Q 2) - 東京理科大学

Q ( √

2)

"! #%$'&

e-mail: mano@math.kyoto-u.ac.jp

1.

(*),+-)/.1032547698;:,<>=@?@ACB

K = Q( √

2)

^D;EGF

O

^H

K

IKJ7L9MNDPORQTS

O

IKUCVXW7LYH

ε 0 = 1+ √ 2

DZE\[

Γ(2) = (

γ ∈ SL(2, O ); γ ≡ 1 0 0 1

!

mod (2) )

]_^a`

D ε 0 = ε 0 0 0 ε − 0 1

!

b

^Cc

[CdZegfihjQ

SL(2, O )

^Ilk-m,ngH

Γ

^{DTO5Q o}

SL(2, O )/Γ ∼ = S 4

p3q

QsrtSjulIvD;wixzy,{C|X}l~ZjI@€7O;MYIsZ‚

b7ƒ-„

[;…jIs†,‡zˆa‰

Š

h-[

„

Q‹Svo

[2]

^H\Œ-Žr

Ž

1.

n

Γ

^b7‘ O5QR’\“Ž”C“/•–xzyŽ{Z|@}‹~,YIZ€9O7Mv—

C[x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , c]/(x 1 + x 2 + x 3 + x 4 , c 2 − C)

b,˜i™5p>q

QlSšuŽu

p

C = x 1 x 2 x 3 x 4 (x 1 x 2 + x 3 x 4 )(x 1 x 3 + x 2 x 4 )(x 1 x 4 + x 2 x 3 )

^{pzqœ› F}

x i

^—lœf

1

^p

c

^—lgf

5

^{p>q QlSšf}

Š b F

x i

^—ažZŸjx

y3{Z|C}i~Z

pzq

Q o

ƒ¡ ¢›

x i (z 1 , z 2 ) = x i (z 2 , z 1 )

^r£S

2.

(*),+-)/.10325476989¤R8v¥;¦R§a87)/¨K©Kª9«-¬R­7®Ž<

¯

bs°

hz±

x i (i = 1, . . . , 4)

^{b ž²E\[}

y 1 = 1

2 (x 4 − x 3 ), y 2 = 1

2 (x 2 − x 1 ), y 3 = 1

2 (x 4 + x 3 )

D ]

D

H × H

Š

P 2 ( C )

^{>I ¡ˆ}

Š

h5QiS

P 2 ( C )

^I

…gH

x = y 1 /y 3 , y = y 2 /y 3

^DšQ‹S

x i

ˆ7žCŸ5x>yŽ{Z|C}i~-

pRq

Q>uRD

Š

P 2 (C)

¯

I

D = (1 − x 2 )(1 − y 2 )(1 − x 2 y 2 )(2 − x 2 − y 2 )

p

2

^{ b m ²Es[ „} Q¡uzD\ˆ7mjQlS! ju

p

P 2 ( C )

^{D" ,I}

¯

I#

D

]_^a`

m$%,L

2

Š

€RQ#&z}('ZH3’\“3”@“ •–xzyŽ{,|C}*)z}+,-;}

“/.

M

^D10$27S

u;I34 H6587>OYQ69-m(:;-5ˆ<>=?4@

-

^ABCD

[3]

^b

^

›FEG

Š

hz±aS! ;hz—

P 2 (C)

¯

IH-~I9-m:;,8J D@ET[#Kœw6_fih9F ’\“

”Z“ •–xzy-{-|9}*)z}+,$-7}a“L.

M

I#M*NO$:;- DP0Q7h5QiS

( ∂ 2 u

∂x 2 = l ∂x∂y ∂ 2 u + a ∂u ∂x + b ∂u ∂y + pu

∂ 2 u

∂y 2 = m ∂x∂y ∂ 2 u + c ∂u ∂x + d ∂u ∂y + qu. (1)

D

„SR

~

p3qœ›

FTZLv—

l = − 2 − y 2 − x 2 y 2

xy(1 − x 2 ) , m = − 2 − x 2 − x 2 y 2 xy(1 − y 2 ) a = − 3

2

∂

∂x log (1 − x 2 y 2 )(2 − x 2 − y 2 ) (1 − x 2 )

+ l 2

∂

∂y log (1 − x 2 y 2 ) 2 (2 − x 2 − y 2 ) 2 (1 − y 2 ) 2 (2 − y 2 − x 2 y 2 ) b = l

2

∂

∂x log (2 − y 2 − x 2 y 2 )(1 − x 2 y 2 )(2 − x 2 − y 2 ) (1 − x 2 ) 2

c = m 2

∂

∂y log (2 − x 2 − x 2 y 2 )(1 − x 2 y 2 )(2 − x 2 − y 2 ) (1 − y 2 ) 2

d = − 3 2

∂

∂y log (1 − x 2 y 2 )(2 − x 2 − y 2 ) (1 − y 2 )

+ m 2

∂

∂x log (1 − x 2 y 2 ) 2 (2 − x 2 − y 2 ) 2 (1 − x 2 ) 2 (2 − x 2 − x 2 y 2 ) p = − 2(x 2 − y 2 )

(1 − x 2 ) 2 (1 − y 2 ) , q = − 2(y 2 − x 2 ) (1 − x 2 )(1 − y 2 ) 2

pE4G

Š

h¡QiS

3.

