P4 通信システム - P4.1 ディジタルフィルタの設計とその応用

ディジタル信号処理の更なる理解のために

¾

離散フーリエ変換による信号解析の理解

¾

ディジタルフィルタの設計と性能評価 サンプリング

AD

変換 ディジタル 変調

信号処理 伝送

アナログ 信号

H4.1

P4 通信システム

P4.1 ディジタルフィルタの設計とその応用 P4.2 分布定数線路の CAD

P4.1 H4.1

ディジタル信号処理とは

アナログ信号をディジタル信号に変換し，ディジタル的に演算すること

科学技術のあらゆる分野に必要不可欠な基盤技術

信号の処理・加工が容易 定義？！

なぜ？！

どこで利用？！

TUT

アナログ信号とディジタル信号

アナログ信号 サンプリング サンプル値信号

AD

変換 ディジタル信号 サンプリング周波数が，ｘ（ｔ）に

含まれる最高周波数の２倍よりも 大きい場合，元の信号を再生可能

サンプリング定理とは

ω

s

ω

₀

<

2

通常の表記（

T

：削除）

注意

x(n)

x(nT)

アナログとディジタルフィルタの比較 （ LPF ）

ｔ ０

ｙ（ｔ）

１

( )

^t _RC

− e 1

ｕ（ｔ） Ｒ ｙ（ｔ）

Ｃ

ｙ（ｎ）

＋

b Ｚ^-１ ｕ（ｎ）

ｙ（ｎ） １

２ ３

) ( )

) (

( y t x t

dt t

RC dy + =

アナログ フィルタ

ディジタル フィルタ

線形微分方程式

TUT

ディジタルフィルタの構成

) 1 (

)

( n = x n − y

遅延素子

Z

^-1

y(n) x(n)

∑

=

=

^k

i

i

n x

n y

1

) ( )

(

加算器 ＋

y(n) x

₁

(n)

x

₂

(n) x

_k

(n)

係数乗算器

a

y(n)

) x(n)

( )

( n ax n

y =

要素 式表現 ブロック表現

簡単なディジタルフィルタの例

) 2 (

) ( )

( n = x n + x n − y

ω

０ ０ ω

) 1 (

) ( )

( n = x n + x n − y

) 1 (

) ( )

( n = x n − x n −

y

TUT

実験内容

１. ディジタルフィルタの基礎

２. ＦＩＲ形ディジタルフィルタの設計とその応用

（１）線形と非線形特性を持つディジタルフィルタの理解

（２）離散フーリエ変換による信号解析

（１）フーリエ級数法による設計

（２）周波数サンプリング法による設計

具体的には，ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦを設計し，

離散フーリエ変換によりその入出力特性を調べる 注意：Ｃ言語を利用して，実験を行う．

離散フーリエ変換

j N N

n

kn

e W

W n

x k

X

π 2 1

0

) ( )

(

−

−

=

=

= ∑

∫

−^∞∞

= x t e

−

dt X ( ω ) ( )

^jωt

フーリエ変換（連続）

離散フーリエ変換（離散）

時間領域

ｆ ｔ

周波数領域

：回転因子

TUT

離散フーリエ変換の解釈

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

) 3 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

) 3 (

) 2 (

) 1 (

) 0 (

33 32

31 30

23 22

21 20

13 12

11 10

03 02

01 00

x x x x

W W

W W

W W

W W

W W

W W

W W

W W

X X X X

N j kn

N

W

^kn

π kn 2 π 2 sin

cos −

=

1 1

3

1

) 0 . 3 sin( ), 2

sin(

3 . 0 )

( t t t f

x = + ω + ω ω = π

各周波数成分との内積！！

∫

−^∞∞

= x t e

−

dt X ( ω ) ( )

^jωt

) (t x

DC f

1

1 2

2 f f =

1 3

3 f f =

t

W

0

W

1

W

2

W

3

) 0 (

x x(1) x(2) x(3) x(0)

3 . 0

1

0

3 . 0

n=0    1       2       3      0

1. 基礎項目のまとめ

1. フィルタの作成

a. 入力信号生成（離散信号）

b. 入出力信号の観測（時間領域）

2. ＤＦＴの作成

a. ＤＦＴの理解

b. 入出力信号の観測（周波数領域）

TUT

実験内容

１. ディジタルフィルタの基礎

２. ＦＩＲ形ディジタルフィルタの設計とその応用

（１）フーリエ級数法による設計

（２）周波数サンプリング法による設計

具体的には，ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦを設計し，

離散フーリエ変換によりその入出力特性を調べる 注意：Ｃ言語を利用して，実験を行う．

（１）線形と非線形特性を持つディジタルフィルタの理解

（２）離散フーリエ変換による信号解析

フーリエ・ラプラス・ z 変換の関係

∫

−^∞∞

= f t e

−

dt F ( ω ) ( )

