인 사면

체 ABCD 에 대하여 점 A 의 평면 BCD 위로의 정사영을 P 라 하고 점 A 에서 선분 BC 에 내린 수선의 발을 Q 라 하자.

cos∠AQ P    

 ^ 

일 때, 삼각형 BCP 의 넓이는  이다. 

^

의 값 을 구하시오.

[4점][2015(B) 9월/평가원 26]

121.^121.

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정팔면체 ABCD EF 가 있다.

두 삼각형 ABC , CBF 의 평면 BEF 위로의 정사영의 넓이를 각각





, 



라 할 때, 

_

 

_

의 값은?

[4점][2015(B) 10월/교육청 19]

①  

  ^ 

②  ^  ③  

  ^ 

④  

  ^ 

⑤   ^ 

122.^122.

한 변의 길이가 인 정육면체 ABCD  EFG H 와 밑면의 반지 름의 길이가  ^  이고 높이가 인 원기둥이 있다. 그림과 같이 이 원기 둥의 밑면이 평면 ABCD 에 포함되고 사각형 ABCD 의 두 대각선의 교점과 원기둥의 밑면의 중심이 일치하도록 하였다. 평면 ABCD 에 포 함되어 있는 원기둥의 밑면을 , 다른 밑면을  라 하자.

평면 AEG C 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을  MN , 평면 BFHD 가 밑면 와 만나서 생기는 선분을  P Q 라 할 때, 삼각형 MP Q 의 평면 D EG 위로의 정사영의 넓이는  

  ^  이다. 

^

 

^

의 값을 구하시오.

(단,  ,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 7월/교육청 30]

A

B

E

D

C

H P

Q

M

N

1. 공간도형 Ⅲ 공간도형과 공간좌표

123.^123.

그림과 같이 정사면체 ABCD 의 모서리 CD 를    로 내분하는 점을 P 라 하자. 삼각형 ABP 와 삼각형 BCD 가 이루는 각의 크기를

 라 할 때, cos 의 값은?  ^{단,     } 

 

[4점][2012(가) 7월/교육청 21]

A

D

C B

P

①  

 ^ 

②  

 ^ 

③  

 ^ 

④  

 ^ 

⑤  

 ^ 

두 평면의 교선을 알 때, 정사영의 넓이를 이용한 이면각 04

124.^124.

그림과 같이 평면  위에 넓이가  인 삼각형 ABC 가 있고, 평 면  위에 넓이가  인 삼각형 ABD 가 있다. 선분 BC 를    로 내 분하는 점을 P 라 하고 선분 AP 를    로 내분하는 점을 Q 라 하자.

점 D 에서 평면  에 내린 수선의 발을 H 라 하면 점 Q 는 선분 BH 의 중점이다. 두 평면 ,  가 이루는 각을  라 할 때, cos    

 이 다.    의 값을 구하시오. (단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 27]

125.^125.

그림과 같이 반지름의 길이가  인 구  와 서로 다른 두 직선  ,

 이 있다. 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A , B , 구  와 직선  이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P , Q 라 하자. 삼 각형 AP Q 는 한 변의 길이가   ^  인 정삼각형이고  AB    ^  ,

∠ABQ   

 일 때 평면 AP B 와 평면 AP Q 가 이루는 각의 크기  에 대하여  cos

^

 의 값을 구하시오.

[4점][2016(가) 7월/교육청 29]



 A

B

P Q



기하와벡터 1. 공간도형 두 평면의 교선을 알 수 없을 때, 정사영 넓이를 이용한 이면각

05

복잡한 도형의 정사영의 넓이 06

126.^126.

반지름의 길이가 , 중심이 O인 원을 밑면으로 하고 높이가

  ^  인 원뿔이 평면  위에 놓여있다. 그림과 같이 태양광선이 평면

 에 수직인 방향으로 비출 때, 원뿔의 밑면에 의해 평면  에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원뿔의 한 모선이 평면  에 포함된다.)

[3점][2013(B) 7월/교육청 13]

①  

 ②  

 ③  



④  

  ⑤  



127.^127.

