수능(94~17학년도), 모의고사(03~16년)
단원 : 방,부등식-그래프
1.
1) 일차함수 와 이차함수 의 그래프가 아래 그림과 같 을 때 분수방정식
의 실근의 개수는?
[3점][2004년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
2.
2) 아래 그림은 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 의 그래 프와축에 대하여 대칭인 이차함수 의 그래프이다. 방 정식
의 모든 근의 곱을 구하시오.
[4점][2004년 6월]
3.
이차함수 에 대하여 이다. 곡선 와 직선 가 그림과 같이 주어져 있을 때, 방정 식
의 실근의 개수는? (단, 점선은 좌표축에 평행하다.) 3)
[4점][2005년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
4.
두 함수 의 그래프가 다음과 같다. ∣ ≦ , 는 정수,
∣
≧
일 때, ∩의 원소의 개수는?4)
[4점][2007년 5월]
O
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
2 방부등식-그래프
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5.
이차함수 와 사차함수 의 그래프가 다음과 같 을 때, 방정식
의 모든 근의 합을 구하시오.5)
[3점][2008년 4월]
O
6.
함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 무리방정식 의 실근의 개수는? 6)[점][2008년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
7.
그림과 같이 삼차함수 의 그래프가 축과 세 점 , , 에서 만날 때, 부등식
≦ 을 만족시키는 정수 의 개수는? 7)
[3점][2008년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
8.
아래 그림은 좌표평면에서 중심이 원점 O이고 반지름의 길이 가 인 원과 점 을 지나는 이차함수 의 그래프 를 나타낸 것이다. 방정식
의 서로 다 른 실근 의 개수는?8)
[3점][2009학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
방부등식-그래프 3
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9.
9) 그림과 같이 삼차함수 의 그래프와 직선 은 세 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 이다.부등식
≧
을 만족시키는 실수 의 최댓값을 , 최솟값을 이라 할 때, 의 값은?
[4점][2009년 6월]
① ②
③
④ ⑤
10.
그림은 이차함수 와 삼차함수 의 그래프이 다. 일 때 부등식
≧ 을 만족하는 모든 정수 해의 곱을 구하시오. 10)
[3점][2009년 7월]
11.
구간 에서 정의된 연속함수 의 그래프가 그림 과 같다.방정식 의 실근의 개수를 구하시오.11)
[3점][2009년 9월]
12.
12) 그림과 같이 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 의 그래프가 축과 네 점
에서만날 때, 부등식
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는?
[3점][2009년 10월]
① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8
수 리 영 역
4 방부등식-그래프
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13.
그림과 같이 삼차함수 의 그래프가 점 P 에서축에 접하고 일차함수 의 그래프와 한 점 P에서만 만 난다. 일 때, 방정식
의 실근의 개수는? 13)
[4점][2010학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
14.
14) 이차함수 의 그래프가 그림과 같다. 두 집합
｜
≤
, ｜ 에 대하여 집합 ∩에 속하는 정수의 개수는?
(단, )
[3점][2010년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
15.
15) 꼭짓점의 좌표가 인 이차함수 의 그래프가 그 림과 같다. 방정식 의 서로 다른 실근의 개수는?[3점][2010년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
16.
그림과 같이 이차함수 의 그래프와 직선
는 두 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , 이다.
무리방정식 의 모든 실근의 합을 구 하시오. 16)
[3점][2010년 10월]
수 리 영 역
방부등식-그래프 5
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17.
정의역이 ≦ ≦ 인 함수 의 그래프가 그림과 같다.이때, 방정식
를 만족시키는 실근의 개수는? 17)
[4점][2011년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
18.
대칭축이 인 이차함수 의 그래프가 그림과 같다.방정식 의 모든 실근의 합은?18)
[3점][2011년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
19.
아래 그림은 역함수가 존재하는 함수 의 그래프와 직선 를 나타낸 것이다. ≤ ≤ 에서 부등식
≤ 을 만족시키는 모 든 정수 의 개수는?19) (단, 는 의 역함수이다.)
[3점][2011년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
20.
이차함수 와 삼차함수 의 그래프가 그림과 같다. 이고, 함수 가 에서 극솟값 를 가질 때, 방정식
의 서로 다른 실근의 개수 는?20)
[3점][2012학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
6 방부등식-그래프
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21.
두 다항함수 와 의 그래프가 그림과 같다. ≤ ≤ 에서 방정식
의 실근의 개수는? 21)
[4점][2012년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
22.
