n を2以上20以下の整数，kを1以上n¡1以下の整数とする．
n+2Ck+1= 2 (nCk¡1+nCk+1)
が成り立つような整数の組(n, k)を求めよ．
2023年後期 B
m+B n =B
2023を満たす自然数の組(m; n)の個数を求めよ．
2022年前期
2a3b+ 2c3d = 2022を満たす0以上の整数a，b，c，dの組を求めよ．
2022年後期
logy(6x+y) =xを満たす正の整数x，yの組を求めよ．
1000以下の素数は250個以下であることを示せ．
2021年後期
a+b 2 < B
ab+ k
Bab かつa > b > 0を満たす整数a，b が存在するような実数kの範囲を求 めよ．
2020年前期
以下の問いに答えよ．
(1) 1010を2020で割った余りを求めよ．
(2) 100桁の正の整数で各位の数の和が2となるもののうち，2020で割り切れるものの個数を求 めよ．
2020年後期
a，bを正の整数とする．
(1) aがbの倍数ならば，2a¡1は2b¡1の倍数であることを示せ．
(2) 2a¡1が素数ならば，aは素数であることを示せ．
(3) 2a¡1 = (2a+ 1)(8a+ 1)を満たすaを求めよ．
2020年後期
n
1000 ≦1:001100< n+ 1
1000 を満たす整数nを求めよ．
pを自然数とする．数列fangを
a1= 1， a2=p2， an+2 =an+1¡an+ 13 (n= 1; 2; 3; ÝÝ) により定める．数列fangに平方数でない項が存在することを示せ．
2019年後期
以下の問いに答えよ．
(1) a，bを整数とする．2次方程式x2+ax+b= 0が有理数の解をもつならば，その解は整数で，
bの約数であることを示せ．
(2) nを正の整数とする．B n+B
n+ 1は無理数であることを示せ．
2019年後期
座標平面において，原点を中心とする半径5の円の周上または内部にある格子点(x座標もy座標も 整数である点)の集合をSとする．集合Sの部分集合A，Bを
A=f(a; b)2 Sjすべての整数nに対してan2+ (a2+b)nが偶数となるg B=f(a; b)2Sjある整数nが存在してan2+ (a2+b)n が奇数となるg と定める．
(1) 集合Aの要素の個数を求めよ．
(2) 集合Bの要素の個数を求めよ．
正の整数nの各位の数の和をS(n)で表す．たとえば，
S(3) = 3， S(10) = 1 + 0 = 1， S(516) = 5 + 1 + 6 = 12 である．
(1) n≧10000のとき，不等式n >30S(n) + 2018を示せ．
(2) n= 30S(n) + 2018を満たすnを求めよ．
2018年後期
a4=b2+ 2cを満たす正の整数の組(a; b; c)でaが奇数であるものを求めよ．
2017年前期
連立方程式 [
x2 =yz+ 7 y2=zx+ 7 z2=xy+ 7
を満たす整数の組(x; y; z)で，x≦y≦zとなるものを求めよ．
2017年後期
m，n を1以上10以下の整数とする．3点O(0; 0)，A(3; 4)，B(m; n)は同一直線上にないと する．
(1) 4OABの面積を最小にするB(m; n)を求めよ．
(2) ÎAOBを最小にするB(m; n)を求めよ．
6¢33x+ 1 = 7¢52xを満たす0以上の整数xをすべて求めよ．
2016年後期
mを整数とする．3次方程式x3+mx2+ (m+ 8)x+ 1 = 0は有理数の解®を持つ．
(1) ®は整数であることを示せ．
(2) mを求めよ．
2015年前期
n を2以上の整数とする．n 以下の正の整数のうち，n との最大公約数が1となるものの個数を E(n)で表す．たとえば
E(2) = 1， E(3) = 2， E(4) = 2， Ý， E(10) = 4， Ý である．
(1) E(1024)を求めよ．
(2) E(2015)を求めよ．
(3) mを正の整数とし，p，qを異なる素数とする．n =pmqm のとき E(n) n ≧ 1
