가) AP
1. 이차곡선 포물선
1. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 정적분의 활용 이해하기
포물선 의 준선의 방정식은 이다.
의 그래프와 직선 ,
축 및축으로 둘러싸인 부분의 넓이는
2. [정답]
[풀이]
[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 좌표를 구하고 두 점 사이의 거리를 구할 수 있는가?
포물선 의 초점은 F 이다.
이때, 점 A에서 준선 에 수선의 발을 H라 하면
AF AH이다.
이때 AF 이므로 점 A의 좌표를 라 하면 , 이때, 점 A의 좌표는 에 대입하면 ×
또는
이때, 점 A 또는 A 이므로
AB
따라서
이므로 3. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 포물선의 성질 이해하기
원의 반지름의 길이가 FP 이므로 AP
AF AH이므로 점 A의 좌표는
FQ 이므로 BQ
BF BG이므로 점 B의 좌표는
삼각형 AFB의 넓이는
× ×
따라서 1 ② 2 3 ④ 4 ⑤ 5
6 7 ③ 8 ③ 9 10
11 ① 12 ⑤ 13 ① 14
15 16 17 18 ② 19 20
21 ② 22 23 ② 24 ④ 25
26 ④ 27 ④ 28 ② 29 ⑤ 30
31 ④ 32 ② 33 34 35 ③
36 37 ④ 38 ① 39 ③ 40 ⑤
41 19 42 ② 43 ⑤ 44 ① 45
46 ① 47 ① 48 ③ 49 ② 50 ①
51 ① 52 ① 53 54 55
56 ④ 57 58 ④ 59 ② 60 ③
61 ① 62 ② 63 64 ① 65 ①
66 67 ① 68 ② 69 ② 70 ①
71 72 ② 73 74 ② 75 ⑤
76 ⑤ 77 ⑤ 78 ④ 79 ⑤ 80 ④
81 ⑤ 82 83 ⑤ 84 85
86 ② 87 ② 88 ③ 89 ② 90 ③
91 92 93 ① 94 ② 95 ⑤
96 ③ 97 98 40 99 ⑤ 100
101 102 ④ 103 ④ 104 105
106 ① 107 ⑤ 108 ① 109 110 ③
111 ④ 112 ② 113 114 ③ 115 ⑤
116 117 118 119 ③ 120
121 ① 122 123 ② 124 125
126 ⑤ 127 128 ③ 129 ④ 130 ⑤
131 ⑤ 132 ④ 133 ⑤ 134 ③ 135 ①
136 ① 137 ② 138 350 139 ⑤ 140 ④
141 ② 142 ④ 143 ② 144 145 11
146 147 148 149 150
151 ① 152 10 153 ② 154 155
156 ④ 157 ⑤ 158 ⑤ 159 ② 160
161 ② 162 ② 163 164 165
166 167 168 169 170
확률과 통계 정답과 해설
4. [정답] ⑤ [풀이]
,
(단, ) 이라 하면포물선의 정의에서 준선 에서 , 까지의 거리의 비도
이다.
, ⋯⋯ ㉠
과 , 의 기울기에서
, ⋯⋯ ㉡
㉠, ㉡을 연립하면
,
이므로∴ 의 기울기는
5. [정답]
[풀이]
주어진 포물선은 아래와 같다.
포물선의 정의에 의해
⋯⋯ ㉠
∆에서
를㉠에 대입하면 ∴ 또는
∴
6. [정답]
[풀이]
[출제의도] 포물선의 성질 이해하기
포물선의 초점을 F , 점 A 라 하면, 점 B , 점 C 이다.
삼각형 ABC의 무게중심이 점 F이므로
에서
,
,
이므로 ,
점 A에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 A′라 하면, 포물선의 정 의에 의하여 AF AA′
따라서 AF BF
7. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 포물선의 정의를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한 다.
∴ ∆AFB
⋅⋅⋅
8. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 이차곡선의 성질 이해하기
PF 라 하면 점 P에서 F 까지의 거리는 점 P에서 준선
에 이르는 거리와 같으므로 FH
PH
삼각형 PFH의 넓이가
이므로
× ×
양변을 제곱하여 정리하면
∴
따라서 선분 PF의 길이는
9. [정답] [풀이]
중심이 위에 있고 점 F을 지나는 원을 이라 하고 포물선 위의 원 의 중심을 이라 하면 포물선의 정의에 의하여
QF 의 반지름 Q으로부터 준선 에 이르는 거리) 이므로 원 은 준선 에 접한다.
