이므로 구하는 순간변화율은
ln
× ln
[다른풀이]
점 P가 점 를 출발한 지 초 후의 점 P의 좌표는
이므로 삼각형 ADC의 넓이는
⋅log
∴ ′
log
ln
log ln
점 P가 점 를 지나는 순간은 일 때이므로 구하는 순간변화율은
∴ ′ × log ln
ln
103. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 도함수를 이용하여 수학내적문제 해결하기
O O′
P
Q
그림과 같이 원 O의 초 후의 중심을 O′, 원과 정사각형 ABCD의 교 점을 P, Q라 하고,
∠PO′Q 라 하면 cos 에서 sin
이다.
원과 정사각형 ABCD가 겹치는 부분의 넓이
sin
cos sin
sin
cos
sin 원 O의 중심이
을 지나는 순간은 이다.
일 때,
이다.
∴원 O의 중심이
을 지나는 순간 넓이 의 시간(초)에 대한 변 화율은
104. [정답]
[풀이]
[출제의도] 도함수를 활용하여 문제 해결하기
초가 되는 순간 점 P의 좌표는
∠QOP 라 하면, ∠AOQ
부채꼴 OQA의 넓이는
× ×
삼각형 OPQ의 넓이는
× × × sin sin
sin양변을 에 대하여 미분하면
sin cos
⋯⋯㉠ 점 P 을 지나고 직선
에 평행한 직선을 이라 하면직선 의 방정식은
이고 직선 과 원이 만나는 점 Q의 좌표는 Q cos sin이므로 직선 에 대입하면sin
cos ⋯⋯㉡㉡의 양변을 에 대하여 미분하면
cos
sin
⋯⋯㉢점 Q의 좌표가 이므로 sin
, cos
이고㉡에서
이고㉢에서
이다.
㉠에 의하여
확률과 통계 정답과 해설
2. 속도와 거리 105. [정답]
[풀이]
[출제의도] 곡선의 길이 이해하기
′
이므로
′
라 놓으면
,
일 때 , 일 때 이므로
따라서
Ⅲ 공간도형과 공간좌표
1. 공간도형
1. 위치 관계 106. [정답] ① [풀이][출제의도] 공간도형 – 삼수선의 정리 P에서 에 내린 수선의 발을H′ H에서 에 내린 수선의 발을 M
′
, 이므로′
(∵삼수선의 정리)107. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 점과 직선 사이의 거리를 구한 다.
점 P에서 직선 에 내린 수선의 발을 I라 하자.
직선 PH가 평면에 수직이고, PI⊥이므로 삼수선의 정리에 의해
HI⊥이다.
PH , PI
이므로HI
따라서 구하는 거리는 이다.QR AR
따라서 점 P에서 직선 BC까지의 거리는
109. [정답]
[풀이]
[출제의도] 삼수선의 정리를 이용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 가?
그림과 같이 점 P에서 평면 에 내린 수선의 발을 H, 점 H에서 직선 AB에 내린 수선의 발을H′이라 하면
PH⊥, HH′⊥(직선 AB) 그러므로 삼수선의 정리에 의해
PH′⊥(직선 AB)
한편, 점 A와 평면 사이의 거리가 이고 직선 AB가 평면 와 평행 하므로
HH′
또, 점 P와 평면 사이의 거리가 이므로
PH
그러므로 직각삼각형 OHH′에서
PH′
PH HH′
따라서 삼각형 PAB의 넓이는
× AB × PH′
×
×
110. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 삼수선의 정리를 이해하여 공간도형의 문제를 해결한다.
점 A를 지나고 두 직선 AB, BC에 수직인 직선 은 평면 ABC에 수 직이고, C가 구 위의 점이므로 ∠BCA
즉, AC ⊥BC 삼수선의 정리에 의하여 DC ⊥BC이므로
BC
BD CD
따라서 구하는 선분 AC의 길이는정답과 해설 교육청/평가원
점 M에서 모서리 CD에 내린 수선의 발을 I라 하면 삼수선의 정리에 의해서 LD⊥NI이다.
AL AB , DI CD ,
LD
이고, 두 삼각형 NDI, ALD는 서로 닮은 도형이므로
NI AD DI LD
NI LD
AD · DI
× 삼각형 MIN은 직각삼각형이므로
MN
112. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 삼수선의 정리를 이해한다.
직각삼각형 ABC에서 AB
점 B에서 AP에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 ABP에서
BH
삼수선의 정리에 의하여 CH⊥AP이다. 따라서 직각삼각형 CBH에서
BC , BH
이므로 CH
113. [정답]
[풀이]
[출제의도] 직선과 평면, 평면과 평면이 이루는 각의 크기를 이용하여 사면체의 부피를 구할 수 있는가?
아래 그림과 같이 점 A에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하자.
이때, AB 이고 직선AB와 평면 가 이루는 각의 크기가
이므로
AH AB sin
×
··· ㉠
또, BH AB cos
×
한편, AH ⊥이고 AC ⊥이므로 삼수선의 정리에 의해 HC ⊥
이때, 두 평면 가 이루는 각의 크기가
이므로
∠ACH
그러므로 직각삼각형 AHC에서 CH AH , AC
또, 직각삼각형 ACD에서 AD
이므로CD
AD AC
··· ㉡한편, 평면 위의 점 H에서 선분 BD에 내린 수선의 발을 H′이라 하 면 BH
, CH , CD 이므로 다음 그림과 같다.이때, HH′ 이므로 직각삼각형 HH′B에서
BH′
BH HH′
그러므로BD BH′ H′D
··· ㉢따라서 사면체 ABCD의 부피는 ㉠, ㉡, ㉢에 의해
× AH×
× CD× BD
× ×
× ×
이므로
114. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 두 직선이 이루는 각을 이해한다.
모서리 DE와 모서리 CB가 평행이므로 두 모서리 AC와 DE가 이루는 각은 두 모서리 AC와 CB가 이루는 각과 같다. 따라서
이므로
cos
115. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 공간도형의 성질 이해하기
선분 AF와 선분 BE의 교점을 점 M이라 하면, 평면AFGD와 평면 BEG의 교선은 직선 GM이다.
점 M에서 평면 EFGH에 내린 수선의 발을 N이라 하자.
GF FN , MN 이므로
GN
, GM
cos GM
GN
∴ cos
116. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이면각의 정의를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.
두 선분 BC, AD의 중점을 각각 M, N이라 하면,
AM DM
이므로 MN
PN QN 이므로 PM QM
∠PMQ이고, PQ 이므로 cos × ×
, 따라서
117. [정답]
[풀이]
B에서 EF에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼수선의 정리에 의해
DH⊥EF
두 평면 AEFD와 EFCB가 이루는 각 는 두 평면의 교선 EF에 수직인 BH와
DH가 이루는 각의 크기와 같다.
확률과 통계 정답과 해설
cos BH
DH
이제 종이를 다시 펼치면 그림과 같다.
∆BDA∆BEH이므로
EB HB DB AB
HB
⋅
DH DB BH
∴ cos BH
DH
∴ cos ×
[다른풀이]
AE 이므로 BE
DE
이므로 BD
FC 라 하면 DF
한편, △BDF, △BCF는 모두 직각삼각형이므로
BF
∴
∴ △DEF
× × , △BEF
× × 이때, △BEF의 평면 ABCD 위로의 정사영이 △DEF 이므로
cos
∴ cos ⋅
118. [정답]
[풀이]
QA 이므로 ∴∆PQA의 넓이는