PDF 三角形の五心 外心 内心

三角形の五心 1/8

三角形の五心

「外心」，「内心」，「重心」，「垂心」，「傍心」を三角形の五心という．

外心

an outer center, a circum center 外接円circum circle 三角形の三辺の垂直二等分線は１点（外心）で交わり，その点から各頂点 までの距離は等しい．

【証明】２辺からの垂直２等分線の交点と各頂点を結んでできた三角形は二 等辺三角形．各三角形の斜辺の長さは等しい

内心

the inner center 内接円an inscribed circle 三角形の三内角の二等分線は１点（内心）で交わり，その点から三辺への 垂線の長さは等しい．

【証明】2 頂点の内角の二等分線の交点から各辺に垂線をひくと，各頂点と 交点でできる三角形は直角三角形で斜辺が共通．2 角夾辺が等しいので垂線 の長さは等しい．

重心

a center of gravity，centroid

三角形の三中線は１点（重心）で交わり，その点は各中線の頂点から遠い ほうの三等分点である．

【証明】cebaの定理を使う．

垂心

an orthocenter

三角形の各頂点から対辺への三垂線は１点（垂心）で交わる．

【証明】外接円を描き，2垂線の交点と1頂点を結んだ線分は対辺と垂直で ある．

傍心

an excenter

三角形の1内角の二等分線と他の2外角の二等分線は1点（傍心）で交わ り，その点から三辺への垂線の長さは等しい．

【証明】内心の証明と同じ．

三角形の五心 重心 2/8

三角形の頂点と各辺の中点を結んだ線分は 1 点（重心）で交わる

三角形△ABCにおいて，辺CA，辺ABの中点をそれぞれE，Fとする．また，2線分BE，CFの交点をGと する．線分AGの延長線と辺BCの交点をDとする．

DがBCの中点であることを証明できれば，各頂点とその対辺の中点を結んだ線分は1点Gで交差することが いえる．

【証明】 A

B C

D F E

G E，Fは辺CA，ABの中点であるから

AF=FB，CE=EA チェバの定理より

1 EA CE DC BD FB

AF⋅ ⋅ =

∴ 1 1 DC 1⋅BD⋅ =

∴ 1 DC BD =

∴ BD=DC

∴

2BD BD BD

DC BD BC

= +

= +

=

∴

2 BD= BC

よって，Dは辺BCの中点である．

すなわち，各頂点とその対辺の中点を結んだ線分は1点Gで交差する

三角形の五心 垂心 3/8

三角形の頂点からの 3 垂線は 1 点（垂心）で交わる

三角形△ABCの2頂点A，Bから対辺に向かって垂線を引く．2垂線の交点をGとする．（図1） 残りの頂点CからGを通る線分が対辺ABに垂直なら，三角形の頂点からの垂線は1点（垂心）