^jωt

) (

) ( )

(

ω σ j s

dt e

t f s

F

^st

+

=

= ∫

−^∞∞

−

∑

^∞

=

=

−

0

) (

) (

n

Z

n

nT f

z F

可積分関数でなければならない

e

^−σt ^{を乗ずることで，可能}

（σ=0の時フーリエ変換）

連続関数f(t)を離散化

ラプラス変換 ラプラス変換

z

変換

z

変換

フーリエ変換 フーリエ変換

TUT

FIR フィルタと IIR フィルタ

ＦＩＲフィルタ

∑

∑

= =

−

−

−

=

^N

k

k M

k

k

x n k b y n k

a n

y

1 0

) (

) (

) (

ＩＩＲフィルタ

a₀

Z^-1

y(n)

x(n)

^{Z ＋}

-1 Z^-1 ＋ Z^-1 Z^-1 Z^-1

a₁ a₂

a_M

-b₁ -b₂

-b_N

Ｎ次差分方程式

伝達関数

[ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] ∑

∑

∑

∑

=

−

=

−

=

−

=

−

+ Ζ =

= Ζ

Ζ

− Ζ

= Ζ

N

k

k k M

k

k k

N

k

k k M

k

k k

z b

z a n

x n z y

H

n y z

b n

x z

a n

y

1 0

1 0

) 1 (

) ) (

(

) ( )

( )

(

Ｎ次差分方程式の両辺をＺ変換し，入出力の比を取る

伝達関数

(

_k

)

M

z z

H

⁰

∏ −

上式を因数分解する

極零点配置（安定性判別）

z z

z , , L ,

TUT

極零配置の例とインパルス応答

未知システムに，インパルスを入力⇒未知システムがわかる 零

Re

Im

1

ＬＰＦ

₁

1

1 ) 1

(

₋

−

−

= +

z z z

H ρ ＢＰＦ H ( z ) = 1 − z

⁻²

Re

極

Im

1

極がＺ平面の単位円内：安定

未知システム

n

) ( n

δ ( )

(

_k

)

N

k M

k

p z

z z H

z H

−

−

= ∏

∏

=

=1 0

)

(

たたみこみ

) ( )

( )

( )

(

) (

) ( )

(

n x n

h n

h n

x

k n

h k x n

y

k

∗

=

∗

=

−

= ∑

^∞

−∞

=

実際のフィルタリング（式での表現）

入力とインパルス応答が与えられると，出力は？

) (n y )

(n h

0 1 2 3 n 4 3

2 1

) (n x

0 1 2 3 n 2 1

TUT

たたみこみの例

) ( k x −

) 1

( k

x − ) 2

( k

x − ) 3

( k

x − ) 4

( k

x −

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

) (n y

0 1 2 3 4 n

8 7

4 1 10

2x4=8

2x3+1x4=10 2x2+1x3=7

2x1+1x2=4 1x1=1

) (n h

0 1 2 3 n 4 3

2 1

周波数特性の導出法

∑

∑

=

−

=

−

+

=

_N

k

k k M

k

k k

z b

z a z

H

1 0

1 )

(

上式のｚに

e

^ｊω （振幅１の全周波数）代入する

) ( )

(

) (

arg )

(

) (

) (

) (

ω

ω ω

ω ω

ω

ω θ ω

j j

j I

j R

j

M

e H e

H

e jH

e H

e H

∠

=

∠

=

+

=

Ｍ（ω）

ω ０ 振幅特性 π

ω ）

０

TUT

周波数特性

低域通過フィルタ（ＬＰＦ）

ω ω_ｃ

高域通過フィルタ（ＨＰＦ）

ω ω_ｃ

帯域通過フィルタ（ＢＰＦ）

ω ω_L ω_H

帯域除去フィルタ（ＢＥＦ）

ω ω_L ω_H

システム表現

時間領域 時間領域 周波数領域 周波数領域

Z 領域 Z 領域 )

( )

( )