그림과 같이 평면  위에 ∠A   

 ,  AB   AC    ^  인 삼각 형 ABC 가 있다. 중심이 점 O 이고 반지름의 길이가  인 구가 평면  와 점 A 에서 접한다. 세 직선 O A, O B , O C 와 구의 교점 중 평면  까지의 거리가 보다 큰 점을 각각 D, E , F라 하자. 삼각형 D EF 의 평면 O BC 위로의 정사영의 넓이를  라 할 때, 

^

의 값을 구하시 오.

[4점][2015(B) 7월/교육청 30]

A

B

C O

D F E

부채꼴과 이등변삼각형으로 나누어진 단면의 정사영의 넓이 07

태양빛이 수직으로 만나서 생기는 그림자인 사사영의 넓이 08

정사면체의 활용 09

128.^128.

그림은 모든 모서리의 길이가  인 정삼각기둥 ABC  D EF의 밑면 ABC 와 모든 모서리의 길이가  인 정사면체 O ABC 의 밑면 ABC 를 일치시켜 만든 도형을 나타낸 것이다. 두 모서리 O B , BE 의 중점을 각각 M, N 이라 하고, 두 평면 MCA , NCA 가 이루는 각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

[4점][2014(B) 10월/교육청 21]

①　  

  ^     ^ 

②　  

  ^    ^ 

③　  

  ^    ^ 

④　  

 ^    ^ 

⑤　  

  ^    ^ 

2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표

1 공간좌표

공간좌표의 이해 01

129.^129.

좌표공간의 점 P    을  평면에 대하여 대칭이동시킨 점 을 Q라 하자. 두 점 P 와 Q 사이의 거리는?

[3점][2015(B) 9월/평가원 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

130.^130.

좌표공간에 두 점        과        을 지나는 직선  이 있 다. 점        와 직선  사이의 거리가 5일 때, 

^

의 값은?

[4점][2014(B) 9월/평가원 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

131.^131.

좌표공간에서  축을 포함하는 평면  에 대하여  평면 위의 원 



   

^

 

^

  의 평면  위로의 정사영의 넓이와  평 면 위의 원 



 

^

   

^

  의 평면  위로의 정사영의 넓이가

 로 같을 때,  의 값은?

[4점][2013(B) 9월/평가원 19]

①  

 ^ 

 ②  

 ^ 

 ③  

  ^ 



④  

  ^ 

 ⑤  

  ^ 



2 선분의 내분점과 외분점

선분의 내분점과 외분점 01

132.^132.

좌표공간에서 두 점 A    , B    에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점이 축 위에 있을 때,   의 값은?

[3점][2015(B) /수능 5]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

133.^133.

좌표공간에서 두 점 A     B    에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점의 좌표가   이다.   의 값은?

[점][2014(B) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

134.^134.

좌표공간에서 두 점 A     B     에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점의 좌표가   이다.   의 값은?

[2점][2013(가) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

135.^135.

좌표공간의 두 점 A    B   에 대하여 선분 AB 를   로 외분하는 점이 축 위에 있을 때,   의 값은?

[3점][2017(가) /수능 8]

①   ②   ③  

④   ⑤  

기하와벡터 2. 공간좌표

136.^136.

좌표공간에서 두 점 A      B   에 대하여 선분 AB 를   로 내분하는 점의 좌표가   이다.   의 값은?

[2점][2016(가) 9월/평가원 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

137.^137.

좌표공간에서 두 점 A  , B   에 대하여 선분 AB 를    로 내분하는 점이  평면 위에 있을 때,  의 값은?

[2점][2013(B) 7월/교육청 3]

①   ②   ③ 

④  ⑤ 

138.^138.

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 정삼각기둥 ABC­D EF 가 있다. 변 D E 의 중점 M에 대하여 선분 BM을    로 내분하는 점을 P 라 하자.  CP  일 때,  

^

의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 7월/교육청 27]

E C

P

M

B A

D

F

139.^139.

좌표공간에서 두 점    ,     를 이은 선분 

를    로 외분하는 점의 좌표가    일 때,    의 값은?

