Escape rate of symmetric Markov processes

Escape rate of symmetric Markov processes

塩沢 裕一

岡山大学大学院自然科学研究科・環境理工学部

確率論シンポジウム

京都大学数理解析研究所 2013 _年 12 _月

1. _序

▷ ({B_t}t≥0, P ): _{原点から出発する} d _{次元ブラウン運動} Khintchine _{の重複対数の法則}

lim sup

t→∞

|B_t|

√2t log log t = 1 P -a.s.

▷ R_ε(t) := √

(2 + ε)t log log t (ε > 0)

=⇒ P (|B_t| ≤ R_ε(t) for all sufficiently large t) = 1

▷ 0 < α < 2

▷ ({X_t}_t≥0, P ): _{原点から出発する} d _次元対称 α _安定過程 Khintchine (’38)

(∗)

∫ _∞

·

1

R(t)^α dt < ∞

=⇒ P (|X_t| ≤ R(t) for all sufficiently large t) = 1

▷ R_ε(t) := t^α1 (log t)^1+εα (ε > 0) =⇒ (∗)

体積増大度と経路の大域的性質

◦ 対称拡散過程

∗ ^保存性

Gaffney (’59), _市原 (’86), Grigor’yan (’86), _竹田 (’89, ’92), Davies (’92), _大島 (’92), Sturm (’94)

∫ _∞

·

r

log m(B(r)) dr = ∞ =⇒ ^保存的 (m: _{対称化測度}, B(r): _半径 r _の “_球”)

∗ Upper escape rate

Grigor’yan (’99), Grigor’yan-Hsu (’08), Hsu-Qin (’10), Ouyang (’13)

∃Rˆ ≥ 1, ∃c > 0 s.t.

P_x (

d(x, X_t) ≤ ψ⁻¹(ct) for all sufficiently large t )

= 1 for

ψ(R) :=

∫ _R

Rˆ

r

log m(B(r)) + log log r dr

◦ 重み付きグラフ上のマルコフ連鎖

∗ 保存性

Grigor’yan-Huang-_正宗 (’12), Folz (’13+), Huang (’13+)

∗ Upper escape rate

Huang (’13+), Huang-S. (’14)

◦ 対称飛躍（拡散）型マルコフ過程

∗ ^保存性

正宗-_上村 (’11), Grigor’yan-Huang-_正宗 (’12),

正宗-_上村-J. Wang (’12), S.-_上村 (’13+), S. (’13+)

本講演の興味.

Upper escape rate と体積増大度・係数増大度との関係

2. _結果

▷ (X, d): 局所コンパクト可分距離空間

▷ m: X _{上の正のラドン測度} s.t. supp[m] = X

▷ (E, F): L²(X; m) 上の正則ディリクレ形式 s.t.

E(u, u) =

∫∫

X×X\d

(u(x) − u(y))² J(x, dy)m(dx)

▷ J(x, dy): 飛躍核 s.t.

J(x, dy)m(dx) = J(y, dx)m(dy) on X × X \ d.

▷ M = ({X_t}_t≥0, {P_x}x∈X): _{対称ハント過程} (←→ (E, F))

例 (_{対称安定型過程}). [Z.-Q. Chen-_熊谷 (’03)]

X = R^d, m(dx) = dx

▷ c(x, y): R^d × R^{d 上で可測かつ} c(x, y) ≍ 1

▷ J(x, dy) = c(x, y)

|x − y|^d+α dy (0 < α < 2) E(u, u) =

∫∫

R^d×R^d\d

c(x, y)(u(x) − u(y))²

|x − y|^d+α dxdy

注意. c(x, y) = c_d,α =⇒ E(u, u) = ((−∆)^α/2u, u)_L2(Rd)

sup

x∈X

∫

X\{x}(1 ∧ d(x, y)²)J(x, dy) < ∞

“適合した長さ” [竹田 (’89), S. (’13+)]

▷ A :=











ρ ∈ Floc ∩ C(X) :

xlim→∆ ρ(x) = ∞ ^かつ B_ρ(r) _{は相対コンパクト} (∀r > 0).











▷ B_ρ(r) := {x ∈ X : ρ(x) < r}

▷ F (x, y): X × X _{上の対称な非負値関数}

• d(x, y) < F (x, y) =⇒ |ρ(x) − ρ(y)| < 1

• sup

x∈X

∫

d(x,y)<F(x,y)

(ρ(x) − ρ(y))²J(x, dy) < ∞

• sup

x∈X

∫

d(x,y)≥F (x,y)

J(x, dy) < ∞

内在的距離 (“|∇d| ≤ 1”)

◦ Sturm (’94), Frank-Lenz-Wingert (’10)

◦ Grigor’yan-Huang-_正宗 (’12), Huang et. al. (’13)

例 [S. (’13+)].

