이므로
2. 도형의 방정식 1. 직선과 평면의 방정식
151. [정답] ①
[풀이]
[출제의도] 두 직선이 수직일 조건을 알고 있는가?
두 직선이 수직이므로, 방향벡터의 내적이 이다.
∙ 에서
∴
152. [정답] 10 [풀이]
정답과 해설 교육청/평가원
[출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 두 점의 위치를 정하고, 선분 의 길이를 구할 수 있는가?
A 로 놓으면 ··· ㉠ 좌표공간의 원점을 O라 하면
PA OA OP
두 벡터 PA 가 서로 수직이므로 에서
㉠에서 정리하면
즉 A 또는 A
점 B도 마찬가지이므로 두 점A B좌표는
이다. 따라서 AB
154. [정답]
[풀이]
세 직선의 방향벡터가 모두 평면의 법선벡터와 수직이므로 내적의 값은
이어야 한다.
이라 하고 내적을 계산하면
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡
⋯⋯ ㉢
㉡-㉠에서 ⋯⋯ ㉣
㉡-㉢에서 ⋯⋯ ㉤
㉣× -㉤× 에서 ,
이면 이므로 평면이 존재하지 않는다.
∴
∴
155. [정답] [풀이]
평면 는 법선벡터가 이고 점 A 을 지나므로 점 B 는 평면 위의 점이므로
에서
∴ B ∴ AB AC
한편 원점은 평면 위의 점이므로 OA AC [다른풀이]
는 실수라 하면
점 C의 좌표를 라 하자
AB ⊥AC이므로 AB ∙ AC
∙
∴ 또는
이때, 이면 C 이 되어 모순이다.
∴
∴ B
한편, AB AC이므로
∴
×
×
156. [정답] ④
[풀이]
[출제의도] 두 평면이 이루는 예각의 크기에 대한 코사인 값을 구할 수 있는가?
평면 의 법선벡터를 라 하면
평면의 법선벡터를 라 하면 로 놓을 수 있다.
따라서 cos
∙
× × ×
×
157. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 평면의 방정식의 성질을 이해하여 두 평면이 이루는 각의 크기를 구한다.
두 평면의 법선 벡터를 각각
, 이라 하면 두 평면이 이루는 각의 크기 에 대하여cos
∙
따라서 sin
cos
158. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 점과 평면 사이의 거리를 활용할 수 있고 정사영의 넓이 를 구할 수 있는가?
점 A 과 평면 : 사이의 거리를 라 하면
⋅ ⋅
그러므로 AP≤ 인 점 P가 나타내는 도형은 그림에서 반지름의 길이가
인 원의 경계 및 내부이다.한편, 평면의 법선벡터는 이고 평면 의 법선벡터는
이므로 평면과 평면 가 이루는 예각의 크기를 라 하면 cos
⋅ ⋅ ⋅
따라서 구하는 정사영의 넓이는
× cos ×
159. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 정사영의 정의를 이용하여 정사영의 넓이를 계산할 수 있 는가?
A
B
10
8 그림의 직각삼각형 ABO에서
확률과 통계 정답과 해설
OB
원기둥의 한 밑면과 평면 이 이루는 각의 크기를 라 하면 각 OAB의 크기도 이므로
cos
이때, 원기둥의 한 밑면의 넓이를 , 이 밑면의 평면 위로의 정사영의 넓이를 ′이라 하면
×
′× cos ×
160. [정답]
[풀이]
[출제의도] 구의 성질을 이용하여 평면과 점 사이의 거리의 최댓값을 구한다.
점 P와 평면 사이의 거리가 최대일 때는 구의 중심 C 을 지나고 평면에 수직인 직선이 구와 만나는 두 점 중 평면과의 거리가 더 먼 점 이 P일 때이다.
점 C 과 평면 사이의 거리는
× × ×
이므로 거리의 최댓값은
이다.
따라서 ×
161. [정답] ② [풀이]
점 D의 좌표를 라 할 때,
DG가 평면 의 법선벡터가 되므로
∴
이때, 점 D 는 평면 위의 점이므로
∴ 즉,
따라서 DG
한 변의 길이가 인 정사면체의 높이가
이므로 구하는 정사면체의 한 변의 길이는
×
[다른풀이]
삼각형 ABC의 무게중심 을 G라 하자.
