Painleve II´ 方程式の解のHankel 付随する母函数

Painlev ´e II 方程式の解の Hankel 行列式表示に 付随する母函数

Nalini Joshi (Univ. Sydney) 梶原 健司 ( 九大・数理 )

Marta Mazzocco (Univ. Cambridge)

日本数学会 2004 年度年会

2004 年 3 月 29 日 於 筑波大学

Yablonski-Vorob’ev 多項式の行列式表示

P_II : d²u

dx² = 2u³ −4xu+ 4 µ

α+ 1 2

¶

Yablonski-Vorob’ev 多項式 Tn:

¶ ³

T_n⁰⁰Tn −(T_n⁰)² = Tn+1Tn−1 −x T_n², T0 = 1, T1 = x, T₂ = x³ −1,

T3 = x⁶ −5x³ −5,

T4 = x(x⁹ −15x⁶ −175),· · ·

 y

有理解 : u = d

dxlog T_n+1

T_n , α = n

µ ´

Jacobi-Trudi 型行列式表示 −→ YV 多項式はSchur 函数の特殊化

T_n ∝

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

pN pN+1 · · · p2N−1

p_N−2 p_N−1 · · · p_2N−3

... ... . .. ...

p_−N+2 · · · p₀ p₁

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ ,

X∞

k=0

p_nλⁿ = exp

·

xλ+ λ³ 3

¸

Hankel行列式表示 −→???

T_n =

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

a₀ a₁ · · · a_n−1 a₁ a₂ · · · a_n

... ... ... ...

a_n−1 a_n · · · a_2n−2

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

, a₀ = x, a_n = a⁰_n−1 + Xn−2

k=0

a_ka_n−2−k

Hankel 行列式表示の要素 a

_n

の母函数

(Iwasaki-K-Nakamura, J. Phys. A: Math. Gen. 35(2002) L207.)

∂

∂t log θ(x, t) ∼ X

∞

n=0

a

_n

(x) (−2t)

⁻ⁿ

.

θ(x, t) = exp ¡

2t

³

/3 ¢

Ai(t

²

− x), | arg t| < π 2 .

✑ 注意！

u = d

dx log Ai

³

2

^1/3

x

´

−→ P

_II

[0] の特殊解

この現象は一体何を意味するのか？

☞ 他のパンルヴェ方程式の有理解（代数解）では？

P

_IV

: Okamoto 多項式 → Airy (Biry) P

_III

: Umemura 多項式 → 合流型超幾何

☞ パンルヴェ II 方程式の他の解では？ → 今回の話

Generic な解に対する Hankel determinant formula (K and Masuda, J. Phys. A: Math. Gen.32(1999) 3763) (K-Masuda-Noumi-Ohta-Yamada, FE 44(2001) 291)

(1)

a_n = a⁰_n−1 + ψ X

i+j=n−2 i,j≥0

a_ia_j, b_n = b⁰_n−1 +ϕ X

i+j=n−2 i,j≥0

b_ib_j, a₀ = ϕ, b₀ = ψ,

τ

_n

=

 



 

det(a

_i+j−2

)

_i,j≤n

n > 0,

1, n = 0,

det(b

_i+j−2

)

_i,j≤|n|

n < 0, は Toda 方程式を満足する：

τ

_n⁰⁰

τ

_n

− (τ

_n⁰

)

²

= τ

_n+1

τ

_n−1

− ψϕ τ

_n²

, τ

₋₁

= ψ, τ

₀

= 1, τ

₁

= ϕ.

(2) 特に， ϕ, ψ を

 

 ψ

⁰⁰

ψ = ϕ

⁰⁰

ϕ = −2ψϕ + 2x, ϕ

⁰

ψ − ϕψ

⁰

= 2α,

を満たすものに選ぶと，

☞ u

₀

= (log ϕ)

⁰

は P

_II

[α] を満たす .

☞ u

₋₁

= −(log ψ)

⁰

は P

_II

[α − 1] を満たす .