3 が成り立つこ とを示せ．
2015年後期
x，y，zを整数とする．
(1) yË0かつyzË ¡1のとき， y+ 1
z の最小値を求めよ．
(2) 1
x+ 1 y+ 1
z
= 9
11 を満たすx，y，zの組をすべて求めよ．
2015年後期
p，qを実数とする．2次関数f(x) =x2¡px+108qのグラフy=f(x)が直線12x+4y+9 = 0 と接している．2次方程式f(x) = 0が異なる2つの整数解を持つならば，qは0以上の整数であるこ とを証明せよ．
a¡b¡8とb¡c¡8が素数となるような素数の組(a; b; c)をすべて求めよ．
2014年後期
(2£3£5£7£11£13)10の10進法での桁数を求めよ．
2013年前期
3p3¡p2q¡pq2+ 3q3= 2013を満たす正の整数p，qをすべて求めよ．
2013年後期
(1) 正の実数x，y，zがx2=y2+zを満たすとき，y < x < y+ z
2y が成り立つことを示せ．
(2) x2=y2+ 8C
2y¡1を満たす正の整数x，yの組をすべて求めよ．
1つの角が120±の三角形がある．この三角形の3辺の長さx，y，zはx < y < zを満たす整数で ある．
(1) x+y¡z= 2を満たす整数x，y，zの組をすべて求めよ．
(2) x+y¡z= 3を満たす整数x，y，zの組をすべて求めよ．
(3) a，bを0以上の整数とする．x+y¡z= 2a3bを満たす整数x，y，zの組の個数をaとbの 式で表せ．
2012年後期
0≦µ <2¼とする．
log2(4 sin2µ+ 3 cosµ¡4)， log2(¡4 cos3µ+ 3 cosµ+ 1)， がともに整数となるようなµの値をすべて求めよ．
2011年前期
(1) 自然数x，yは，1< x < yおよび#1 + 1
x; $1 + 1
y<= 5
3 をみたす．x，yの組をすべて求 めよ．
(2) 自然数x，y，zは，1< x < y < zおよび#1 + 1
x; $1 + 1
y< #1 + 1
z;= 12
5 をみたす．x， y，zの組をすべて求めよ．
実数p，q，rに対して，3次多項式f(x)をf(x) =x3+px2+qx+rと定める．実数a，cお よび0でない実数bに対して，a+biとcはいずれも方程式f(x) = 0の解であるとする．ただし，i は虚数単位を表す．
(1) y=f(x)のグラフにおいて，点(a; f(a))における接線の傾きをs(a)とし，点(c; f(c)) における接線の傾きをs(c)とする．aËcのとき，s(a)とs(c)の大小を比較せよ．
(2) さらに，a，cは整数であり，bは0でない整数であるとする．次を証明せよ．
(i) p，q，rはすべて整数である．
(ii) pが2の倍数であり，qが4の倍数であるならば，a，b，cはすべて2の倍数である．
2010年前期
0以上の整数a1，a2があたえられたとき，数列fangを an+2=an+1+ 6an
により定める．
(1) a1= 1，a2= 2のとき，a2010を10で割った余りを求めよ．
(2) a2= 3a1のとき，an+4¡anは10の倍数であることを示せ．
2010年後期
aを正の奇数とする．次の(i)(ii)をみたす整数b，cの組がちょうど3つ存在するような最小のa を求めよ．
(i) a，b，cは直角三角形の3辺の長さである．
(ii) a < b < c
2以上の整数m，nはm3+ 13 =n3+ 103をみたす．m，nを求めよ．
2009年後期
®= 3 C
7 + 5B
2，¯= 3 C
7¡5B
2とおく．すべての自然数nに対して，®n+¯nは自然数である ことを示せ．
2008年前期
kを正の整数とする．5n2¡2kn+ 1<0をみたす整数n が，ちょうど1個であるようなkをすべ て求めよ．
2008年後期
実数xに対して，n ≦x < n+ 1を満たす整数nを[x]と表す．
(1) 1
2([x]¡[y])が整数となる点(x; y)の全体からなる領域を，xy平面に図示せよ．