( n h n x n

y = ∗ Y ( e

^jω

) = H ( e

^jω

) X ( e

^jω

)

z

変換

離散時間フーリエ変換

ω

e

j

z =

インパルス応答 周波数特性

TUT

フィルタ設計とは？！

フィルタの係数を決定すること

¾ 望まれるフィルタの特性を決定 振幅特性と位相特性

¾ 使用するフィルタを決定 ＦＩＲかＩＩＲかその他

¾ 設計方法を決定

どの設計アルゴリズムを利用するか

ω ω_ｃ

０ π

通過域

遷移域

阻止域

減衰量 そのためには？！

正規化周波数とは？！

サンプリング周波数ｆ_ｓに応じて，周波数特性を表現するのは無駄

（ｅｘ．カットオフ周波数ｆ_ｃ＝１ｋＨｚ，サンプリング周波数ｆ_ｓ＝１０ｋＨｚ，２０ｋＨｚ）

回避するために？！

対象となる周波数は，

０からサンプリング周波数ｆ_ｓの半分ｆ_ｓ

/

２（サンプリング定理より）

すなわち，０からπを利用して表現（正規化と呼ぶ）

π π

π ⇒

^s

=

f f f

f 2 2

2

TUT

フーリエ級数法による設計

∫

−

−

=

^π

π

D f H f df

MSE ( ) ( )

²

ω ω_ｃ

０ π

理想特性：Ｄ（ｆ）

実際の特性：Ｈ（ｆ）

理想特性と実際の特性の 平均二乗誤差（ＭＳＥ）が 最小となるように設計

ω π ω

π ω

π D e d

h i = ∫ − ( ) j i 2

1

ちょっと複雑な計算

ＬＰＦからＨＰＦ，ＢＰＦ（周波数変換）

ＬＰＦ：Ｈ_Ｌ（ｚ）

ω ω_ｃ

ＨＰＦ：Ｈ_Ｈ（ｚ）

ω ω_ｃ

) ( )

cos(

2 )

( n n

₀

h n

h

_BP

= ω ⋅

_L

) (

)

(

^jω

=

_L ^{j(ω−π )}

H

e H e

H

) ( )

1 ( )

( n h n

h

_H

= −

ⁿ _L

少し複雑な計算

TUT

窓関数

( )

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

=

− −

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− −

×

=

=

1 cos 4

08 . 1 0

cos 2 5

. 0 42

. 0 )

(

1 1 2

) (

1 cos 2

1 )

(

1 )

(

N n N

n n w

N n n

w

N n n

w n w

π π

α π

ハニング窓（α

=0

．

46

）

α

ハミング窓（α

=0.5

） バートレット窓 ブラックマン窓

矩形窓

) ( )

( )

( n h n w n

h

_w

= ⋅

窓関数

Ｇｉｂｂ ｓ現象の軽減

（スペクトルの洩れ）

周波数サンプリング法による設計

ω ω_ｃ

０ π

理想特性：Ｄ（ｆ）

所望特性：Ｈ（ｆ）

周波数特性 時間特性 逆フーリエ変換

時間領域

ｆ ｔ

周波数領域

TUT

2. フィルタ設計のまとめ

ＬＰＦ，ＨＰＦ，ＢＰＦの作成

a. 各設計法によるフィルタ係数導出の理解

b. サンプリング周波数，カットオフ周波数（各自が設定）

c. 入出力信号の観測（時間領域，周波数領域）

d. 次数に対する考察

e. 窓関数に対する考察

参考文献

¾

中村尚五，“ビギナーズデジタルフィルタ”，東京電機大学出版局

¾

樋口龍雄，“ディジタル信号処理の基礎”，昭晃堂

¾

樋口龍雄，川又政征，“ＭＡＴＬＡＢ対応ディジタル信号処理”，昭晃堂

¾

武部幹，“ディジタルフィルタの設計”，東海大学出版会

¾

臼井支朗，“信号解析”，オーム社

¾

貴家仁志，“ディジタル信号処理”，昭晃堂

TUT

報告書の書き方

初めて読む人が，すぐに理解できる

（実験の目的，原理，手順，結果，考察）

その報告書に基づき，容易に再実験が可能

概要：報告書の内容を簡単にまとめたもの 中身：目的

原理

実験内容・手順 結果・考察

参考文献（感想・意見）

その他：式，図，表には通し番号と適切な表題 下欄にページ番号，図の書き方の工夫 報告書とは

表紙と報告書の中身