且 訂
偏微分係数と極大・極小の必要条件・十分条ｲ牛
NobuyukiTOSE
emath,April l6, 2019
]/'H I 偶微分係数と極大･極小⑮必要条件･十分条件
卜￨ 』1 11h丁きく
開円盤
開円盤(OpenDisc)
「
r>0￨Po(a,6)ER2に対して
Br(Po) :={PER2; d(P,Po)<r}
を中心Po,半径r>0の開円盤と呼びます． こ こでd(PO,P)は2点Po,Pの距離です. P(x,y)
のとき
●Ｉｄ︑Ｌ
I，c,P）
一
／
V(x̲a)2+(y̲b)2 d(Po,P)=
注意今後「Poの近くで〜」という言い方をしますが， これはある正数 r>0に対して
任意のPEBr(Po)において〜
雁微分係数と極大･極哩l必要条件･十分条件 2／18
I,l PIIWNMT 号
開集合(Opensubsets)
げ す へ､､筵へ＆（ （
一 一
コー
芯､ ,恵聴!し
聴
Definition
R2の部分集合Uがあるとします. "が開集合 であるとは任意のPoEUに対してr>0が存 在して
Br(Po) :={PER2; d(P,Po)<r}CU
が成立することです．
両 応昌一
､ U-
↑〕
PUZ7
注意Uの任意の点POの周りがUに含まれてい るということです．
￨健堂分係散と極大･極小⑳必要条件･十分条件 。/1日
r l hl 帥』 L・ 5
開集合の例
以下のR2の部分集合は開集合です．
・R2 e上半平面
U, :､(x,y)ER2;y>0}
●第1象限(1stQuadrant)
R#+:={(x;y)ER2;×,y>0}
ご T之守9P、 …峠≦『ゞ…!
旧徴分係数と極大・極小の必要条件・十分条件 q／18
￨JQL凹 u」 1 堂E
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、 苔
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開集合一反例
以下のR2の部分集合は開集合ではありません．
PoER2のなす集合{Po}
●閉上半平面
Fi :={(xly)ER2;y≧0}
●閉第1象限
R4+:={(x,y)R2; x,yど0}
●閉円盤
Fx可:､pER2;d(P,Po)≦r}
旧微分係数と極大 極小の必要 条件・十分条 件 E／13
N1 トulm T1 5
一
a C_. 6
1変数の極大点（極小点）
微分可能な1変数関数の極小点（極大点）に関する次の定理を紹介します．
Theorem
微分可能な関数f: la,6[→Rがあるとします．
大）ならば
f'(c)=0
fがcE]a,b[で極小（極
一
注意これは中身を理解して欲しい定理です．→IC？!二繭{ ) .
注意定理の状況でfがcE]a,b[で極小とは， ある正数6>0に対して
≧f(c) (c‑6<t<c+6)
f(t)
が成立することです．
−
−L
c‑Sも=&/,' 8､、
■
偶微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 C̲‑r
I l U,『ⅡHT
杣〔{、㈲・唖く､‑余' 、
毛:＝=CZ、
極大点・極小点
R2の開集合U上の関数
f: (ノ→R
に対して, fがPo(a,b)で極小(resp極大）であると
在して
f(×,y)≧f(a,b) ((×,y)EB6(Po)) (resP
f(x,y)≦f(a,b) ((×,y)EB6(Po))
が成立するときです．
であるとはある6＞0が存
U‑
旧微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 ｱﾉﾕ日
' 11, ,上: i ,,． ,pk祀毎
」
極大点・極小点であることの必要条件
R2の開集合〃上の関数
f; U→R
がUの各点PE"でx,yについて偏微分できると仮定します．
Theorem
fがPo(a,6)E〃で極小（極大）ならば
"(a,b)=@(a,b)=0 (1)
」
が成ウします．
この状況で(1)を満たす点Po(a,6)をfの停留点と呼びます．
￨■撤分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 B/'8
1‑1"I｣き｢Ⅶplq， 。'・咽弔
証明の概略
fがPoで極小とします． このときある正数6>0が存在して
f(P)≧f(Po) (PEB6(Po))
ここで
F(x)=f(x,b) は少なくともa‑IF<x<a+(iで定義されて，
F(x)≧F(a) (a‑6<x<a+6)
従ってX=aで極小となります． このとき
F'(a)=0従って堤(a,b)=0
となります．
旧微分係数と擢大･極小の必要条件･十分条件 9／lB IljEltwvⅡhTT弓
1変数の定理の証明
fがt;=Cで極小とする．すなわち，ある正数6>0に対して
f(t)≧f(c) (c‑6<f<c+6)
@c<+<c+"のとき ＯＯ○
なのでt→c+0と右極限
f'(c)Z0
、 ̲ < < のとき
○０︒
etなのでt→c−0と左極限を
f'(c)≦0
であることが分かります． よってf′
崎…
