Bratteli図形を用いたモジュラーParty代数の表現

(1)

Bratteli図形を用いた

モジュラーParty代数の表現

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2005 年 9 月 14 日(水)

小須田雅

琉球大学理学部

(2)

複素鏡映群 G(r,1,k)

=

<

^k^{次の置換行列}^,^x^{= diag(}^z,1, ..., 1)

>

(z = 1 の原始 r 乗根)

GLk(C) ⊃ Ok(C) ⊃ G(r,1,k) ⊃ Sk

CSn ⊂ Bn(k) ⊂ C_n,r(k) ⊂ C_n,1(k) 1. モジュラーParty代数とは？

複素鏡映群 G(r,1,k) の tentalizer

よく知られた群とその tentalizer 群

(tentalizer = Centralizer of the Tensor Representation)

tentalizer

C_n,r(k) の基底を探す !

X∈C_n,r(k) ⇔ X∈End(V○×V○×…○×V) Xs = sX for ∀s ∈G(r,1,k)

※

(Partition algebras)

C_n,r(k) = EndG(r,1,k)(V○×V○×…○×V) (n tensor)

(3)

(T~)^mn+1_m1, ..., , ..., _mn_m2n

C_n,1(k) = EndG(1,1,k)(V○×V○×…○×V) の基底

{

^T~

|

^~^は集合 [2n]={1,2, ..., 2n} の分割 ,

類の個数 <= k

}

T~ に対する線形写像

:=

{

^{1 if (}^mi⁼^mj if and only if i~j) 0 otherwise.

mn+i:= fiとおき dim V = k ≧ 2n の場合を考えると次の集合が C_n,1(k) の基底と 1:1に対応

|

^F

|

^{= n,}

|

^M

|

^{= n,}

|

^F^∪^M

|

^{= 2n}

S

n1 = {{T¹, T2, ... , Ts}; s = 1, 2, ...

Tj (≠f) ^⊂ F∪M (j = 1, 2, ... , s),

∪Tj = F∪M, Ti∩Tj = f if i≠j}

(dim V = k ≧ 2n if r = 1)

(dim V = k ≧ n if r>1)

1.1. r=1 の場合

∀s ∈S_k

∀s ∈S_k s^-1Xs (e_m1○×…○×e_mn)

=

S

F X e_f1○×…○×e_fn

s(_m1),…,s(_mn) s(_f1),…,s(_fn)

Xs(_m1), ..., s(_mn) =

s(_f1), ..., s(_fn) X

m1^f1, ..., , ..., _fn_mn

F = {(f₁, f₂, ... , f_n) | f_j ∈ [k] j = 1,2,...,n}

M = {(m₁, m₂, ... , m_n) | m_j ∈ [k], j = 1,2,...,n}

[k] = {1, 2, ..., k}

(4)

X∈End(V○×V○×…○×V)

Xx = xX x = diag(z,1, ..., 1)

= z…zX

m1^f1,…,…,_fn,_mn z…zX

m1^f1,…,…,_fn,_mn

⇔

p = (m₁, m₂, ... , m_n) の中の 1 の個数

(m₁, m₂, ... , m_n) の中の i の個数

≡

_(f₁_{, f}₂_{, ... , f}_n₎^の中の_i^の個数_{(mod r)}

q = (f₁, f₂, ... , f_n) の中の 1 の個数

{

p q

∴ p

≡

_{q (mod r)}

s は添え字集合全体の置換を走るから i = 1, 2, ..., k について

1.2. r>1 の場合

r = 1 の場合の条件に次の条件が加わる

C_n,r(k) の基底と対応 (r-modular な座席表とよぶ)

S

nr = {{T¹, T2, ... , Ts}; s = 1, 2, ...