이차함수 의 그래프가 그림과 같다.
O
일 때, 부등식
≤ 을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은? 22)
[3점][2012년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
23.
닫힌 구간 에서 정의된 함수 와 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식
≧
을 만족시키는 정수 의 개수는?23)
[4점][2012년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
24.
24) 이차함수 와 삼차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 부등식
을 만족시키는 모든 정수 의 값 의 합은?
[점][2012년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
방부등식-그래프 7
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25.
25) 그림과 같이 삼차함수 의 그래프와 이차함수 의 그래프는 세 점에서 만나고 그 교점의 좌표는
이다. 부등식
≥ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수는? (단, )
[3점][2012년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
26.
26) 두 이차함수 , 에 대하여 함수 의 그래프 와 함수 의 그래프가 그림과 같다.부등식
≧ 을 만족시키는 정수 의 개수는?
[3점][2012년 5월]
① ② ③ ④ ⑤
27.
27) 그림과 같이 이차함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 두 점에서 만난다.
O
방정식
의 실근의 개수는?
(단, , )
[4점][2013년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
28.
28) 꼭짓점의 좌표가 인 이차함수 의 그래프가 그 림과 같다. 방정식 의 서로 다른 모든 실근의 합은?[점][2013년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
8 방부등식-그래프
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29.
29) 사차함수 의 그래프가 그림과 같고, 함수 의 극댓값은 , 두 극솟값은 각각 , 이다.방정식 의 서로 다른 실근의 개수는?
[3점][2013년 9월]
① ② ③ ④ ⑤
30.
30) 그림과 같이 닫힌 구간 에서 정의된 함수 와 함 수
의 그래프가 세 점에서 만나고 그 세 점의
좌표는 이다. 부등식
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는? (단, )
[3점][2014학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
31.
31) 그림과 같이 이차함수 와 삼차함수 의 그래 프가 세 점에서 만나고 각 교점의 좌표는 , , 이다.무리방정식 의 실근의 개수는?
(단, , )
[4점][2014년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
32.
32) 삼차함수 와 꼭짓점의 좌표가 인 이차함수 의 그래프가 그림과 같다.
함수 의 그래프와 직선 는 세 점에서 만나고 그 교 점의 좌표는 , , 이고, 함수 의 그래프와 직선
는 두 점에서 만나고 그 교점의 좌표는 , 이다.
O
부등식
∘
≤ 을 만족시키는 모든 정수 의 개수는?
[4점][2014년 4월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
방부등식-그래프 9
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33.
33) 함수 에 대하여 부등식
≥
을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은?
[4점][2014년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
34.
34) 그림과 같이 다항함수 의 그래프와 일차함수 의 그래프는 좌표가 , , 인 세 점에서만 만난다. 부등식
≤ 을 만족시키는 정수 의 개수는?
[3점][2014년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
35.
35) 그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 의 그 래프와 축에 대하여 대칭인 사차함수 의 그래프가 네 점에서 만나고 그 네 점의 좌표는 , , , 이다.방정식
의 모든 실근의 곱은?
[4점][2015년 3월]
① ② ③ ④ ⑤
36.
36) 그림과 같이 원점에 대하여 대칭인 삼차함수 의 그 래프와 일차함수 의 그래프가 에서 접하고 에서 만난다. 이고 일 때,방정식
의 서로 다른 실근의 개수는?
[4점][2015년 4월]
O
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
10 방부등식-그래프
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37.
닫힌 구간 에서 정의된 연속함수 의 그래프 가 그림과 같다.방정식
의 실근의 개수는? 37)
[3점][2015년 6월]
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5
38.
38) 직선 에 접하고 점 를 지나는 이차함수 의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식
의 서로 다른 실근의 개수는?
[3점][2015년 7월]
O
① ② ③ ④ ⑤
39.
39) 함수
≥
의 그래프가 그림과 같다.
무리방정식 의 서로 다른 실근의 개수는?
[3점][2016학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
방부등식-그래프 11
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[해설] 방,부등식-그래프
1) ②[출제의도] 그래프에서 분수방정식의 근을 이해할 수 있다.
분수방정식의 양변에 를 곱하여 정리하면
∴
,
따라서 구하는 실근의 개수는 두 곡선 ,
의 교점 또는 , 의 교점 중 ≠ 인 것의 개수와 같다.
