공간좌표 1. 공간좌표

이므로

2. 공간좌표 1. 공간좌표

129. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 좌표공간에서 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가?

P   를 평면에 대하여 대칭이동시킨 점 Q의 좌표는 Q    

정답과 해설 교육청/평가원

A     B      C       C에서 직선 에 내린 수선의 발 을 H라 하면 CH 

삼수선 정리에 의하여 선분 OH와 선분 AB는 수직이고

∆COH에서 피타고라스 정리에 의해 OH  이다.

∆OAB의 넓이 

× OA× OB  

× OH× AB이므로



×  ×   

×  ×



^^ ^

⇒  



^^ ^

⇒ ^ ^ 

⇒ ^ 

∴ ^ 

131. [정답] ⑤ [풀이]

평면과 평면  사이의 각을_, 평면과 평면 사이의 각을 _라 하자.

 cos_ cos_ 이때, _ _ 

이므로 _ 

 _

cos_ cos



^

 _



^{ sin}

tan_ 

∴ cos _ 



^



∴_{  × }



^

  





^



2. 선분의 내분점과 외분점 132. [정답] ④

[풀이]

[출제의도] 공간좌표



  

  

  

  →      

∴     

133. [정답] ⑤ [풀이]

[출제의도] 좌표공간에서 두 점의 내분점을 구할 수 있는가?

내분점의 좌표는



^

  

 

 

  



   이므로

∴      

    

134. [정답] ③ [풀이]

A  , B     이고

AB를   로 내분하는 점의 좌표는



^  

    

   

  

   

  



        

    에서   ,  

∴         

135. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 좌표공간에서 선분의 외분점을 구할 수 있는가?

두 점 A    B   에 대하여 선분 AB를   로 외분하는 점의 좌표는



^  

 ×    × 

   

 ×    × 

   

 ×    ×  



즉,        

이 점이 축 위에 있으므로

          에서       따라서         

136. [정답] ① [풀이]

[출제의도] 공간좌표에서 선분의 내분점을 구할 수 있는가?

두 점 A    B   에 대하여 선분 AB를   로 내분하는 점의 좌표는



^  

 ×    × 

   

 ×    × 

   

 ×    ×  



즉,   

따라서         

137. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 공간좌표의 내분점 계산하기 선분 AB를   로 내분하는 점의 좌표는 

  



  

 이므로   

138. [정답] 350 [풀이]

[출제의도] 공간좌표 이해하기

그림과 같이 점 M을 좌표공간의 원점으로 하면

점 B   , 점 C  



^   에서 점 P는 BM를   로 내분하므로 P    

CP  



^

따라서 ^ 

139. [정답] ⑤ [풀이]



^  

  

   

  

   

  



   

  ,    ∴     

확률과 통계 정답과 해설

140. [정답] ④ [풀이]

[출제의도] 공간좌표를 이용하여 삼각형의 무게중심의 좌표를 구할 수 있는가?

세 점 A  , B   , C  을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표는



^

    

 

    

 

    



∴



^

  

 

   



이때, 무게중심의 좌표가   이므로



   , 

   

∴      

∴     

3. 구의 방정식 141. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 공간좌표 이해하기

O







    

    



구   ^   ^   ^  를 평면으로 자른 단면은 원

  ^   ^ 이 되므로, 밑면의 넓이는 가 되고, 부피가 최대가 되는 원뿔의 높이는 이다.

∴원뿔의 부피의 최댓값은 



142. [정답] ④ [풀이]

구   ^   ^   ^ 의 중심을 A  라 하고 구 ^ ^ ^       에서

  ^   ^   ^   ^ ^의 중심을 B     라 하자.

두 구가 원점 O에서 서로 접하므로 두 벡터 OA와 OB는 평행하다.

즉, OB   OA 는 실수)

          

∴            

∴      

∴     

143. [정답] ② [풀이]

[출제의도] 좌표공간에서 구의 방정식을 구할 수 있는가?

가 축, 축에 접하면서 평면과 만나서 생긴 원의 반지름이 이 므로

구의 중심을 C     , 반지름을 라 두면, 다음과 같은 식이 성립한

144. [정답]  [풀이]

[출제의도] 공간도형과 공간벡터

구를 평면에 수직이고 OP를 지나는 평면으로 잘라서 단면화해 보자.

이 때 아래와 같은 그림을 얻을 수 있다.

를 평면에 정사영 시킨 점을  이때, OH OP 이다.

PQ 를 만족하도록 평면 를 잡고 평면과 이루는 각을 라 하자.

의 넓이를 라 하면,

 cos

cos가 최대인 순간은 위의 그림과 같이 가 와 평면의 교선에 최 대한 가까이 있는 경우이다.

이 때 를 구하면  

 _

cos  cos



^

 _



^{, cos }_

_





cos  

따라서 원 의 넓이의 최댓값은 



∴    

145. [정답] 11 [풀이]

평면과 평면이 이루는 각을 단면화 시켜서 관찰하기 위하여 우선 도형을 옆에서 관찰하면 다음과 같다.

정답과 해설 교육청/평가원

이때, sin 

 



^



cos    sin^

   

 



도형 D의 단면의 넓이는 이므로 정사영의 넓이는  × 

이다

∴     

146. [정답] 

[풀이]

구   ^   ^   ^ …㉠는 중심이^{  }이고 반지름의 길이가 2인 구이고 구 ^ ^ ^ …㉡은 중심이 원점

  이고 반지름의 길이가 4인 구이다.

이때, 



^^ ^ ^



^ 이므로　 ㉠은 ㉡에 포함되고, ㉡의 중심 은 ㉠에 포함된다.

^ 2

 





따라서 ㉠에 접하는 평면이 ㉡과 만나서 생기는 도형은 원이고 넓이가 최대가 되려면 점 O에서 평면 사이의 거리가 가장 짧아야 한다. 즉, 두 구의 중심  를 지나는 직선과 구 ㉠과의 교점 중에서 점 O에 가까 운 점을 P라 하면 점 P가 평면의 접점이 될 때이다.

이때, 단면이 나타내는 원의 반지름의 길이를 라 하면

^ ^  



^ ^

     



^     



^ 따라서 넓이의 최댓값은

^   



^ 

∴     

Ⅳ ^공간벡터