Keio

2020

年

09

月

25

日演習問題解答

VI

σ

1

= (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) , σ

2

= (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) , σ

3

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) , σ

4

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) , σ

5

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) , σ

6

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

)

とします．

(1) σ

i

σ

j

(i, j = 1, 2, . . . , 6)

を求めましょう．

(2) σ

⁻¹_i

(i = 1, 2, . . . , 6)

を求めましょう．

解答

(1) σ

₁

σ

_j

= σ

_j

, σ

_i

σ

_j

= σ

_iについては以下省略します．

σ

2

σ

2

= (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) = σ

1

,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

σ

2

σ

3

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = σ

5

,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

σ

2

σ

4

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = σ

6

,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

σ

2

σ

5

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = σ

3

,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

σ

2

σ

6

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = σ

4

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

さらに同様に

σ

3

σ

2

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = σ

4

σ

3

σ

3

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) = σ

1

σ

₃

σ

₄

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = σ

₂

σ

3

σ

5

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = σ

6

σ

3

σ

6

= (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = σ

5

1

σ

4

σ

2

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = σ

3

σ

4

σ

3

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = σ

6

σ

4

σ

4

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = σ

5

σ

4

σ

5

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) = σ

1

σ

4

σ

6

= (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = σ

2

σ

₅

σ

₂

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = σ

₆

σ

5

σ

3

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = σ

2

σ

₅

σ

₄

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) = σ

₁

σ

5

σ

5

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = σ

4

σ

5

σ

6

= (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = σ

3

σ

6

σ

2

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = σ

5

σ

₆

σ

₃

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = σ

₄

σ

6

σ

4

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) (

^{1 2 3}_{2 3 1}

) = (

^{1 2 3}_{2 1 3}

) = σ

3

σ

6

σ

5

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) (

^{1 2 3}_{3 1 2}

) = (

^{1 2 3}_{1 3 2}

) = σ

2

σ

₆

σ

₆

= (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) (

^{1 2 3}_{3 2 1}

) = (

^{1 2 3}_{1 2 3}

) = σ

₁

(2)

σ, τ ∈ S

3が

στ = 1

を満たすとき，右から

τ

⁻¹を掛けると

(στ)τ

⁻¹

= σ(τ τ

⁻¹

) = σ1 = σ

1τ

⁻¹

= τ

⁻¹

から

σ = τ

⁻¹が従います．他方，左から

σ

⁻¹を掛け ると

τ = σ

⁻¹ が従います．

(1)

において

σ

₁

σ

₁

= σ

₁

1 · 1 = 1

が成立しますから，

σ

⁻¹₁

= σ

1であることが分かりま す．次に

(1)

から

σ

2

σ

2

= σ

1

= 1

から

σ

₂⁻¹

= σ

2 であることが分かります．同様に，

(1)

から

σ

₃

σ

₃

= σ

₁

= 1

から

σ

₃⁻¹

= σ

3であることが分かります．さらに

σ

₄

σ

₅

= σ

₁

= 1

から

σ

₄⁻¹

= σ

₅

, σ

₅⁻¹

= σ

₄

が従います．最後に

σ

₆

σ

₆

= σ

₁

= 1

から

σ

₆⁻¹

= σ

6であることが分かります．

2