아래의 그림에서 구하는 개수는 개이다.
O
2) 36
⇔ , ≠±
(ⅰ) 에서
두 함수 의 교점의 좌표는 이므로 방정식
의 근은 이다.
그러나, ≠ 이므로 방정식의 근은 이다.
(ⅱ) 에서
⋯㉠
이 때, , 이므로 ㉠에서
로 놓으면
(ⅰ)에서 방정식 의 근은
∴
그러나, ≠ 이므로 방정식의 근은 이다.
따라서, 구하는 모든 근의 곱은
⋅⋅⋅
3) ②
의 양변에
를 곱하면 (단, ≠ ) 즉,
와 의 그래프의 교점을 구하면 그림과 같다.
1
O
교점의 좌표는 , ,
4) ④
[출제의도] 그래프에서 분수부등식의 해 구하기
≧ ,
≧
⇔ ≧ 이고 ≠ (ⅰ) , ≧ 일 때 그래프에서 ≦ (ⅱ) , ≦ 일 때 그래프에서 ≦ ≦ (ⅰ)과 (ⅱ)에서 만족하는 정수는 ∣ ≦ ≦ ≦
그러므로 ∩ 로 6개이다.
5) 15
⇔ , , ≠ ∴
6) ③
의 양변을 제곱하여 풀면
또는
를 만족하는 근 개
을 만족하는 근 개 따라서 근의 개수는 개 7) ④
( )이므로
≦ ( ≠ ) 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.
8) ②
의 좌변을 통분하여 정리하면
∴
∴ ±
따라서 구하는 방정식의 실근은두 곡선 , ±
가 만나는 점의 좌표 중에서 ≠± , ≠ 인 좌표와 같다.
그런데 ±
의 그래프는 원 과 같으므로 아래 그림에서 두 곡선 , ±
는 서로 다른 네 점에서 만난다.그런데, ≠ , ≠ 이므로 점 은 제외해야 한다.
따라서 구하는 실근의 개수는 이다.
수 리 영 역
12 방부등식-그래프
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9) ③
로 치환하면 부등식
≧
⇆
≧
(i) 이면 ≦ 이어야 하므로 주어진 그래프에서 두 조건을 만족하는 의 범위는 ≦ ≦ 이다.
(ii) 이면 ≧ 이어야 하므로 같은 방법으로 의 범위를 구하면 ≦ 이다.
∴ ≦ , ≦ ≦ ≦
,
≦ ≦
∴ M
, , M
10)
≧ (단, ≠ ≠ )
≧ 이므로 1) 이면 ≧
∴ 해는
2) 이면 ≦
∴ 해는
은 무연근이므로 모든 근들의 곱은
11) 8개
로 치환하면 주어진 식은
≥
···⒜
위 식을 정리하면
∴
또는 이다.
위의 ⒜조건을 만족하는 값은 이다.
즉 의 교점이 주어진 방정식의 근을 만족한다.
따라서 교점의 개수는 8개이다.
12) ③
≤ ⇔
≤ (ㄱ) ≥
≥ ⇒ ≤
≤ ≤
≥
⋯①
⇒ ⋯②
①, ②를 동시에 만족시키는 의 범위는
≤ ≤
⇒ ⋯④
③, ④의 공통부분의 범위는
≤ ≤
∴ 정수의 해는 -4, -3, -2, 3, 4 이다. ∴ 5개 (ㄱ),(ㄴ)에 의해 정수해의 개수는 6개이다.
13) ④
양변에 를 곱하여 정리하면
∴ 또는
먼저, 에서 ≠ , ≠ 이므로 실근의 개수는 이다.
에서
이고
의 그래프는 을 지나고, 기울기가 음수이므로
＜로 나타낼 수 있다.
따라서,
에서
이때, ＜에서 ＜ 이다.
따라서,
에서 일 때,
이고,
＜이다.
그림에서 방정식
의 실근의 개수는 이다.
따라서, 구하는 실근의 개수는 이다.
14) ③
그래프에서 라고 할 수 있으므로
≤ 라고 할 수 있다.
부등식
≤ 을 풀면
≤
≤
≤
≤
∣ ≤ 이다.
집합 이므로 교집합에 속하는 정수의 개수는
수 리 영 역
방부등식-그래프 13
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⋯㉠ 양변을 제곱하면
또는
이면 ㉠에서 가 되어 모순
∴
곡선 와 직선 은 서로 다른 두 점에서 만나고 교점의
좌표를 라 하면 방정식 의 실근은 또는 이다.