Tj (≠f) ^⊂ F∪M (j = 1, 2, ... , s), ∪Tj = F∪M, Ti∩Tj = f if i≠j,

|

^T^j^∩^F

| ≡ |

^T^j^∩^M

|

mod r (j = 1, 2, ... , s)}

dim V = k ≧ n を仮定するとき次の集合が

|

^F

|

^{= n,}

|

^M

|

^{= n,}

|

^F^∪^M

|

^{= 2n}

(5)

2-modular な座席表の例

2. modular な座席表の図による表示

3-modular な座席表の例

以下は同じ座席表を表す

f₁ f₂ f₃ f₄ f₅

m₁ m₂ m₃ m₄ m₅ T4

T3

T2

T1

f₁ f₂ f₃ f₄ f₅ f₆ f₇

m₁ m₂ m₃ m₄ m₅ m₆ m₇ T4

T3

T2

T1

S

n2∋{ {f₁, m₁, m₂, m₄}, {f₂, m₅},

{f₃, f₄},

{f₅, m₃} }

S

n3∋{{f₁, m₁, m₂, m₃, m₅}, {f₄, m₆},

{f₂, f₃, f₅},

{f₆, f₇, m₄, m₇} }

f¹ f² f³ f⁴ f⁵

m¹ m² m³ m⁴ m⁵

f¹ f² f³ f⁴ f⁵

m¹ m² m³ m⁴ m⁵

~

(6)

= Q

=

P_n,r(Q) の生成元 [Tanabe (1997)]

3. P_n,r(Q) の生成元と関係式

座席表を基底とする空間に上記の積を入れることにより結合代数 P_n,r(Q) を定義する

s_i

i i+1

e^(r)

{ {

^r ^n-r

f r-modular な座席表の積

w₁

f1 f2 f3 f4 f5

w₁w₂

= Q

f1 f2 f3 f4 f5

m₁ m₂ m₃ m₄ m₅

w₂

m₁ m₂ m₃ m₄ m₅

(7)

Relations (1/3)

s_is_i+1s_i = s_i+1s_is_i+1

s_is_j = s_js_i (|i - j| > 2)

fs_i = s_if (i = 2,3, ..., n-1)

e^(r)s_i = s_ie^(r)(i = r+1,r+2, ..., n-1)

fs₁ = s₁f=f

fs₂fs₂ = s₂fs₂f s_i²= I^d

= =

=

= =

=

= f²=f

..

. ..

. ...

s_i, f, e^(r) ...

s_i, f, e^(r)

(8)

Relations (2/3)

fe^(r) = e^(r)f = e^(r)

s_ie^(r) = e^(r)s_i = e^(r) (i = 2,3, ..., r-1)

e^(r)s_re^(r) = e^(r)

fs₂s₃^...s_re^(r)s_r^...s₃s₂f = f₁f₂^...f_r-1 (e^(r))²= Qe^(r)

= ...

... ...

...

=

= =

...

= Q ...

... ...

...

=

= ^... ^...

...

... ...

...

s_is_i+1f_is_i+1s_i=f_i+1 Here f₁ =f and

( )

=

(9)

...

... ...

...

fs₂s₃^...s_r+1s₁s₂^...s_re^(r)s_r^...s₂s₁s_r+1^...s₃s₂

= s₂s₃^...s_r+1s₁s₂^...s_re^(r)s_r^...s₂s₁s_r+1^...s₃s₂f

e^(r)Pe^(r)P =Pe^(r)Pe^(r)

fs₂s₃s₁s₂fs₂s₃s₁s₂ = s₂s₃s₁s₂fs₂s₃s₁s₂f

P =

(

1 2 ... r r+1 r+2 ... 2r r+1 r+2 ... 2r 1 2 ... r

)

=

= Relations (3/3)

(10)

1 2 3 r 0

...

1 2 3 r

0

...

4. P_n,r(Q) の構造

4.1. P_n,r(k) の Bratteli 図形の作り方

i) （準備） r 個の board と k 個の box を用意し，

最初の board にそれらを並べる

ii) （始めの一歩）最初の board に並べられた box のうち右端のものを隣の board に移動

● 各 board に並べられた box 達はそれぞれの board

の上で Young 図形を作るようにする

● r 番目の board にある box は最初の board に移す iii) （第 i 歩）空でない board を一つ選び

以下の規則に従い隣の board に移す

iv) iii) の操作を n 回続ける

(11)

4.2. 例

P_4,3(5) 0-th

1-st 2-nd

ff

f f

f

f f f

f f

f ff

f f

f f f f f f

1 3 2 3 1 6 6 3 3 4 5

f

f f

f f f f

1 3 2 3 1 6 6 3 3 10 10 7 4

P_4,2(5) 0-th

1-st 2-nd 3-rd

f

(12)