(2) 1 2 #x
2 —+y
3—;が整数となる点(x; y)の全体からなる領域を，xy平面に図示せよ．
mを整数とし，f(x) =x3+ 8x2+mx+ 60とする．
(1) 整数aと，0でない整数bで，f(a+bi) = 0をみたすものが存在するようなmをすべて求め よ．ただし，iは虚数単位である．
(2) (1)で求めたすべてのmに対して，方程式f(x) = 0を解け．
2007年後期
直角をはさむ二辺の長さがa; bの直角三角形がある．内接円の半径をrとする．
(1) rをa; bで表せ．
(2) a; bは整数とし，r= 5とする．このようなa; bの組をすべて求めよ．
2006年前期
次の条件(a),(b)をともにみたす直角三角形を考える．ただし，斜辺の長さをp, その他の2辺 の長さをq; rとする．
(a) p; q; rは自然数で，そのうち少なくとも2つは素数である．
(b)p+q+r= 132
(1) q; rのどちらかは偶数であることを示せ．
(2) p; q; rの組をすべて求めよ．
2006年後期
正の整数nに対して，n=k+ 2lをみたすような0以上の整数の組(k; l)の個数をanとする．ま た，n =p+ 2q+ 3rをみたすような0以上の整数の組(p; q; r)の個数をbnとする．
(1) anをnで表せ．
(2) nが6の倍数のとき，bnをnで表せ．
kは整数であり，3次方程式x3¡13x+k= 0は3つの異なる整数解をもつ．kとこれらの整数解 をすべて求めよ．
2005年後期
(1) p; 2p+ 1; 4p+ 1がいずれも素数であるようなpをすべて求めよ．
(2) q; 2q+ 1; 4q¡1; 6q¡1; 8q+ 1がいずれも素数であるようなqをすべて求めよ．
2004年前期
a; b; cは整数で，a < b < cをみたす．放物線y=x2上に3点A(a; a2),B(b; b2),C(c; c2) をとる．
(1) ÎBAC= 60±とはならないことを示せ．ただし，B
3が無理数であることを証明なしに用いて よい．
(2) a=¡3のとき，ÎBAC= 45±となる組(b; c)をすべて求めよ．
2004年後期
(1) すべての正の奇数kは, m > n ≧0をみたす整数m; nによってk=m2¡n2と表されるこ とを示せ．
(2) すべての正の偶数kで, m > n ≧0をみたす整数m; nによってk=m2¡n2と表されるも のをすべて求めよ．
(1) 正の整数nでn3+ 1が3で割り切れるものをすべて求めよ．
(2) 正の整数nでnn+ 1が3で割り切れるものをすべて求めよ．
2003年後期
n を正の整数とする．
(1) x2+y < n2をみたす正の整数x; yの組(x; y)の個数anを求めよ．
(2) C
x2+yを越えない最大の整数がn であるような正の整数x; yの組(x; y)の個数bn を求 めよ．
2002年前期
k; x; yは正の整数とする．三角形の3辺の長さが k x ; k
y ; 1
xy ; で周の長さが 25 16 であ る．k; x; yを求めよ．
2001年後期
mを正の整数とする．m3+ 3m2+ 2m+ 6はある正の整数の3乗である．mを求めよ．
2000年前期
a; b; c; dを正の整数とする．複素数w=a+bi，z=c+diが w2z= 1 + 18i
をみたす．a; b; c; dを求めよ．
p; qは素数で，p < qとする．
(1) 1 p + 1
q = 1
r を満たす整数rは存在しないことを示せ．
(2) 1 p ¡ 1
q = 1
r を満たす整数rが存在するのは，p= 2; q= 3のときに限ることを示せ．
1998年前期
正の整数nを8で割った余りをr(n)とおく．正の整数の組(a; b)は，条件 0< a¡r(a)< 4
3r(b);
0< b¡r(b)< 4 3r(ab)
を満たすとする．
(1) a¡r(a)とr(b)を求めよ．
(2) aとbを求めよ．
1998年後期
(1) log53は無理数であることを示せ．