(ⅱ) 일 때, 주어진 방정식은
⋯㉠ 양변을 제곱하면
이므로 이고, 이는 방정식 ㉠을 만족한다.
곡선 와 직선 는 점 에서 접하므로 방정식 의 실근은 이다.
(ⅰ)(ⅱ)에서 주어진 방정식의 실근은
의 3개이다.
16)
라 하면 , ∵≧
∴ ,
이므로 따라서 이므로 모든 실근의 합은 이다.
17) ③ 방정식
에서
이므로
≠ ≠
이다.
에서
교점 7개에서
인 3개의 교점을 제외하면 근이 4개 이고,
에서 교점이 3개지만 ≠ 이므로 에서의 교점을 제외하면 근이 2개이다.
따라서 근은 6개이다.
18) ⑤
라고 하면
양변을 제곱하면
,
∴ 또는 이때, 은 무연근이므로
…㉠
따라서 의 그래프와 직선 의 교점의 좌표를 각각
라고 하면 그림과 같다.
즉, ㉠을 만족하는 의 값의 합은
∴ 19) ④
(i) , ≤ 에서 ≤ (ii) , ≥ 에서 ≤ ≤ 따라서 구하는 정수 의 개수는 이다.
20) ④
에서
⇔ 또는 그리고 ≠
서로 다른 실근의 개수는
인 것: or 의 개
인 것: 의 개 이 중 인 것:
∴ (개) 21) ④
방정식
에서
수 리 영 역
14 방부등식-그래프
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≠ , ≠
(ⅰ) 방정식 의 해는 또는 또는 이다.
그런데 은 무연근이므로 구하는 해는 또는 이다.
(ⅱ) 방정식 의 해는 또는 또는 이고 이들은 모두 무연근이 아니다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 해의 개수는 이다.
22) ⑤
( )라 하면 부등식
≤ 에서
≤ 이므로
≠ 이고
≤ 이다.
≤ 의 양변에 을 곱하여 정리하면
≤ ( ≠ , ≠ )이다.
따라서 부등식
≤ 을 만족시키는 자연수 는 , , , 이므로 모든 자연수의 합은
23) ②
부등식
≧ (단, ≠ , ≠ ) 따라서 , , 는 구하는 정수 가 아니다.
구간 내의 인 세 근을 , , 라 하자.
ⅰ) 에서 , 이므로 ≧ 인 정수 는 , 이다.
ⅱ) 에서 , 이므로 ≦ 인 정수 는 존재하지 않는다.
ⅲ) 에서 , 이므로 ≧ 인 정수 는 이다.
ⅳ) 에서 , 이므로 ≦ 인 정수 는 이다.
따라서 로 개다.
24) ④
[출제의도] 부등식 이해하기
의 그래프와 의 그래프는 다음과 같다.
- -
O
의 해는
의 해와 일치하므로 일 때 또는
일 때 그러므로 만족하는 해는 이다.
따라서 만족하는 정수해는 이고 그 합은 이다.
25) ③
[출제의도] 분수부등식과 함수의 그래프 사이의 관계를 이해한다.
≥ 에서 ≥ 이고 ≠ 즉, ≤ 이고 ≠
ⅰ) 이고 ≤ 인 경우 이면 또는 ≤ 이면 ≤ 또는 ≤ ≤ ∴ ≤
ⅱ) 이고 ≥ 인 경우 이면 또는 ≥ 이면 ≤ ≤ 또는 ≥ ∴ ≤
따라서 구하는 정수는 의 개다.
26) ②
(단, ),
(단, )라 하면
≧ 에서
≧ ,
≦ ,
≦ ,
≦ ,
≦ ≠ ≠
∴ ≦ , ≦
∴ 로 개다.
27) ②
[출제의도] 무리방정식 이해하기
, ≠ 이므로
ⅰ) 인 경우 (∵ 은 무연근)
O
수 리 영 역
방부등식-그래프 15
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ⅱ) 인 경우
(∵ , 은 무연근)
O
ⅰ), ⅱ)에 의하여 실근은 또는 따라서 실근의 개수는
28) ②
[출제의도] 무리방정식의 성질 이해하기 방정식 의 양변을 제곱하면
∴ (∵≥ )
O
와 이 만나는 점의 좌표를 라 하면
의 그래프가 직선 에 대하여 대칭이므로
∴
29) ①
∴ ≥ … ㈎
∴ (∵ ㈎) 따라서 와 그래프의 교점은 3개 30) ⑤
[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 분수부등식의 해를 구할 수 있는가?