A

B C

D E F

G

図1 で交わることがいえる．

各線分と各辺の交点をD，E，Fとする．求めたいのは，「∠AFC＝∠R」である．

【証明】

図2の△ABCにおいて，頂点A，Bから辺BC，ABに垂線を引き，交点をD，Eとする．

また，垂線ADと垂線BEの交点をGとする． A

△BCE ∽△BGD

∵ ∠BDG=∠BEC=∠R，∠CBE=∠GBD=∠▲（共通），∠BCE=∠BGD=∠○

△ACD ∽△AGE

∵ ∠ADC=∠AEG=∠R，∠CAD=∠GAE=∠▲（共通），∠ACD=∠AGE=∠○

∴ ∠CAD=∠CBE=∠▲

図3のように，△ABCの外接円を描き，頂点A，Bから辺BC，ACの垂線の延長 と円との交点をH，Iとする．

円弧HCのなす円周角より，∠CBH=∠CAH=∠▲

円弧ICのなす円周角より，∠CBI=∠CAI=∠▲

∴ ∠HBD=∠GBD，∠BDG=∠BDH=∠R

よって，△BHGは二等辺三角形．∴ ∠BHD=∠BGD=∠○

また，△AIGも二等辺三角形．∴ ∠AGE=∠AIG=∠○

円弧BHのなす円周角より，∠BCH=∠BAH =∠×

図3で，Cから2垂線の交点Gを通る線分を引く（図4）． 辺ABとの交点をF，円との交点をJとする．

JからA，B，C，H，I各点を結ぶ線分を引く．

円弧BHのなす円周角より，∠BJH=∠BAH =∠BCH =∠×

△CGHは二等辺三角形だから，∠HCD=∠GCD=∠×

円弧BJのなす円周角より，∠BCJ=∠BAJ=∠BHJ =∠BIJ =∠×

円弧AIのなす円周角より，∠ABI =∠AJI =∠◇

円弧ACのなす円周角より，∠ABC =∠AJC =∠AHC =∠◇+∠▲

△CGHは二等辺三角形だから，∠CHG=∠CGH=∠◇+∠▲

∠CGHと∠AGJは対角だから，∠CGH=∠AGJ=∠◇+∠▲

ゆえに，△AJGは２角が等しいので二等辺三角形．

また，∠AJG=∠AGJ=∠×，AFは共通なので

△AJF=△AGF（２角夾辺が等しい）

ゆえに，AFはJGの垂直二等分線である．

よって，∠AFC=∠R

すなわち，△ABCの各頂点から対辺に向かって引いた垂線は １点Gを通る．

B C

D G E

図2

▲ ○

▲

○

○

図3

A

B D C

E

H G I

▲

▲

▲

▲ ○

○

○

○

○

×

×

H 図4

I A

B C

D G E

▲▲

▲

▲ ○

○

○

○

○ F

J

×

×

×

×

◇

◇

◇

◇▲

▲

◇▲

▲

▲

×

×

×

三角形の五心 チェバの定理 4/8

チェバ（Ceva）の定理

三角形△ABCの各頂点から三角形の1点Gを通る線分を引く．各線分と各辺の交点をD，E，Fとすると， A

B D C

E F

G 1

EA CE DC BD FB

AF⋅ ⋅ =

が成立する．これをチェバの定理という．

【証明】

△ABC と3本の線分で作られる小さな三角形の各内角を図のように①～⑱とする．

各三角形に正弦定理を適用する．

A

B C

D

E F

②①

③

④ ⑤⑥

⑦ ⑧

⑨

⑪ ⑩

⑫ ⑬

⑭⑮⑯⑰

⑱

△AFG ：

⑪

②

⑬ sin

AG sin

FG sin

AF = = (1)

△BFG ：

⑫

③

⑭ sin

BG sin

FG sin

BF = = (2)

△BDG ：

⑦

④

⑮ sin

BG sin

DG sin

BD = = (3)

△CDG ：

⑧

⑤

⑯ sin

CG sin

DG sin

CD = = (4)

△CEG ：

⑨

⑥

⑰ sin

CG sin

EG sin

CE = = (5)

△AEG ：

⑩

①

⑱ sin

AG sin

EG sin

AE = = (6)

対角の関係から ⑬ = ⑯，⑭ = ⑰ ，⑮ = ⑱

∴ sin⑬=sin⑯， sin⑭=sin⑰， sin⑮=sin⑱ D，E，Fが直線上の1点であることから，

π

= +⑧

⑦ より ^sin⑧=sin

(

^{π −⑦}

)

^=sin⑦

π

= +⑩

⑨ より ^sin⑩=sin

(

^{π −⑨}

)

^=sin⑨

=π +⑫

⑪ より sin^⑫=sin

(

π −^⑪

)

=sin^⑪

) 6 (

) 5 ( ) 4 (

) 3 ( ) 2 (

) 1

( ⋅ ⋅ をつくる．

⑩

⑨

⑧

⑦

⑫

⑪

①

⑥

⑤

④

③

②

⑱

⑰

⑯

⑮

⑭

⑬

sin AG sin

CG

sin CG sin

BG

sin BG sin

AG

sin EG sin

EG

sin DG sin

DG

sin FG sin

FG

sin AE sin

CE

sin CD sin

BD

sin BF sin

AF

⋅

⋅

=

⋅

⋅

=

⋅

⋅

∴ 1

sin sin sin sin sin sin AE

CE CD BD BF

AF ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⑥

①

④

⑤

②

③

三角形の五心 正弦・余弦.・正接定理 5/8

正弦定理

△ABCにおいて，

=α

∠CAB ，∠ABC =β ，∠BCA=γ，BC=a，CA=b，AB=c A

B C

α

β γ

a c b 外接円の半径をRとすると

c R b

a 2

sin sin

sin = = =

γ β α

を正弦定理という．

【証明】

△ABCの外接円を描く．外接円の半径をRとする．

Bと円中心を通る線分を引き円との 交点をDとする．CとDを結んで 出来た三角形△DBCは直角三角形 である．

∴ BD

BDC BC sin∠ = ところで

∠BAC=α，BD=2R，BC=a

Cと円中心を通る線分を引き円との Aと円中心を通る線分を引き円との 交点をEとする．AとEを結んで 交点をFとする．BとFを結んで 出来た三角形△ECAは直角三角形 出来た三角形△FABは直角三角形