(2) log10rが有理数となる有理数rはr= 10q(q= 0; §1; §2 ÝÝ)に限ることを示せ．
(3) 任意の正の整数nに対して，
log10(1 + 3 + 32+Ý+ 3n) は無理数であることを示せ．
1997年前期
すべての正の整数n に対して5n+an+bが16の倍数となるような16以下の正の整数a; bを求 めよ．
(1) 2つの自然数の組(a; b)は，条件 a < b かつ 1
a + 1
b < 1 4
を満たす．このような組(a; b)のうち，bの最も小さいものをすべて求めよ．
(2) 3つの自然数の組(a; b; c)は，条件 a < b < c かつ 1
a + 1 b + 1
c < 1 3
を満たす．このような組(a; b; c)のうち，cの最も小さいものをすべて求めよ．
1995年前期
正の整数の組(m; n)で条件 0<
¯¯
¯ n
m ¡0:4
¯¯
¯≦ 1
100
を満たすもののうち，mが最も小さい(m; n)求めよ．
1995年後期
座標平面のx軸上に点A(15; 0)があり，y軸上のy >0の部分に点Bがある．原点Oと直線AB との距離，およびOBの長さは，ともに整数である．点Bの座標を求めよ．
(1) 実数x; yが等式
x2¡2xy+y2¡x¡y= 0 Ý1
をみたし，x¡yが整数ならば，xもyは整数であることを示せ．
(2) 等式1をみたす格子点(x; y)のうちで，点(100; 100)に最も近いものを求めよ．ただし格 子点とは，x座標，y座標がともに整数であるような座標平面上の点のことである．
1994年後期
正の整数a; b; c; dが等式a2+b2+c2=d2を満たすとする．
(1) dが3の倍数でないならば，a; b; cの中に3の倍数がちょうど2つあることを示せ．
(2) dが2の倍数でも3の倍数でもないならば，a; b; cのうち少なくとも1つは6の倍数である ことを示せ．
1993年後期
m; nを正の整数とする．xについての2次方程式12x2¡mx+n= 0の2つの実数解を小数第2 位で四捨五入して0:3および0:7を得た．m; nを求めよ．
1992年前期
n を正の整数とする．
(1) n2と2n+ 1は互いに素であることを示せ．
(2) n2+ 2が2n+ 1の倍数になるnを求めよ．
xは0でない実数とする．
(1) x+ 1
x が整数ならばすべての正の整数nに対してxn+ 1
xn も整数であることを示せ．
(2) x¡ 1
x が0以外の整数ならばx2¡ 1
x2 は整数でないことを示せ．
1990年前期
直角三角形の3辺の長さがすべて整数のとき，面積は2の整数倍であることを示せ．
1985年
(1) 1からnまでの自然数の総和が偶数になるのはnがどのような数の場合か．
(2) 1からnまでの自然数の総和が偶数であるとき，1からnまでの自然数を2つの組に分けてぞれ ぞれの組に属する数の総和が等しくなるようにできることを証明せよ．
3角形ABCにおいて，tan A，tan B，tan Cの値がすべて整数であるとき，それらの値を求めよ．
1984年
正の整数nに対して，(1 +B
2)n =xn+yn
B2が成り立つように整数xn，ynを定める．
(1) xn+1，yn+1をxn，ynで表せ．
(2) nが偶数ならxn2¡2yn2 = 1，nが奇数ならxn2¡2yn2 =¡1であることを証明せよ．
(3) 任意のnに対して，xn+1
yn+1 は xn
yn よりも
B2のよい近似値であることを証明せよ．
1982年
平面上の凸多角形で，各頂点のx座標，y座標がすべて整数であるようなものについて，次のことを 証明せよ．
(1) 面積の2倍は整数である．
(2) 内角の正接は，直角の場合を除いて，有理数である．
1981年
連続している2個以上の正の整数がある．これらの整数の和をSとして，次の問に答えよ．
(1) S= 64にはなりえないことを示せ．
(2) S= 200となるとき，これらの整数のうちの最小数，最大数はそれぞれいくらか．
