5. フーリエ級数

1

計測システム研究室 章 忠

５ . フーリエ級数：信 号の解析

応用数学 IV

（ Applied Mathematics IV ）

(Fourier Series: Signal Analysis)

2

4.2.1 関数空間(Function space)

フーリエ級数の復習

を満たすので

3

4.2.2 内積の定義 (Definition of inner product)

（ノルム：Normal)

4

4.2.3 直交系の義定(Definition of orthogonal function)

(p.184-185)

5

4.3.2 フーリエ級数(Fourier series)

物差しcos(nt)とsin(nt)で計ったf(t)の大きさはa_nとb_nである。

ただし、cos(nt)とsin(nt)が互いに計った結果はゼロとなる(直交）。

(a_nとb_nはf(t)の基底sin(nt)とcos(nt)への投影の大きさ)

6

7

5.1 周期２Lの場合

5.1 一般周期関数のフーリエ展開

任意の区分的に連続の関数f(t)に関して、有限の長さ2L(L>0) を切り出して、周期2Lの周期関数として扱うことができる。

(p.182-183)

8

) ,

(Lt  L  v 

) (t

 f

9

) sin

cos

( t

L b n

L t

a_n n _{ n} 

10

例題1：

1)

この関数のフーリエ展開がsin(nπt）の項し かない。なぜ？きっと理由があるはずです！

11

5.2 余弦展開と正弦展開

5.2.1 偶関数と奇関数のフーリエ級数

(Half Range Fourier Sine or Cosine Series) p.183-184

12

5.2.2 余弦展開

下図

13

偶関数 f(t) と奇関数 の掛け算は奇関数となり、それの対 称区間での積分値 はゼロとなる。

L t n / sin  bn



  

 ^L

n L tdt n

L t n

L f

b 1 ( )sin  0, 1,2,

) (t f

14

5.2.2 正弦展開

15

例題2：

1)次の関数f(t)の正弦と余弦展開を求めよう 1

0 , 1 )

(t  t  t  f

同じ関数なのに、展開方法(境界条件）が異なると、

まったく異なるフーリエ級数となる。言い換えれば、

同じ関数でも異なるフーリエ級数で表現できる。

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5.3 複素フーリエ級数

(Complex Notation for Fourier Series)

オイラーの公式：

ただし、 虚数単位である。i  1 オイラーの公式において、x^を-x^{で置き換えると}

(1)

(2)

(1) (2)

5.3.1 オイラーの公式

x i

x

e^ix  cos  sin

i e nx e

e nx e

inx inx

inx inx

sin 2 2 ,

cos



 

 



(Euler’s identities) p.184

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5.3.2 複素フーリエ級数

公式：

～

inx n

n n

inx n inx

n

ne c c e c e

c x

f

  

^





















1 0

1

)

( ～

ここで

i e nx e

e nx e

inx inx

inx inx

sin 2 2 ,

cos



  

 

18

複素フーリエ級数



















L L

x L in n

x L in n

n

dx e

x L f

c

e c x

f

) / ( ) / (

) 2 (

1 ) (





19

例題3：

1)指数関数系

直交関数系であることを証明せよ。

} ,

, 1 , , ,

{ e^i2t e^it e^it e^i2t

2) の複素フーリエ級数を求めよ。^sin3(t)

20

5.4.1複素フーリエ級数と信号解析

2L

番目の周波数

基本周波数）

周波数間隔 n

L n f

L f

n /2 :

( :

2 / 1







2 1|

|c

2 2|

|c

2 3 |

|c

2 4|

|c

2 5|

|c

2 6 |

|c

power

) (t f



















L L

t i n

t i n

dt e

t L f

c

e c t

f

L n L

n





) 2 (

1 ) (

複素フーリエ級数：

c_nは関数 f(t) が直交基底（物差し）

への投影の大きさ(物差し で測った大きさ)となり、|c_n|²は周 波数 でのパワー、

|c_n|²の集合はパワースペクトル である。

L t

ein^{ /}

L n f_n  /2

t t

f t

f n Lt

t n L n

n

n 





 _  _{   }

2 )

( 2 2

2

5.4 複素フーリエ級数による信号解析 ( 発展 )

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信号解析の例

2L

番目の周波数

基本周波数）

周波数間隔 k

L n f

L f

n /2 :

( :

2 / 1







2 1|

|c

2 2|

|c

2 3|

|c

2 4 |

|c

2 5 |

|c

2 6|

|c

power

振動信号のパワースペクトル

0 0.02 0.04 0.06 0.08

–3 –2 –1 0 1 2 3

Time, s

Amplitude, v

10¹ 10² 10³ 10⁴

10^–6 10^–4 10^–2 10⁰

f, Hz

Amplitude of energy

骨の振動信号

 

lf ² E  

ヤング率：

骨質密度測定器

フーリエ級数は時間に関する信号を周波数に関する信号へ変換 する手法で、時間に関する情報を失ってしまう。

22

宿題V：

2) 次の関数の複素フーリエ級数展開を求めよ

t t

f ( ) cos³

1)次の関数f(t)の正弦と余弦展開を求めよう

) 1 0

( )

(t  t t  f

教科書：p.182-185を読み、例題（Solved problems）：7.8-7.12を復習し て以下の問題を解くこと