，
ｙ＝－ｄ＋10＝10－ｄとなり，Ｆ(ｄ，10－ｄ)となる。
これより，直線ＯＦの傾きは，(10－ｄ)－０
ｄ－０ ＝10－ｄ ｄ
一方，Ｄ(ｄ，０)，Ｃ(６，４)より，直線ＤＣの傾きは，４－０ ６－ｄ＝ ４
６－ｄ ＯＦ//ＤＣより，10－ｄ
ｄ ＝ ４
６－ｄとなる。これより，(10－ｄ)(６－ｄ)＝４ｄ ｄ²－20ｄ＋60＝０ ２次方程式の解の公式より，ｄ＝－(－20)± (－20)²－４×１×60
２×１ ＝20±４ 10
２ ＝10±２ 10 ２＜ｄ＜10 より，ｄ＝10－２ 10
「攻略へのアプローチ
□
１」より，２＜ｄ＜10 だから，資料９のよ うに，記号をおく。⑵より，△ＯＣＢ＝１２△ＯＡＢだから，
△ＤＦＢ＝△ＯＣＢとなる。△ＤＦＢ＝△ＤＦＣ＋△ＤＣＢ，
△ＯＣＢ＝△ＤＯＣ＋△ＤＣＢより，△ＤＦＣ＝△ＤＯＣとわか る。このため，△ＤＦＣと△ＤＯＣの底辺をともにＤＣとしたとき の高さは等しくなるから，ＯＦ//ＤＣとなる。
これより，平行な２直線の傾きは等しいことを利用して解く。
攻略へのアプローチ
□
２資料８のように，記号をおく。
Ｅ(２，０)，Ｂ(10，０)より，ＯＥ：ＯＢ＝２：10＝１：５だから，
△ＯＡＥ＝１
５△ＯＡＢとなる。これより，点Ｄが線分ＯＥ上にある とすると，直線ｍは△ＯＡＢを２等分しない。したがって，点Ｄは 線分ＥＢ上にあるとわかるから，２＜ｄ＜10…(＊)となる。
題意より，△ＤＦＢ＝１
２△ＯＡＢとなる点Ｄの座標を求めればよい。
△ＤＦＢの面積をｄで表し，ｄについての方程式を立てる。
攻略へのアプローチ
□
１ 資料８Ａ
Ｂ Ｄ
ｍ
Ｏ
② ｙ
Ｅ ｘ Ｆ
資料９
Ａ
Ｂ Ｄ
ｍ
Ｏ
② ｙ
ｘ
Ｆ ℓ
Ｃ