4.3. P_n,r(k) の表現空間 L_r^k(i)

:= {i 番目の操作で得られる Young 図形の並び}

V(a) :=

<

^v^P^{; P}^∈^T(^a⁾

>

^C

T(a) := {P = (a⁽⁰⁾,a⁽¹⁾, ... , a⁽ⁿ⁾); a⁽ⁿ⁾ = a a⁽ⁱ⁾∈L_r^k(i), a⁽ⁱ⁾⊂¹ a⁽ⁱ⁺¹⁾

for 0≦i≦n-1}

a⁽ⁱ⁾⊂¹ a⁽ⁱ⁺¹⁾: a⁽ⁱ⁺¹⁾ は a⁽ⁱ⁾から得られる a = [l⁽⁰⁾, l⁽¹⁾, ... , l^(r-1)]∈L_r^k(n) に対し

a を台とする盤 T(a) を次で定義

盤 T(a) の元で張られる空間 5. 主定理

次が成り立つ

P_n,r(Q) ~=

○ ＋

_{End (V(}^a⁾⁾

P_n,r(Q) ~= C_n,r(k) a∈L_r^k(n)

k ≧ n かつ Q≠0, 1, 2, ..., n-1のとき

(13)

P_n,r(k) の既約表現 (r_a,V(a)) の構成

a⁽¹⁾

a(n)= a a⁽⁰⁾

v₁ v₂ v_i

v_i = ( a⁽¹⁾, ... , a⁽ⁿ⁾)

以下を定義すればよい r_a(f)

r_a(e^(r))

r_a(s₁), ... , r_a(s_n-1) r_a(x)v_i=

S

^a^ji^(x) ^v^j

r_a(f)v_P =

{

^v^P^if^a⁽²⁾ = [(k-1), f, 1, ..., f] (r ≧ 2) or [(k-1)1, f] (r = 2)

0 otherwise.

r_a(f) の定義

r_a(e^(r)) の定義

r_a(e^(r))v_P =

{

^kv0 otherwise.^P^if^a^(r)^{= [(k),}^f^{, ...,}^f^]

(14)

r_a(s_i) の定義

a^(i-1) からどのように a⁽ⁱ⁺¹⁾ が得られるかによって

行列 Ai が定まる

a^(i-1)

a⁽⁰⁾

a⁽ⁿ⁾ a^(i,1)

a⁽ⁱ⁺¹⁾

a^(i,2) a^(i,p)

v₁

v₁,v₂, ... ,v_p

v₂ v_p

r_a(si)(v¹, ... ,v_p) = (v₁, ... ,v_p) Ai r_a(si)(v¹) = a₁v₁+ … + a_pv_p

...

(15)

a^(i-1) の j-番目の board の２つの box が (j+1)-番目の board に移動した場合

Case 1)

a^(i-1) と a⁽ⁱ⁺¹⁾ を結ぶ道は高々4本

d₁ = d(l⁽ⁱ⁺¹⁾, l⁽ⁱ⁾, l^(i-1)), d₂ = d(x^(i-1), x⁽ⁱ⁾, x⁽ⁱ⁺¹⁾) a^(i-1) =

[

..., , ,...

]

a⁽ⁱ⁾

a⁽ⁱ⁺¹⁾=

[

..., , ,...

]

[

..., , ,...

] [

..., , ,...

][

..., , ,...

][

..., , ,...

]

l⁽ⁱ⁺¹⁾ l⁽ⁱ⁾

l^(i-1)

x⁽ⁱ⁺¹⁾ x^(i-1)

x⁽ⁱ⁾ l⁽ⁱ⁾ x' l' x⁽ⁱ⁾ l' x'

A

_i

= ( ) √

^d^d^d¹¹^d¹¹²²¹¹^-1^d

√ √

²¹

√

^d^d^d^d^d²²¹^d²²²¹^d^-1^-1²²²²²^-1²

√

^d^d^d^-1¹^d¹²¹²¹^-1^d^-1²

√ √

¹

√

^d^d^d^d^d²¹²^d²²¹²^-1^-1^d²²²²²^-1²

√

^d^d^d¹^-1^d¹²¹²¹^-1^-1^d

√ √

²¹

√

^d^d^d^d^d²¹²^d²²¹²^d^-1^-1²²²²²^-1²

√

^d^d^d^-1^-1^d¹²¹²¹¹^d^-1

√ √

²¹

√

^d^d^d^d^d²¹²^d²²¹²^d^-1^-1²²²²²^-1²

(16)

a^(i-1) の j-番目の board の１つの box が (j+2)-番目の board に移動した場合

Case 2)

a^(i-1)=

[

..., , , ,...^f

]

a⁽ⁱ⁺¹⁾=

[

..., , , ,...^f

]