である． である．

また，弦BCの円周角の関係から

∠BDC=∠BAC

∴ R

a sinα = 2

∴ a R sin =2

α

∴ CE

CEA CA sin∠ = ところで

∠CBA=β，CE=2R，CA=b また，弦CAの円周角の関係から ∠CEA=∠CBA

∴ R

b sinβ = 2

∴ b R sin =2

β

∴ AF

AFB AB sin∠ = ところで

∠ACB=γ，AF=2R，AB=c また，弦ABの円周角の関係から ∠AFB=∠ACB

∴ R

c sinγ = 2

∴ c R sin =2

γ

2Rが共通なので，これらをまとめると c R

b

a 2

sin sin

sin = = =

γ β α

A

B C

c

F

γ γ

A

B β C

A

B C

α

a

D

α b

E β

三角形の五心 正弦・余弦.・正接定理 6/8

余弦定理

△ABCにおいて，

A

B C

α

β γ

a c b

=α

∠CAB ，∠ABC =β ，∠BCA=γ，BC=a，CA=b，AB=c

第1余弦定理： a =ccosβ +bcosγ 第2余弦定理： a² =b²+c²−2bccosα という．

【証明】第1余弦定理 A

B C

α

β γ

a c b

D 頂点Aから辺BCに垂線を引き，交点をDとする．

CD BD

BC= + ，BD=ccosβ，CD=bcosγ

∴ a =ccosβ +bcosγ

【証明】第2余弦定理

頂点Bから辺ACに垂線を引き，交点をEとする．

直角三角形BCEのピタゴラスの定理は

A

B C

α

β γ

a c b

E ccosα

b-ccosα csinα

2 2

2 CE BE

BC = +

=a BC

α cos AE

AC

CE= − =b−c α

sin BE=c

( ) ( )

( )

α α

α α

α

α α

α α α

cos 2

1 cos

2

sin cos

cos 2

sin cos

cos 2

sin cos

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

bc c b

c bc

b

c bc

b

c c

bc b

c c

b a

− +

=

× +

−

=

+ +

−

=

+ +

−

=

+

−

=

∴

三角形の五心 正弦・余弦.・正接定理 7/8

正接定理

△ABCにおいて，

=a

BC CA=b AB=c α

=

∠CAB ，∠ABC =β ，∠BCA=γ， ， ，

A

B C

α

β γ

a c b 外接円の半径をRとする．

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− = +

tan 2 tan 2

β α

β α b

a b

a

を正接定理という．

【証明】

三角関数：積の公式

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

+ cos 2

sin 2 2 sin

sinα β α β α β (1)

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

− sin 2

cos 2 2 sin

sinα β α β α β (2) (1)/ (2)：

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− = +

tan 2 tan 2

sin 2 cos 2

2

cos 2 sin 2

2 sin sin

sin sin

β α

β α

β α β α

β α β

α β

α β α

(3)

c R b

a 2

sin sin

sinα = β = γ = 正弦定理：

R a sinα = 2

R b sinβ = 2 ∴ ，

b a

b a R b R

a R

b R a

−

= +

−

= +

− +

2 2

2 2 sin sin

sin sin

β α

β

α (4)

∴

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− = +

tan 2 tan 2

β α

β α b

a b

a ( 5 )

∴

三角形の五心 円周角と中心角 8/8

円周角と中心角

円弧上のある弦ABと円弧上の１点が作る三角形を考える．

【証明】

△ABCの中に円の中心がある場合

頂点Cより円の中心Oを通る直線CDを引く．

△OACは二等辺三角形

∴ ∠ACO=∠CAO

∴ ∠AOD=∠ACO+∠CAO =2∠ACO

△OBCは二等辺三角形

∴ ∠BCO=∠CBO

∴ ∠BOD=∠BCO+∠CBO =2∠BCO また

∠ACB=∠ACO+∠BCO よって

∠AOB=∠AOD+∠BOD =2∠ACO+2∠BCO =2∠ACB

△ABEの外に円の中心がある場合

A D B

O C

頂点Eより円の中心Oを通る直線EFを引く．

△OAEは二等辺三角形

∴ ∠AEO=∠EAO

∴ ∠AOF=∠AEO+∠EAO =2∠AEO

△OBEは二等辺三角形

∴ ∠BEO=∠EBO

∴ ∠BOF=∠BEO+∠EBO =2∠BEO また

∠AEB=∠AEO－∠BEO よって

∠AOB=∠AOF－∠BOF =2∠AEO－2∠BEO =2∠AEB

すなわち，弦ABのなす中心角は円周角の2倍である．

△ABOは共通なので，

∠ACB=∠AEB

円弧上のある弦と円弧上の１点が作る三角形の頂点の角（円周角）は 頂点が円周上のどこにあっても同じ角度である．

A B

O E

F

A B

E

O C