따라서 원 위의 점 P의 좌표≥ 이다.
같은 방법으로
중심이 위에 있고 점 F를 지나는 원을 라 하고
포물선 위의 원 의 중심을 라 하면 포물선의 정의에 의하여
QF 의 반지름 Q로부터 준선 까지의 거리)이므로 원 는 준선 에 접한다.
따라서 원 위의 점 P의 좌표 ≥ 이다.
따라서 두 원 의 교점 P는
좌표≥ 좌표≥ 이므로
(나) 조건에 의하여 3사분면에서 OP가 최대일 때는 P가 에 있을 때이다.
P 을 지나고 준선에 접하는 두 원이
과
로 존재하므로P 은 조건을 만족한다.
따라서 OP의 최댓값은
이고 OP의 최댓값은 이다.10. [정답]
[풀이]
O
A
B F D C E
H G
정답과 해설 교육청/평가원
CE BH GF BF GF
따라서
이므로
∴ AB BF AF
∴
11. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 이차곡선 – 포물선
AF BF
에서,
∴ BD BF
12. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 포물선의 성질을 활용하여 문제 해결하기
포물선 의 초점 F의 좌표는
점 D에서 포물선의 준선 에 내린 수선의 발을 D′이라 하면
DD′ FD 이므로 점 D의 좌표는 4이고 점 D의 좌표는
점 B의 좌표를 라 하면직선 BF의 기울기와 직선 FD의 기울기가 같으므로
,
이므로
따라서 사각형 ABCD의 넓이는
×
×
13. [정답] ① [풀이]
포물선
의 초점은 F
이다.세 점 P F Q에서 준선
에 내린 수선의 발을 각각
P′ F′ Q′이라 하면 FF′
이고, 포물선의 정의에 의해 PP′ QQ′
⋅ ⋅ ,
,
∴
⋅
⋅
[다른풀이]
P에서 준선에 내린 수선의 발을 H Q에서 준선에 내린 수선의 발을 H, Q에서 PH에 내린 수선의 발을R, P에서 축에 내린 수선의 발을 S라 하면
PF PH, FS
, QF QH
∆PQR∆FPS
PQ PR FP FS이고
∴
⋅
⋅
2. 타원 14. [정답]
[풀이]
[출제의도] 타원의 성질 이해하기
O
F F′
C
원 의 중심을 C, 타원의 초점을 각각 F, F′이라 하면 장축의 길이는 F′C CF
15. [정답] [풀이]
[출제의도] 타원의 초점의 좌표를 구할 수 있는가?
타원 을 정리하면
이것은 타원
을 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.
확률과 통계 정답과 해설
의 초점의 좌표는
,
이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는
,
따라서 한 초점의 좌표 에 대하여
16. [정답]
[풀이]
[출제의도] 타원의 성질 이해하기
장축의 길이는 정삼각형의 한 변의 길이의 5배와 같으므로 이고 [그림2]에서 점 A의 좌표가
이므로
에 대입하여 정리하면
∴
17. [정답]
[풀이]
[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 삼각형의 둘레의 길이의 합을 구 할 수 있는가?
타원
의 두 초점은 F
, F′
즉, F , F′ 이다.이때, 그림과 같이 PF′ , PQ , QF 라 하자.
이때, 삼각형 PFQ의 둘레의 길이와 삼각형 PF′F의 둘레의 길이의 합은
FF′
··· ㉠
한편, 타원의 정의에 의해 QF QF′ × 이므로
이 값을 ㉠에 대입하면 구하는 둘레의 길이의 합은 이다.
18. [정답] ② [풀이]
FP F′P
F′P , F′P
∆에서 FP PH FH에서
PH
에서 PH 따라서 F′H FF′
a∆′에서 FH F′H FF′
19. [정답]
[풀이]
직각삼각형 PQR에서
PR PF 이므로 PQ QF′ 라 하면
∴ ∵
이때
PF′ ×
PF
이고
PF PF′
이므로 주어진 타원의 장축의 길이는 이다.