☞ u

_N

=

³

log

^τN_τ⁺¹

N

´

₀

は P

_II

[α + N ] を満たす．

✑ 注意！ ψ = 1, ϕ = x とすれば YV 多項式の場合を得る．

問題 Hankel 行列式表示の要素

an = a⁰_n−1 +ψ X

i+j=n−2 i,j≥0

aiaj, bn = b⁰_n−1 +ϕ X

i+j=n−2 i,j≥0

bibj, a0 = ϕ, b0 = ψ,

 



  ψ

⁰⁰

ψ = ϕ

⁰⁰

ϕ = −2ψϕ + 2x, ϕ

⁰

ψ − ϕψ

⁰

= 2α,

に対して，母函数 F (x, t) =

X

∞

n=0

a

_n

t

⁻ⁿ

, G(x, t) = X

∞

n=0

b

_n

t

⁻ⁿ

,

を考察せよ．

解答

✑ その 1: F (x, t) は次の Riccati 方程式を満足する：

t∂F

∂x = −ψF² +t²F −t²ϕ, 2t∂F

∂t = −(ψ⁰ −tψ)F² + µψ⁰⁰

ψ t+ 2−t³

¶

F +t²(ϕ⁰ +tϕ).

✑ その 2: 函数 Y

₁

(x, t), Y

₂

(x, t) を consistent に導入できる：

F = t ψ

µ 1 Y₁

∂Y1

∂x + t 2

¶

= 2t ψ⁰ −tψ

· 1 Y₁

∂Y1

∂t + 1 4

µψ⁰⁰ ψ −t²

¶¸

Y₂ = c ψ

µ∂Y₁

∂x + tY₁ 2

¶

✑ その 3: Y

₁

, Y

₂

は P

_II

[α − 1] の補助線形問題を満足する：

∂

∂tY = AY, ∂

∂xY = BY, Y = Ã Y₁

Y₂

!

A =







t² 4 − z

2 − x

2 −ψ

2(t+u₋₁) 1

ψ n

(u₋₁ −t)z 2 +α

o

−t² 4 + z

2 + x 2





, B =





−t 2 ψ z ψ

t 2





同様に G(x, t) は P

_II

[α] の補助線形問題と結び付く

✑ 注意！

✓ 証明は次のステップで初等的にできる：

(1) a_n の漸化式から F(x, t) の満たす微分方程式を導く．

(2) a_n の「補助漸化式」

(ψan−ψ⁰an−1)⁰ = 2(n−1)ψan−2

を帰納法で示し，これから t に関する微分方程式を導く．

(3) Riccati 方程式を consistentに線形化する．

✓ _形式的に Y₁ を a_n に関して解き直すと，

Y₁ = const.×exp µ 1

12t³ − x 2t

¶

t^−α exp

"

t⁻¹ X∞

n=0

µZ

ψa_n dx

¶ t⁻ⁿ

#

✓ Y1, Y2 を用いて F はF(x, t) = tY2/Y1と表せる．

✓ _逆に，Y₁, Y₂ を P_II[α−1] の補助線形問題の解とするとき F(x, t) = tY₂

Y₁

Observation:

¶ ³

Riccati 方程式 2t ∂F

∂t = −(ψ

⁰

− tψ)F

²

+

µ ψ

⁰⁰

ψ t + 2 − t

³

¶

F + t

²

(ϕ

⁰

+ tϕ)

の t = ∞ 周りの級数解は F

⁽¹⁾

=

X

∞

n=0

c

_n

t

⁻ⁿ

, F

⁽²⁾

= t

²

X

∞

n=0

d

_n

t

⁻ⁿ

の２通りがある． −→ c

_n

= a

_n

だが， d

_n

は一体何？

µ ´

✑ 注意！ P

_II

[α − 1] の補助線形問題

∂

∂tY = AY, ∂

∂xY = BY, Y = Ã Y1

Y₂

!

A =







t² 4 − z

2 − x

2 −ψ

2(t+u₋₁) 1

ψ n

(u−1 −t)z 2 +α

o

−t² 4 + z

2 + x 2





, B =





−t 2 ψ z ψ

t 2





は t ∼ ∞ で次の基本解を持つ (Jimbo-Miwa, 1981) ：

Y⁽¹⁾ =

à Y₁⁽¹⁾ Y₂⁽¹⁾

!

= exp

·t³

12 − xt 2

¸ t^−α

"Ã 1 0

! +

à y⁽¹⁾₁₁ y⁽¹⁾₂₁

!

t⁻¹ +· · ·

# ,

Y⁽²⁾ =

à Y₁⁽²⁾ Y₂⁽²⁾

!

= exp

·

−t³

12 + xt 2

¸ t^α

"Ã 0 1

! +

à y₁₁⁽²⁾ y₂₁⁽²⁾

!

t⁻¹ +· · ·

# .

F = tY

₂

/Y

₁

によって， Y

⁽¹⁾

←→ F

⁽¹⁾

, Y

⁽²⁾

←→ F

⁽²⁾

.