D에서 평면 ABC에 내린 수선의 발은 삼각형 ABC의 무게중심 G 이므로
DG⊥평면ABC 이므로 DG
∴ D
162. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 직선과 평면의 방정식
평면 의 방정식을 구하면 삼각형 에서 ∙
점과 평면 사이의 거리 공식에 의해
을 만족하므로
방정식을 에 관하여 나타내면 ∣ ∣
이므로 따라서
∴
163. [정답]
[풀이]
[출제의도] 평면과 평면의 위치관계와 정사영을 이용하여 도형과 관 련된 문제를 해결한다.
평면 에 의하여 정육면체가 잘린 단면은 그림과 같다.
두 평면 , 의 법선벡터가 각각 ,
이므로 두 평면이 이루는 각 에 대하여
⋅ ⋅ cos , cos
오각형 HIJKL의 정사영이 오각형 OAJKC이므로
cos
따라서
이므로 164. [정답]
[풀이]
[출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 정사영의 넓이 구하는 문제 를 해결한다.
원점 O에서 평면 PQR에 내린 수선의 발은 삼각형 PQR의 무게중심 G와 같으므로 OG는 평면 PQR의 법선벡터이다. 또, 면 PQR와 축이 만나는 점을 A라 하면 OA는 평면의 법선벡터이다.
따라서 평면 PQR와 평면이 이루는 각의 크기 는 두 벡터 OG,
OA가 이루는 각의 크기와 같다.
OP , PG
×
이므로OG
OP PG
정답과 해설 교육청/평가원
2. 평면과 구의 방정식 165. [정답]
[풀이]
[출제의도] 구의 중심에서 평면에 이르는 거리를 구할 수 있는가?
구 에서 이므로 이 구의 중심 은 이고 반지름의 길이는 이다.
평면 이 구 에 접하므로 구의 중심 에서 평면 에 이르는 거리는 구의 반지름의 길이와 같 다.
이때, 구의 중심 에서 평면 에 이르는 거리는
이므로
에서
또는
또는
따라서 모든 실수 의 값의 합은
166. [정답]
[풀이]
[출제의도] 공간벡터의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.
구의 중심 C에서 두 평면의 교선 에 내린 수선의 발을H라 하면 H 이고 CH는 교선의 방향벡터 과 수직이다. 따라서
CH⋅ ⋅
이므로 CH
CH
직각삼각형 CQH에서 cos∠QCH
∴ ∠QCH
∠PCH ∠QCH
이므로 ∠QCP
가 되어 삼각형 CPQ는 한 변의 길이가
인 직각이등변삼각형이다. ×
∴
167. [정답]
[풀이]
두 구 과 의 중심을 각각 라 하자.
두 구의 중심 와 점 P를 지나는 평면으로 자른 단면을 그려보면 평면 는 반드시 점 을 지남을 알 수 있다.
원점 O에서 평면 에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 점 와 점P를 로 내분하는 점이므로
이다.따라서 평면 의 법선벡터 ()를
로 잡을 수 있고평면 의 방정식을
로 설정할 수 있다.여기에 평면 위의 점 을 대입하면
임을 알 수 있다.
평면 의 방정식은
이다.한편 Q
가 평면 위의 점이므로 대입하면
이고 이다.
168. [정답]
[풀이]
[출제의도] 벡터의 내적의 최댓값을 구할 수 있는가?
벡터 AP를 시점이 원점이 되도록 옮겼을 때, 종점을 P′이라 하자.
이때,AP∙ AQ OP′∙ AQ
OP′∙
OQ OA
OP′∙ OQ OP′∙ OA
이때, 점 Q가 점 P′이 되도록 잡으면 최댓값을 가지므로
OP′∙ OQ OP′∙ OA ≤ OP′∙ OP′ OP′∙ OA
OP′∙ OA ··· ㉠ 한편,
AB OB OA
이고 점 B′을 AB OB′이라 하자.벡터 AP와 벡터 AB가 이루는 각의 크기가
이므로 그림과 같이 점 P′이 세 점 O A B′에 의하여 결정된 평면 위에 그림과 같이 P″에 있 을 때, OP′∙ OA는 최솟값을 갖는다.