따라서 이므로
직각삼각형 PQR에서 ∠QPR 라 하면 cos
따라서 삼각형 FPF′에서 제2코사인법칙에 의해
FF′ × × × cos
×
∴ FF′
따라서 FF′
이므로
∴
20. [정답]
[풀이]
[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 조건을 만족시키는 상수의 값을 구할 수 있는가?
타원의 정의에 의하여
FP F′P 이므로 FP F′P
AP FP AP F′P AP F′P ≥ AF′
AP FP의 최솟값이 이므로 AF′ F′ 이므로
AF′
a 에서 21. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 이차곡선의 성질 추론하기
PM PF, PM MF′이고 MF′ MF이므로 삼각형 PMF는 정삼각형이고 ∠F′FP °
MO 이므로 PF , PF′ , FF′
장축의 길이가 이므로 에서
정답과 해설 교육청/평가원
∆PFF′에서
OH × OI ×
∴
23. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 타원의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 해결한다.
타원의 장축의 길이를 라 하면 삼각형 FPQ의 둘레의 길이가
이므로PQ QF PF PF PF′ QF QF′
PF PF′
F′Q 라 하면 삼각형 FPQ는 직각삼각형이므로
에서
따라서 구하는 넓이는 ×
×
24. [정답] ④ [풀이]
원점에서 초점까지의 거리를 라고 하면 ∠AFB
이고 OF c 이므로
FB , OB
이다.또, BF
AO 이므로 AO c 삼각형 AFB의 넓이가
× AF× OB
× c×
c
이 므로 이다.
타원의 방정식
에서
OB
이므로 이므로
25. [정답]
[풀이]
[출제의도] 이차곡선 – 타원
FF′
, FP F′P 에서FP F′P
삼각형 QF′F의 넓이를 라 하면
F′P× FQ
26. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제 해결하기 타원의 두 초점을 F , F′
이라 하면 이므로
PF , PF′ 이라 하면 타원의 정의에 의하여
삼각형 FPF′는 직각삼각형이므로
따라서 삼각형 FPF′의 넓이는
27. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 이차곡선 – 타원의 정의
PF 이므로 타원의 정의에 의해 PF′ , FF′
타원과 원의 교점 P에서 원의 접선이 F′을 지나므로 ∆F′FP 는 ∠P 가 직각인 직각삼각형이다.
F′F F′P FP이므로
(∵ )28. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 타원의 성질을 이용하여 타원의 장축의 길이를 구하는 문 제를 해결한다.
접선이 축과 만나는 점을 A라 하면 ∠OAP
이고, 직선 OP는 접 선과 수직이므로 ∠POF
삼각형 POF는 정삼각형이므로
∠PFO
, PF
선분 F′F는 지름이므로 직각삼각형 FPF′에서
PF′ PF× tan
따라서 두 점 F, F′은 타원의 초점이므로 타원의 정의에 의해 장축의 길이는 PF PF′
29. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 타원의 정의를 이용하여 선분의 길이를 구한다.
에서 일 때, 또는
따라서 원이 축과 만나는 두 점의 좌표는 각각 A , B 으로 놓을 수 있다.
그런데 이 두 점은 타원의 초점이고 점 P는 타원 위의 점이므로
AP BP … ㉠
삼각형 APB에서 ∠APB 라 하면
AP BP × AP× BP× cos … ㉡
각 ∠APB는 호AB의 원주각이고, 원의 중심을 C 이라 하면 각
∠ACB는 호 AB의 중심각이다. 따라서 ∠ACB 에서
∠OCA ∠APB
이때 AC , OC 이므로 cos
… ㉢
㉠, ㉡, ㉢에서 AP× BP
확률과 통계 정답과 해설
30. [정답]
[풀이]
[출제의도] 타원의 방정식을 이해하고 교점의 좌표를 구한다.
타원
의 두 초점의 좌표를 각각
, (단, ) 이라 하면 에서
따라서 점 B는 타원의 한 초점이고 다른 한 초점은 C 이다.