問題 d_n の正体を見いだせ 解答 F⁽²⁾ = −t²

ψ² X∞

n=0

d_n (−t)⁻ⁿ を Riccati方程式

t∂F

∂x = −ψF² +t²F −t²ϕ, 2t∂F

∂t = −(ψ⁰−tψ)F² + µψ⁰⁰

ψ t+ 2−t³

¶

F +t²(ϕ⁰+ tϕ) の解とする．

✓ d0 = −ψ, d1 = ψ⁰. n ≥2 でdn は次の漸化式で特徴づけられる：

d_n = d⁰_n−1 + 1 ψ

Xn−2

k=2

d_kd_n−k, d₂ = ψ⁰⁰ψ−(ψ⁰)² + ϕψ³

ψ , ⁰ = ∂

∂x.

✓ κ_−n−1 = det(d_i+j)i,j=1,2,...,n (n > 0)はToda 方程式 κ⁰⁰_nκ_n −(κ⁰_n)² = κ_n+1κ_n−1 − ψ⁰⁰ψ −(ψ⁰)² +ϕψ³

ψ² κ²_n, κ₋₂ = ψ⁰⁰ψ −(ψ⁰)² +ϕψ³

ψ , κ₋₁ = 1, κ₀ = 1 ψ, を満足し，τ_n と次の関係がある：

κn = τ_n

ψ = τ_n

τ₋₁ (n ≥ 0).

✑ τ sequence の関係：σ_n⁰⁰σ_n−(σ_n⁰)² = σ_n+1σ_n−1

σ_n : · · ·, σ₋₃, σ₋₂, σ₋₁, σ₀, σ₁, σ₂, σ₂,· · · τ_n = σ_n

σ₀ : · · ·, τ₋₃, τ₋₂, τ₋₁, 1, τ₁, τ₂, τ₂,· · · κ_n = σ_n

σ₋₁ : · · ·, κ₋₃, κ₋₂, 1, κ₀, κ₁, κ₂, κ₂,· · · θ_n = σ_n

σ : · · ·, θ₋₃, θ₋₂, θ₋₁, θ₀, 1, θ₂, θ₃,· · ·

τ_n (n < 0) の方の母函数G(x, t) についても全く同様のことが成り立つ．

✓ G(x, t) は Riccati方程式 t∂G

∂x = −ϕG² +t²G−t²ψ, 2t∂G

∂t = −(ϕ⁰−tϕ)G² + µϕ⁰⁰

ϕ t+ 2−t³

¶

G+ t²(ψ⁰ +tψ) を満足する．

✓ Riccati 方程式は補助線形問題の t∼ ∞での基本解に対応する二つの 級数解

G⁽¹⁾ = X∞

n=0

e_nt⁻ⁿ, G⁽²⁾ = t² X∞

n=0

f_nt⁻ⁿ を許容し，G⁽¹⁾ は 上のG と同じ．

✓ G⁽²⁾(x, t) =−t² ϕ²

X∞

n=0

fn (−t)⁻ⁿ と お く と ，θn+1 = det(fi+j)i,j=1,2,...,n

(n ≥0) は τ_n と

θ_n = τ_n

ϕ = τ_n

τ₁ (n ≥0) の関係にある．

最後のトドメ：

F⁽ⁱ⁾(x, t), G⁽ⁱ⁾(x, t) (i = 1,2)の間には次の簡単な関係式が成り立つ：

F⁽²⁾(t) = t²

G⁽¹⁾(−t), G⁽²⁾(t) = t² F⁽¹⁾(−t).

まとめと今後の展望

✑ P_II のgenericな解に対するHankel determinant formula の行列式 要素の母函数を考察した．母函数はある Riccati方程式を満足する．

✑ τ_n (n > 0) の要素に対する母函数は P_II[α −1] の，n < 0 の要素に対 する母函数は P_II[α] の補助線形問題と関連する．

✑ 逆に補助線形問題の解から Riccati 方程式の解を作ることができる が，上の母函数と独立な解は τ 函数列の異なる normalization の下で のdeterminant formula の要素の母函数を与える．

✑ さらに，上の母函数たちの間に簡単な関係式が成立する．

結局，当初の疑問：

この現象は一体何を意味するのか？

は何も解決していない！が，

✑ 単に特殊多項式特有の現象ではなく，補助線形問題を巻き込んだ，よ り大きな構造に基づく現象であることを示唆している．

✑ 他のパンルヴェ方程式についてはどうか．

✑ KP 階層で同様の現象が見られるか．