[2점][2012예비(B) 5월/평가원 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

삼각형의 무게중심 02

140.^140.

좌표공간에서 세 점 A    , B    , C   을 꼭 짓점으로 하는 삼각형의 무게중심의 좌표가   일 때,    의 값 은?

[2점][2016(B) /수능 3]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

2. 공간좌표 Ⅲ 공간도형과 공간좌표

3 구의 방정식

구의 방정식 01

141.^141.

구 

^

 

^

 

^

          을  평면으로 자른 단면 을 밑면으로 하고, 구에 내접하는 원뿔의 부피의 최댓값은?

[3점][2012(가) 7월/교육청 9]

①  

  ②  

  ③ 

④  

  ⑤  

 

142.^142.

좌표공간에서 구   

^

   

^

   

^

  과 구 

^

 

^

 

^

        이 원점에서 서로 접할 때,

   의 값은? (단,  ,  는 상수이다.)

[4점][2013(B) 9월/평가원 15]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

143.^143.

좌표공간에서 중심의  좌표,  좌표,  좌표가 모두 양수인 구

 가  축과  축에 각각 접하고  축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

구  가  평면과 만나서 생기는 원의 넓이가  이고  축과 만나 는 두 점 사이의 거리가  일 때, 구  의 반지름의 길이는?

[4점][2014(B) /수능 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

144.^144.

좌표공간에 구   

^

 

^

 

^

  과 점 P    가 있다.

다음 조건을 만족시키는 모든 원 에 대하여 의  평면 위로의 정사 영의 넓이의 최댓값을  

 라 하자.   의 값을 구하시오. (단, 와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2015(B) /수능 29]

(가) 원 는 점 P 를 지나는 평면과 구 가 만나서 생긴다.

(나) 원 의 반지름의 길이는 이다.

기하와벡터 2. 공간좌표 구의 위치 관계

02

145.^145.

그림과 같이 평면  위에 놓여 있는 서로 다른 네 구  , 



,



_

, 

_

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  의 반지름의 길이는 3이고, 

_

, 

_

, 

_

의 반지름의 길 이는 1이다.

(나) 

_

, 

_

, 

_

은 모두  에 접한다.

(다) 



은 



와 접하고, 



는 



과 접한다.





, 



, 



의 중심을 각각 O

_

, O

_

, O

_

이라 하자. 두 점 O

_

, O

_

를 지나고 평면  에 수직인 평면을  , 두 점 O

_

, O

_

을 지나고 평면

 에 수직인 평면이 



과 만나서 생기는 단면을 D 라 하자. 단면 D 의 평면  위로의 정사영의 넓이를  

  라 할 때,    의 값을 구하시오.

(단,  와  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2014(B) 9월/평가원 29]

구 밖의 한 점에서 그은 접선의 자취 03

구의 방정식의 활용 04

146.^146.

좌표공간에서 구

    

^

   

^

   

^

 

위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 에서 구  에 접하는 평면이 구



^

 

^

 

^

 과 만나서 생기는 도형의 넓이의 최댓값은

    ^  이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 자연수이다.)

[4점][2012(가) 9월/평가원 27]

1. 공간벡터 Ⅳ 공간벡터

1 공간벡터

공간벡터의 덧셈과 뺄셈의 크기 01

구의 벡터의 크기 02

공간벡터의 성분과 크기 03

공간벡터의 위치벡터 04

세 점이 한 직선 위에 있을 조건 05

2 공간벡터의 내적

공간벡터의 내적 01

147.^147.

좌표공간에서 네 점 A

_

, A

_

, A

_

, A

_

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  A

_

A

_

   A

_

A

_

   (나)  

  A

_

A

_

∙  ^{ A}

^

^A

^

^{ } 

  A

_

A

_

 ^{ cos } 

  

 (     )

 A

_

A

_

의 최댓값을  이라 할 때, 

^

의 값을 구하시오.

[4점][2012(가) 9월/평가원 29]

공간벡터의 내적의 범위의 활용 02

성분으로 주어진 공간벡터의 내적 03

두 벡터가 이루는 각의 크기 04

공간벡터의 수직 조건과 평행 조건 05

공간벡터의 내적의 연산의 활용 06

148.^148.