≤ ⇔
≤ ⇔ ≤ ≠ (ⅰ) ≥ 일 때,
≤ 이므로 정수 의 값은 이다 (ⅱ) ≤ 일 때,
≤ ≤ , ≤ 이고 , 이므로
31) ③
[출제의도] 무리방정식을 이해하고 함수의 그래프를 이용하여 해를 구한다.
… ㉠
㉠의 양변을 각각 제곱하면
∴ 또는
ⅰ) 를 ㉠에 대입하면 (좌변)=(우변)=
ⅱ) 를 ㉠에 대입하면
이므로 ≥ 이어야 한다.따라서 주어진 무리방정식의 실근은 ⅰ)에서 개, ⅱ)에서 개이므로 구하는 실근의 개수는 이다.
32) ③
[출제의도] 분수부등식 이해하기
∘
≤
∘
≤
≤ , ≠
ⅰ) 일 때 ≤
라 하면 ≤
≤ ∵
≤ 이므로 ≤ 또는 ≤ ∴ 정수 는 ,
ⅱ) 일 때 ≥
라 하면 ≥
≤ ∵
≤ 이므로 ∴ 정수 는
따라서 모든 정수 의 개수는 33) ③
⑴ ≥ 일 때,
≥ ⇒
≥ 이므로 ≤ 따라서 ≤ 이므로 조건을 만족시키는 자연수 의 값은
이다.
⑵ 일 때,
≥ ⇒
≥ 이므로 ≤
따라서 ≤
이므로 조건을 만족시키는 자연수 의 값은 존재하지 않는다.
⑴과 ⑵에 의해 조건을 만족시키는 자연수 의 값은 이고 합은 이다.
34) ①
[출제의도] 분수부등식을 이용하여 수학내적 문제해결하기
수 리 영 역
16 방부등식-그래프
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(ⅰ) ≤ , 인 정수해는 존재하지 않는다.
(ⅱ) ≥ , 인 정수해는 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 정수 의 개수는
35) ①
[출제의도] 다항함수의 그래프를 이용하여 분수방정식 문제를 해결한다.
… ㉠ 이므로 구하는 근은 방정식 또는 의 근이다.
(단, ≠ , ≠ )
ⅰ) 일 때
방정식 의 근은 , , , 이므로 이 중에서 분수방정식
㉠의 근은 무연근 를 제외한 , , 이다.
ⅱ) 일 때
함수 가 원점에 대하여 대칭이므로 이고, 함수 가 축에 대하여 대칭이므로 이다.
따라서 는 이다.
방정식 의 근은 , , , 이므로 이 중에서 분수방정식 ㉠의 근은 무연근 를 제외한 이다.
ⅰ), ⅱ)에 의하여
분수방정식
의 근은
, , , , , 이다.
따라서 모든 근의 곱은 이다.
36) ④
[출제의도] 분수방정식을 활용하여 추론하기
이고
≠ 이다.
ⅰ) 일 때
또는
≠ 이고
≠ 이고
∴ 과 는 무연근이 아니므로 서로 다른 실근의 개수는
ⅱ) 일 때
O
의 그래프는 의 그래프를 축에 대하여 대칭이동시킨 후, 축의 방향으로 만큼 평행이동시켜 얻은 그래프이다.
이고
이므로
, 는 무연근이 아니고, 은 무연근이다.
∴서로 다른 실근의 개수는
ⅰ), ⅱ)에서 서로 다른 실근의 개수는
37) ②
주어진 식을 정리하면
이므로 방정식의 실근은
, ≠ ≠±
따라서 실근은 그림에서 표시된 이고 개수는 개이다.
38) ④
[출제의도] 무리방정식을 활용하여 문제해결하기
의 양변을 제곱하면
또는
일 때는 주어진 방정식을 만족시키지 않으므로
따라서 의 서로 다른 실근의 개수는 39) ②
[출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 무리방정식을 풀 수 있는가?
의 양변을 각각 제곱하면
∴ (단, ≤ )
이때 함수 의 그래프와 곡선 가 ≤ 의 범위에서 만나는 서로 다른 점의 개수는 이므로 구하는 서로 다른 실근의 개수는
이다.