E(u, u) =

∫∫

R^d×R^d\d

c(x, y)(u(x) − u(y))²

|x − y|^d+α dxdy

▷ α ∈ (0, 2), q ∈ [0, α)

c(x, y) ≍











(1 + |x|)² + (1 + |y|)² |x − y| < 1 (1 + |x|)^q + (1 + |y|)^q |x − y| ≥ 1

• ρ(x) = log(2 + |x|) ∈ A

• F (x, y) = 1

2{(1 + |x|) ∨ (1 + |y|)}

問題. _{長時間経った後の} ρ(X_t) _{の上限を特徴付ける}:

P_x (ρ(X_t) ≤ R(t) for all sufficiently large t) = 1.

▷ R(t): [0, ∞) _{上の単調増加関数}

小さな飛躍の積み重なり > “_ある程度” _{の大きな飛躍}

▷ v(R): _{単調増加かつ} m(B_ρ(R)) ≤ v(R), ∀R > 0

▷ C_R := 1

32 · R

log v(R) + log log R (R ≥ 6)

仮定 1.

◦ ∃{ρ_R} ⊂ A: 単調増加な非負値関数列

◦ ∃{F_R}: X × X 上の単調増加な非負値関数列

(i) ∃R₀ > 0 s.t. ∀R ≥ R₀,

d(x, y) < F_R(x, y) =⇒ |ρ_R(x) − ρ_R(y)| ≤ C_R (ii) ∀K ⊂ X; _{コンパクト}, ∃R₁ ≥ 1 s.t. ∀R ≥ R₁,

K ⊂ B_ρR(R/4)

▷ C_R = 1

32 · R

log v(R) + log log R (R ≥ 6)

▷ M₁(R) := sup

x∈Bρ_R(R)

∫

d(x,y)<F_R(x,y)

(ρ_R(x) − ρ_R(y))²J(x, dy)

▷ M₂(R) := sup

x∈X

∫

d(x,y)≥F_R(x,y)

J(x, dy)

▷ N₁(R): _{単調増加かつ} M₁(R) ≤ N₁(R)

▷ N₂(R): _{単調減少かつ} M₂(R) ≤ N₂(R)

▷ ψ_µ(R) := R^2−µ

N₁(R)(log v(R) + log log R) (0 ≤ µ < 2)

仮定 2.

(i) ψ_µ(R) _{は単調増加かつ} lim

R→∞ ψ_µ(R) = ∞; (ii) ∃c > 0, ∃ν > 1 s.t.

ψ_µ(R)N₂(R) ≤ c

(log R)^ν, R ≫ 1.

定理.

仮定 1, 2 _の下, ∃c > 0 s.t. for m-a.e. x ∈ X, P_x

(

ρ(X_t) ≤ ψ_µ⁻¹(ct) for all sufficiently large t )

= 1.

系.

仮定 1, 2 _の下, ∃c > 0 s.t. for m-a.e. x ∈ X, lim sup

t→∞

ρ(X_t)

ψ_µ⁻¹(ct) ≤ 1, P_x-a.s.

▷ ψ_µ(R) := R^2−µ

N₁(R)(log v(R) + log log R) (0 ≤ µ < 2)

▷ ψ_µ(R)N₂(R) ≤ c

(log R)^ν, R ≫ 1.

3. _例.

E(u, u) =

∫∫

R^d×R^d\d

c(x, y)(u(x) − u(y))²

|x − y|^d+α dxdy F = C₀^∞(R^d)

√E1

▷ α ∈ (0, 2), δ ∈ [0, 1), q ∈ [0, α)

• |x − y| < 1 _のとき

c(x, y) ≍ (1 + |x|)² log(2 + |x|)^δ + (1 + |y|)² log(2 + |y|)^δ

• |x − y| ≥ 1 _のとき

c(x, y) ≍ (1 + |x|)^q + (1 + |y|)^q

(i) α − q > 1 − δ:

∃c > 0 s.t. for a.e. x ∈ R^d, lim sup

t→∞

|X_t − X₀| exp

( ct

1 1−δ

) ≤ 1, P_x-a.s.

(ii) α − q ≤ 1 − δ:

∀ε > 0: _十分小, ∃c > 0 s.t. for a.e. x ∈ R^d, lim sup

t→∞

|X_t − X₀| exp

( ct

1 α−q−ε

) ≤ 1, P_x-a.s.

• ρ_R(x) = log(R + |x|) ∈ A

• F_R(x, y) = C{(R + |x|) ∨ (R + |y|)} (C > 0: _定数)

v(R) = c₀e^dR, N₁(R) = c₁R^δ, N₂(R) = c₂ R^α−q

◦ ψ_µ(R) = R^2−µ

N₁(R)(log v(R) + log log R) ≍ R^1−δ−µ

◦ ψ_µ(R)N₂(R) ≍ 1

R^{α−q−(1−δ−µ)}

注意. [S (’13+)] δ ≤ 1, q < α =⇒ (E, F) _は保存的

対称拡散過程との比較 [Ouyang (’13)]

▷ {a_ij(x)}1≤i,j≤d: R^{d 上の可測関数族} s.t.