(*),+-)/.1032547698;:,<VUWVXCY Z*[\]R­9®Ž<8^

…YI

R €

10

^{YI,L H zO¡Q}

i = 1, 2

^{b ž²E}

A i (z 1 , z 2 ) = ∂

∂z i

log { y 3 (z 1 , z 2 ) } (2) X i (z 1 , z 2 ) = ∂

∂z i

log(x − 1) (3)

Y i (z 1 , z 2 ) = ∂

∂z i

log(x + 1) (4)

Z i (z 1 , z 2 ) = ∂

∂z i

log(y − 1) (5)

W i (z 1 , z 2 ) = ∂

∂z i

log(y + 1) (6)

u;I_DXwTF

p

7>±#M*NO$:;-šH

„

QzuRD

b ^ ›

…¢H ¢QlS

1.

ZLYI

{ A i , X i , Y i , Z i , W i } i =1 , 2

—‹…jIH,~I9,m$:*;,

(7 − 16)

]¢^a`

L :;Ž$J

(17 − 20)

^{I D‹€RQiSvo uaICJ¢H}

HMS

^D

5>O5Q‹r

∂A i

∂z i

= A 2 i − X i Y i − Z i W i , (7)

∂A 2

∂z 1 = ∂A 1

∂z 2 = − 1

3 X 1 Y 2 − 1

3 Z 1 W 2 − 1

6 S 1 T 2 − 1

6 S 2 T 1 , (8)

∂X i

∂z i

= 2X i A i + 3

2 X i Y i + 1

2 X i 2 + 1

2 Z i W i + 1 2

X i Z i W i

Y i

, (9)

∂X 1

∂z 2 = ∂X 2

∂z 1

= − 1

2 X 1 X 2 + 1

2 X 1 Y 2 + 1

4 X 1 (Z 2 + W 2 ) + 1

4 X 2 (Z 1 + W 1 ), (10)

∂Y i

∂z i

= 2Y i A i + 3

2 X i Y i + 1

2 Y i 2 + 1

2 Z i W i + 1 2

Y i Z i W i

X i

, (11)

∂Y 1

∂z 2 = ∂Y 2

∂z 1

= − 1

2 Y 1 Y 2 + 1

2 X 1 Y 2 + 1

4 Y 1 (Z 2 + W 2 ) + 1

4 Y 2 (Z 1 + W 1 ), (12)

∂Z i

∂z i

= 2Z i A i + 3

2 Z i W i + 1

2 Z i 2 + 1

2 X i Y i + 1 2

Z i X i Y i

W i

, (13)

∂Z 1

∂z 2 = ∂Z 2

∂z 1

= − 1

2 Z 1 Z 2 + 1

2 Z 1 W 2 + 1

4 Z 1 (X 2 + Y 2 ) + 1

4 Z 2 (X 1 + Y 1 ), (14)

∂W i

∂z i

= 2W i A i + 3

2 W i Z i + 1

2 W i 2 + 1

2 Y i X i + 1 2

W i Y i X i

Z i

, (15)

∂W 1

∂z 2 = ∂W 2

∂z 1

= − 1

2 W 1 W 2 + 1

2 Z 1 W 2 + 1

4 W 1 (X 2 + Y 2 ) + 1

4 W 2 (X 1 + Y 1 ), (16) X 1 Y 2 − X 2 Y 1 = 0, (17) Z 1 W 2 − Z 2 W 1 = 0, (18) 3S 1 (Z 2 + W 2 ) + 3S 2 (Z 1 + W 1 ) = 4(2X 1 Y 2 − Z 1 W 2 + S 1 T 2 + S 2 T 1 ),

(19) 3T 1 (X 2 + Y 2 ) + 3T 2 (X 1 + Y 1 ) = 4( − X 1 Y 2 + 2Z 1 W 2 + S 1 T 2 + S 2 T 1 ),

(20)

±YE

S i = 2X i Y i /(X i + Y i ), T i = 2Z i W i /(Z i + W i )

^D

] „

±;S

N

1 .

¯ I

4

^{ƒ I}

L ‘

T,j—

pRq

QiS

^Cc

[

HMS

^{—iV b}

6

I9-m:*;-$J pRq

QiS

4.

N©8W

HMS

^{I_D*O-[3I o} MŽrz—>’T“-”C“ • xRy-{C|9}i~Z¢H „

[573OzQŽu-D ˆ vQ S# XI@±!

b

HMS

^{ˆ" ƒ …>I$#¡H „ QsS}

%

1. HMS

^I

{ A i , X i , Y i , Z i , W i } i =1 , 2

^{ˆ E4G}

Š

h>±_DXw

A T 1 (z 1 , z 2 ) = A 2 (z 2 , z 1 ), (21)

A T 2 (z 1 , z 2 ) = A 1 (z 2 , z 1 ) (22)

p

f hzQ

‘

L5I

{ A T i , X i T , Y i T , Z i T , W i T } i =1 , 2

HMS

^{I DK€,QsS}

f Š b F

γ =

a 1 b 1 c 1 d 1

!