한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 삼각형 ABC 의 무게중심을 O , 선분 AD 의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터  O Q 와  O P 가 서로 수직일 때,

 ^ P Q  의 최댓값은  

 이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 서로 소인 자연수이다.)

[4점][2017(가) 수능 29]

기하와벡터 1. 공간벡터 성분으로 주어진 공간벡터의 내적의 최대 최소

07

149.^149.

중심이 C 이고 반지름의 길이가  인 구와 구 위의 한 점 A 가 있다. 구 밖의 한 점 B 를  AB   이고  CB   가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터  BA   BP 의 내적  BA ∙  BP 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[4점][2012(가) 10월/교육청 28]

150.^150.

좌표공간에서 두 점 A    , B       에 대하여 두 점 P, Q 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가)  O A ∙  O P   ,  ^ O P    (나)  AB ∙  BQ   ,  ^ BQ   

 O P ∙  AQ 의 최댓값이     ^  일 때, 두 유리수  ,  에 대하여 

의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 29]

2. 도형의 방정식 Ⅳ 공간벡터

1 직선과 평면의 방정식

공간상 직선의 방정식 01

151.^151.

좌표공간에서 두 점 A   , B    을 지나는 직선과 직선         이 서로 수직일 때,  의 값은?

[3점][2014(B) /수능 6]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

직선과 교점의 좌표 구하기 02

평면의 방정식 03

152.^152.

좌표공간에서 직선  

  

  

  

  

  

에 수직이고, 점        를 지나는 평면의 방정식을          이라 할 때,      의 값을 구하시오. (단,      는 상수이다.)

[3점][2014(B) 9월/평가원 24]

153.^153.

좌표공간에 점 P    가 있고 평면 위의 원 

^

 

^

  위에 두 점 A, B 가 있다. 평면 ABP 의 법선 벡터가

      일 때, 선분 AB 의 길이는?

[4점][2016(가) 9월/평가원 18]

①  ^  ②   ^  ③  ^ 

④   ^  ⑤  ^ 

직선과 평면의 교점 04

직선과 평면의 활용 05

154.^154.

좌표공간에서 세 직선

      

 ,      

 ,     

   



가 같은 평면 위에 있을 때,   의 값을 구하시오. (단,  ≠  이다.)

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 28]

두 평면의 교선의 방정식 06

평면에 대하여 대칭인 점 07

직선과 평면의 위치 관계 08

155.^155.

좌표공간에서 직선        

     와 평면  가 점 A     에서 수직으로 만난다. 평면  위의 점 B     와 직선  위의 점 C 에 대하여 삼각형 ABC 가 이등변삼각형일 때, 점 C 에서 원점까지의 거리는  이다. 

^

의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 9월/평가원 28]

기하와벡터 2. 도형의 방정식 두 직선과 평면이 이루는 교각

09

156.^156.

좌표공간에서 평면         과  평면이 이루는 예각 의 크기를 라 할 때, cos 의 값은?

[3점][2017(가) /수능 12]

①  

 ②  

 ③  



④  

 ⑤  



157.^157.

두 평면    ^      ,    이 이루는 각의 크기를  라 할 때, sin 의 값은?

[3점][2016(가) 10월/교육청 11]

①  

 ②  

 ③  

 ^ 

④  

 ^ 

⑤  

 ^ 

직선과 평면이 이루는 각 10

두 평면이 이루는 이면각과 정사영의 넓이 11

158.^158.

좌표공간에 점 A    과 평면           이 있 다. 평면  위의 점 P 가  AP ≤  을 만족시킬 때, 점 P 가 나타내는 도형의  평면 위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2016(B) /수능 19]

①  

  ②  

  ③ 

④  

  ⑤  

 

159.^159.

좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 높이는 이다.

(나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면    과 오직 한 점    에서 만난다.

이 원기둥의 한 밑면의 평면    위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2012(가) 9월/평가원 14]

①  

  ②  

  ③  

 

④  

  ⑤  

 