[

, , ^f ^f

] [

^f , , ^c+1 ^f

] [ {

^f , ,

] [

, , ^c

][

, ,

{ ]

(A

_i

)

^{q, q'}

= 0

(A

_i

)

^{p, p'}

=

^h(^m⁾

h(m⁺(p))

√ √

^h(^m⁺^(p'))

(A

_i

)

^{p, q}

=

^h(^m⁾

h(m⁺(p))

√ √

^h(^m^-^(q))

d(m^-(q), 1m, m⁺(p))

= (A

_i

)

^{q, p}

.

m^-(q') m^-(q)

m

x' m x

m⁺(p) m⁺(p')

p p' p'' q q'

(17)

Case 2-2) If the Young diagram on the j-th board x and that of on th (j+2)-nd board coincide.

(This happens only in case r = 2.)

0 (A

_i

)

^{p, p'}

√

d(l^-(r'), 1l, l⁺(r)) 1

d(m^-(s'), m, m⁺(s)) a^(i-1) = [ l, m ]

a⁽ⁱ⁺¹⁾ = [ l, m ]

[ l^-(r'), m⁺(s)] ... [ l⁺(r), m^-(s')]...

...

Q_r',s P_r,s'

= { √ √

^h(^h(^l^m^-^-^(r'))h(^(s'))h(

√

^h(^h(^h(^l^m⁾⁾^l^l^l^-⁺⁺If (P, P') = (P^(r'))h(^(r))^(s))^h(^l⁾^l⁺^(r)) _r,s'^h(, Q^m^-_r',s^h(^(s'))h() or (Q^m⁾ ^m⁺_r',s^(s)), P_r,s') If (P, P') = (P_r,s, P_r',s)

If (P, P') = (Q_r,s, Q_r,s')

Otherwise

×

(18)

Case 3) その他の場合

{r_a} が既約表現の代表系であることの証明方法 {r_a} が関係式をみたすことをチェックする

Cell 表現を作り適当な projection を作用させる

{r_a} の既約性と相互に非同型であることを n に関する帰納法で示す

a^(i-1)=

[

..., , ,..., , ,...

]

[

..., , ,..., , ,...

] [

..., , ,..., , ,...

]

a⁽ⁱ⁺¹⁾=

[

..., , ,..., , ,...

]

a^(i-1) と a⁽ⁱ⁺¹⁾ の間に丁度2本の道が存在する

v₁ v₂

A

_i

= ( )

^{0 1}^{1 0}

第１の方法

第２の方法

(19)

例 : P_3,2(k) (k ≧ 3) ra(S₂)

P_n,r(k) の表現から P_n,r(Q) の表現への移行

k を Q に置き換える

1

2 1

2 1 2 1

2 1

2

‑1 2

1 2

0 1

2 ‑1

2 1

‑1 2 2

1 k 2k1

k‑1 2k

‑ k‑1 k

‑ k‑1 k k‑1

2k 2k1

2k1

2k1 k‑1 k

( ) ( )

→

k-1...

k f

{

...

k-1...

{

r (S

{

^k-1_... ₂)

{

k-2...

{

r (S

{

^k-2_... ₂)

k f

{

...

k-1 f

{

...

k-2...

{

k-2...

{

(20)

6. Generic でない場合

Q = 0, 1, 2, ..., n-1 のとき k = 1, 2, ..., n-1 のとき

C_n,2(3) の Bratteli 図形

P_n,r(k) ／〜 ~= C_n,r(k)

P_n,r(Q) は半単純でない（予想）

C_n,r(k) ~=

○ ＋

_{End (V(}^a⁾⁾

a∈L_r^k(n)

f

f f f

f

f f f

f

f f f

f

Bratteli図形を用いた モジュラーParty代数の表現