, a 2 b 2 c 2 d 2

!!

∈ SL(2, C) × SL(2, C)

^{b ž}

E [

A γ i (z 1 , z 2 ) = 1

(c i z i + d i ) 2 A i

a 1 z 1 + b 1

c 1 z 1 + d 1 , a 2 z 2 + b 2 c 2 z 2 + d 2

− c i

c i z i + d i

, (23) G γ i (z 1 , z 2 ) = 1

(c i z i + d i ) 2 G i

a 1 z 1 + b 1

c 1 z 1 + d 1 , a 2 z 2 + b 2 c 2 z 2 + d 2

(24)

o ±zE

G = X, Y, Z, W

^{r p fKhRQ ‘ L¡I}

{ A γ i , X γ i , Y γ i , Z γ i , W γ i } i =1 , 2

HMS

^{I D €RQiS}

3

^p#E(G

Š

h3± ²D

1

^{H „ Q3uŽD b}

^ac

[;FM -€(&Ž}

' b

žNET[

HMS

^{IšH u3D*ˆ} $¢Q‹SYuThR—

HMS

^I

6

Iv|C} '7}zHM H

E4G

QiS

p — ¯

I"M b   h,€

„

HMS

^{I baƒZ„ [7 >Q S   F}

-L H ž ,e-m

b!"

E

z 1 = z 2 = t

^{D@E F}

A 1 (t, t) = A 2 (t, t), X 1 (t, t) = X 2 (t, t) = 0, Y 1 (t, t) = Y 2 (t, t) = 0, Z 1 (t, t) = Z 2 (t, t), W 1 (t, t) = W 2 (t, t)

D

„>R$#%

H'&zO_u3D

b ^ ›

HMS

^—

t

^{H -L D} O¡Q(9-m$:*;,J b)*

OjQXˆ7Fœu hz—

Halphen

^{J D0(Q7hjQ I p+-, xzyŽ{Z|C} ‘ L}

H

„ [ uzDKˆ šQ‹S

… b

HMS

^b

] „ [

X i (z 1 , z 2 ) = Y i (z 1 , z 2 ), Z i (z 1 , z 2 ) = W i (z 1 , z 2 )

^{D „}

R.#%

H/&>O;S uaI

#%

I D p

HMS

^{I0132-m546 #% —7Y±9h-[7F}

P i = X i + A i , Q i = Y i + A i

^D

]

D

HMS

^—l…YI

^ R

€"I9-m:;Ž8J

b)*

O5Q‹S

∂A i

∂z i

= − A 2 i + 2(P i + Q i )A i − P i 2 − Q 2 i (25)

∂A 2

∂z 1 = ∂A 1

∂z 2 = − (P 1 − A 1 )(P 2 − A 2 ) (26)

∂P i

∂z i

= P i 2 (27)

∂P 2

∂z 1 = ∂P 1

∂z 2 = 0 (28)

∂Q i

∂z i

= Q 2 i (29)

∂Q 2

∂z 1 = ∂Q 1

∂z 2 = 0, (30)

  ± L ‘

TŽ

^ ›

P i = Q i (i = 1, 2)

P 1 = Q 1 = A 1

^{I jH}

±zfa€;h Q@€

Š € „

SjulI 9,m$:*;,J5—

b u3D*ˆ$>[XF

…vI

6

^{› I 4}

Š

1

^{H „ [}

Š

h5Q

I p

f‹h5QiS

1. A i = P i = Q i = 0 (i = 1, 2) 2. A 1 = 0, A 2 = 1

z 2 , P i = Q i = 0 3. A i = 1

z 1 + z 2 , P i = Q i = 0 4. A 1 = 0, A 2 = ω

z 2 , P 1 = Q 1 = 0, P 2 = − 1

z 2 , Q 2 = 0 (ω = e 2 πi/ 3 ) 5. A 1 = 0, A 2 = ω 2

z 2 , P 1 = Q 1 = 0, P 2 = − 1

z 2 , Q 2 = 0 6. A 1 = 0, A 2 = ω + ω 2 z ω 2 2 −ω

z 2 (1 + z ω 2 2 −ω ) , P 1 = Q 1 = 0, P 2 = − 1

z 2 , Q 2 = 0

[1]

^<

L²D

”

2

^k

,

3

^k

”

^{L !" #}

810 (1992), 198-217.

[2] F. Hirzebruch, The ring of Hilbert modular forms for real quadratic fields of small discriminant, Lectures Notes in Math. 627 (1977), 287- 323.

[3] T. Sasaki and M. Yoshida, Linear differential equations in two vari- ables of rank four II. The uniformaizing equation of a Hilbert modular orbifold, Math. Ann. 281 (1988), 95-111.

[4] T. Mano, Differential equations for Hilbert modular forms of Q ( √

2)

J. Math. Kyoto Univ. 44-3 (2004), 457-477.