Ⅱ '鋤､ 祇冒 ■ 分係数と栖大･極 ユロ／18
Zi-(-t)=-t3
zfi (‑t)=耽1
号(=さ〔｡〕=｡
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一
十患円 さ』 c1§jK
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Vイ皐令E(c｣)
C−r
￨ Pそ133
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り 2̲6(i
｣垂コエユe‑‑
4 C ‑E
右極限・左極限・両側極限
α<Q<e
．q,QLU．Q/6E‑
ここで以下を用いています．
片Ｆ
ます．
F(t)→A (t→c)
ならば
F(t)→A (t→c+0)
かつ
F(t)→A (t→c‑0)
一
実はこの定理の逆も成立しますが，証明は少し難しいです
欄櫨分係数と極大・極小の必要条件 十分条件 皿／1日
N:: ￨｣,『., l lHl 1 1j5E
例‑停留点であることは極大極小の十分条件ではない
f(x,y)=x2‑y2
を考えましょう．
li<(x,y)=2x=0, 5,(x,y)=‑2y=0 からfの停留点は(×,y)=(0,0)です．
f(×,0)=x2, f(0,y)=̲y2
から(0,0)でfは極大でも極小でもないことが分かります．
ｴZ／lE 腸微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件
1 1 1 1多l｣k T'温
極大・極小の十分条件
定理
R2の開集合(ﾉ上のC2級関数f: "→Rに対してPO(a,6)E〃が停留点
であるとします．
f(PO)=4(PO)=0
(1) ￨捌洲>…｡)>，(確諏 )<0）
であるならばPoでfは極小(resp極大）となります．
(2) ￨洲洲く…ば'はrはP・で'は極小でも極大…
りません．
今後当分の間この定理の証明をしながらいろんなことを学びます．
￨弼微分係数と極大・極小の必要条件 十分条件 13／18
卜I' , l 1u lIhl TCqE
毛(灘)＝蛾'）
対称行列の固有多項式
(: :）
の固有多項式は対称行列A=
．卿い)‑*'‑￨Azf｡ 』二f,￨
＝(入‑a)(入‑b)一C2
＝入2‑(a+b)入+ab‑c2
となります． この2次式の判別式は
D=(a+b)2̲4(ab̲c2)=(a̲b)2+4c2Z0
から2次の実対称行列の固有値は実数であることが分かります．
ヘ ー
14/LB
￨■徴分係数と極大･極小⑱必要条件･十分条件
,lfl l 1 ,弓,叩守 T岡‑.1
対称行列の固有多項式(2)D=0の場合は？
D=0くこ今a‑b=0, c=0
から
(; :）
Aの固有多項式が重根を持つ今A= ==aﾉ2
注意上でp,9ERに対して
p,qど0, p+q=0→p=q=0 を用いている．
１１
胴微分係数と極大･極小の必婆条件･十分条件 ﾕ5／ユロ
1.1, ', ￨ 』 ｢Ilk T'1 円
ー
ﾐf.T｡ 'V,e
一 一
| i
準備1‑2次形式の正値性
2次の対称行列A=(::)を考えます． このときAの固有多項式
のA(入) :=det(入h‑A)=入2‑(a+b)A+ab‑c2
は2実根α,6ERを持ちます． またAが定める2次形式
(A(;),(7))=ax2+2><y+by2
について以下の定理が成立します．
定理
以下は同値です. (1) (A(;),(7))>0 (2)a>0,det(A)>0
(3)α,β＞0
(( )≠5）
■■■
￨健微分係数と極大･極小の必要条件･十分条件 妬／ユ8
￨ ,J, ． 』E』kT S
’
準備1‑2次形式の正値性 ’
(2)→(1)
０
シ
２Ｖソ２９｜罪２ｙ
Ｃ
−一ａ
２
即弛
十十 ２２ １１
ＶゾＶゾＣｌａＣ−ａ十＋ ××
／１１︑／１１︑ａａ
２勿
十２＋
２Ｘａ
が成立します．最後の不等式の等号成立の条件は
｡(xgy)'=L;f
y2=0<=>x+JZy=y=0y2＝0<=＞x十一y＝y＝0日 a
くこ>x=y=0 から
→
( )≠0→(A(y),(;))>0
旧微分係数と極大・極小の必 要柔件・十分条件 17ノ1日
｢･1,‑, ￨ hl IK晶・
準備1‑2次形式の正値性
(1)→(2)
ax2+2cxy+by' ((7)≠6)
においてx=1,y=0とするとa>0が従います． さらに
(x+:y)'半竺デ2y' ((;)≠6) (*)
ax2+2cxy+by2=a
においてx=‑:,y:=1とすると
ab‑c2
＞0
a
からdet(A)=ab‑c2>0であることが分かります．
間毎分係数と極大･梱小の必要条件 十分条件 班／xB
' 1 1 1品1齢 I
J<x,小ﾆﾆ DcL‑Dc3
｡ (苓智さ球似顎
ー
上
十､
虻‑f4X十6:
〆Ｒヤ
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十ヤく 工フ ｑＣ ｌ
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〔｡〔 31も､ f>{、
Ⅱ
瓦栽渥可鋤少〔 ；萱 2r=5