∑d i,j=1

a_ij(x)ξ_iξ_j ≍ (1 + |x|)² log(2 + |x|)^δ|ξ|², ∀ξ ∈ R^d

E(u, u) =

∑d i,j=1

∫

R^d a_ij(x) ∂u

∂x_i(x) ∂u

∂x_j(x) dx F = C₀^∞(R^d)

√E1

(i) 0 ≤ δ < 1 _のとき lim sup

t→∞

|X_t − X₀| exp

( ct

1 1−δ

) ≤ 1, P_x-a.s. a.e. x ∈ R^d

(ii) δ = 1 _のとき lim sup

t→∞

|X_t − X₀|

exp (exp (ct)) ≤ 1, P_x-a.s. a.e. x ∈ R^d

注意. δ > 1 =⇒ (E, F) _{は保存的とは限らない}.

4. _{証明の方針}. P_x

(

ρ(X_t) ≤ ψ_µ⁻¹(ct) for all sufficiently large t )

= 1.

▷ A_n :=

{∃t ∈ (t_n, t_n+1] s.t. ρ(X_t) ≥ ψ_µ⁻¹(ct) }

∑∞ n=·

P_x(A_n) < ∞, P_x-a.s. m-a.e. x ∈ X

=⇒ Borel-Cantelli _{の補題より}

ρ(X_t) ≤ ψ_µ⁻¹(ct) ∀t ≫ 1, P_x-a.s. m-a.e. x ∈ X

E(u, u) =

∫∫

X×X\d

(u(x) − u(y))² J(x, dy)m(dx)

▷ M = ({X_t}_t≥0, {P_x}x∈X) ←→ (E, F)

▷ R_n = θ^n/2 (1 < θ < 2)

▷ t_n := 1

c · ψ_µ(R_n) (c = 1024)

▷ A_n :=

{∃t ∈ (t_n, t_n+1] s.t. ρ(X_t) ≥ ψ_µ⁻¹(ct) }

▷ A_n :=

{∃t ∈ (t_n, t_n+1] s.t. ρ(X_t) ≥ ψ_µ⁻¹(ct) }

▷ τ_B

ρR(R−C_R) := inf{t > 0 | X_t ∈/ B_ρR(R − C_R)} ψ_µ⁻¹(ct_n) = R_n ≥ R_n − C_Rn =⇒

P_x(A_n) ≤ P_x (

sup

0<t≤t_n+1

ρ(X_t) ≥ R_n − C_Rn )

= P_x (

τ_B

ρRn(R_n−C_Rn) ≤ t_n+1 )

▷ R_n = θ^n/2 (1 < θ < 2) ▷ t_n := 1

c · ψ_µ(R_n)

E^R(u, u) =

∫∫

d(x,y)<F_R(x,y)

(u(x)−u(y))² J(x, dy)m(dx)

▷ M^R = ({X_t^R}t≥0, {P_x}x∈X) ←→ (E^R, F)

▷ u_R(t, x) := P_x (

τ_B^R

ρR(R−C_R) ≤ t )

命題 1.

For m-a.e. x ∈ X, P_x

(

τ_B

ρR(R−C_R) ≤ t

) ≤ u_R(t, x) + tN| {z }₂(R)

大きい飛躍

.

◦ ^池田-_長澤-_渡辺 (’66), Meyer (’75)

◦ Grigor’yan-Hu-Lau (’13+)

▷ I_R(t) :=

∫

B_ρR(R−C_R)

e^−ξR(t,x)u_R(t, x)²φ_R(x)² m(dx)

▷ c₁(R) := 512 · N₁(R)

R² · (log v(R) + log log R)

▷ c₂(R) := 8

R · (log v(R) + log log R) (

= 1

4C_R )

▷ ξ_R(t, x) := c₁(R)t + 2c₂(R)ρ_R(x)

▷ φ_R(x) :=

(

e^{c2(R)(R−CR)} − e^c2(R)ρR(x) )

+

e^{c2(R)(R−CR)} − 1

命題 2.

∃c > 0 s.t. ∀R ≫ 1, ∀t > 0,

∫

B_ρR((R−C_R)/2)

u_R(t, x)² m(dx) ≤ ce^c1(R)t

v(R)³(log R)⁴.

▷ R_n = θ^n/2 (1 < θ < 2)

▷ t_n := 1

c · ψ_µ(R_n)

∫

B_ρRn((R_n−C_Rn)/2)

u_Rn(t_n+1, x)² m(dx) ≤ c(θ)

v(R_n)²n³

P_x(A_n) ≤ P_x (

τ_B

ρRn(R_n−C_Rn) ≤ t_n+1 )

≤ u_R(t_n+1, x) + t_n+1N₂(R_n) K ⊂ X: _{コンパクト}

∫

K



 ∑^∞

n=n₀(K)

P_x(A_n)



 m(dx)

≤

∑∞ n=n₀(K)

∫

K

(u_Rn(t_n+1, x) + t_n+1N₂(R_n))

m(dx)

< ∞

t_n+1N₂(R_n) ≲ ψ_µ(R_n)N₂(R_n) ≲ n^−ν