PB PC 이고, PA PB 이므로 PA PC
타원의 장축의 길이는 이므로 점 A의 좌표는 이다. 즉, 삼각형 PAC는 이등변삼각형이므로 점 P의 좌표는 이다.
에서
또는
P
또는 P
이므로 PA
∴
3. 쌍곡선 31. [정답] ④ [풀이]
이므로 ∴
32. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해하고 선분의 길이를 구한다.
쌍곡선의 방정식을
( , )이라 하면 점근선의 방정식이 , 이므로
,
쌍곡선의 또 다른 초점을 점 F′이라 하면 삼각형 PF′F에서 점 O는 변 F′F의 중점이고 점 M은 변 PF의 중점이므로
PF′ OM
PF MF
PF′ PF
∴
㉠, ㉡에서
따라서 주축의 길이는
34. [정답]
[풀이]
[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 쌍곡선의 주축의 길이를 구할 수 있는가?
쌍곡선의 방정식을
단, 로 놓으면 점근선의
방정식은 ±
이므로
조건 (가)에서 PF′ PF이고, 점 P가 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 PF′ PF 이므로
PF PF′
이때, ≤ PF≤ 이므로 ≤ ≤
≤ ≤ ··· ㉠
점 A의 좌표는
쌍곡선의 정의에 의하여
이므로
점 F의 좌표는
AF
조건 (나)에서 선분 AF의 길이가 자연수이므로 는 의 배수이어야 한 다.
이때 ㉠에서
따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는
35. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 쌍곡선의 성질 이해하기 원 과 쌍곡선
이 만나는 네 점이 원의 둘레를 등 분하므로
쌍곡선이 점 를 지난다.
… ㉠
쌍곡선의 한 점근선의 방정식이
이므로
… ㉡
따라서 ㉠, ㉡에 의하여
36. [정답]
[풀이]
[출제의도] 쌍곡선의 성질 이해하기 쌍곡선의 방정식을
( , )이라 할 때, 주어진 조건에
정답과 해설 교육청/평가원
[그림 1]
[그림 1]과 같이 PF , QF 라 하면
점 F와 점F′, 점 P와 점 Q는 각각 원점에 대해 대칭이므로
PF QF′이고 PF⫽QF′이므로
□PFQF′은 평행사변형이다.
따라서 PF QF′ 이고 쌍곡선의 정의에 의해
QF QF′ ……㉠
이다.
주어진 조건에 의해
PF× QF QF′× QF ……㉡
이므로
㉠，㉡을 연립하면
,
이다.[그림 2]
[그림 2]와 같이 PG , QG 라 하면
점 G와 점G′, 점 P와 점 Q는 각각 원점에 대해 대칭이므로
PG QG′이고 PG⫽QG′이므로
□PGQG′은 평행사변형이다.
따라서 PG QG′ 이고 쌍곡선의 정의에 의해
QG QG′ ……㉢
이다.
주어진 조건에 의해
PG× QG QG′× QG ……㉣
이므로
㉢，㉣을 연립하면
, 이다.
따라서 구하는 값은
이다.38. [정답] ① [풀이]
이므로
ⅰ) 주축길이는
ⅱ) 초점의 좌표
∵
ⅲ) 원의 반지름
∵
∵
′ ∵쌍곡선의 정의)
∆은 직각삼각형 ∵ 는 접선)
∴
∴′
39. [정답] ③ [풀이]
쌍곡선의 정의로부터 PF PF′
FQ의 최댓값은 PF PF′이므로 PF PF′
따라서 PF′ 이므로 원 의 넓이는
[다른풀이]
원 의 반지름의 길이를 이라 할 때, 타원의 정의에 의하여 FP 이다.
선분 FQ의 길이가 최대일 때의 점 Q의 위치는 그림과 같다.
위 그림에서 선분 FQ의 길이의 최댓값은 이므로
∴ 따라서 원 의 넓이는 이다.
40. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 쌍곡선의 정의를 활용할 수 있는가?
쌍곡선
의 초점은 F F′
점 P가 사분면 위의 점이므로
PF′ PF ··· ㉠
△PF′F가 이등변삼각형인 경우는
PF′ F′F이거나 PF F′F일 때이다.
(ⅰ) PF′ F′F 일 때
PF (∵ ㉠에서)