수리 영역

•답안지에 필요한 인적 사항(학교명, 학년, 반, 번호, 성명)을 쓰시오.

•컴퓨터용 사인펜 또는 연필을 사용하여 수험 번호, 생년월일, 학년 구분, 성명을 해당란에 정확히 표기하시오.

•주관식 답의 숫자에0이 포함된 경우, 0을OMR 답안지에 반드시 표기하

시오.

•문항에 따라 배점이 다릅니다. 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은2점, 3점 또는4점입니다.

•계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1 ^.

^{등식L 9+M L M M3M2M M+L 9M ML M3M2M M=2k}이 성립할 때, k의 값은?

(2점)

①––3 ②2

2

③––5 ④3

2

⑤––7 2

( a 2) ( b 2)

2 ^.

^{두 행렬}A= , B= 에 대하여

1 a 1 b

(1 6)

AB= 이 성립할 때, a³+b³의 값은? (3점) 3 1

①18 ②19

③20 ④ 21

⑤22

3 ^.

^{부등식log2(log3}x)62를 만족시키는 정수x의 최소값은? (3점)

①81 ②82

③83 ④84

⑤85

x+200

4 ^.

^부등식––––––––52를 풀면? (2점)

x+100

①x5100 또는x60 ②1005x50

③x50 또는x6100 ④05x5100

⑤x60

수리 영역

( )반 ( )번 성명 ( )

제 2 ^교시

100 분 100 점 가 형

2 학년

y 4

5 ^.

^{두 양수x, y에 대하여––=––이고xy=yx}일 때, x의 값은?

x 3

(3점)

4 &4*²

①–– ② ––

3 3

&4*³ &3*²

③ –– ④ ––

3 4

&3*³

⑤ ––

4

x²a x²+ax2

6 ^.

Ç––––––의 극한값이 존재할 때, Ç–––––––––––의 값은?

x1 xa

(단, a는 상수) (3점)

①3 ②2

③1 ④ 1

⑤3

7 ^.

^{이차정사각행렬A, B에 대하여}<보기> 중 옳은 것을 모두 고 르면? (단, O는 영행렬, E는 단위행렬이다.) (3점)

① ㄴ ② ㄷ

③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ

⑤ ㄴ, ㄷ

8 ^.

<보기> 중 극한값이 존재하는 것을 모두 고르면? (3점)

① ㄱ ② ㄴ

③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

ㄱ. B의 역행렬이 존재할 때, AB=O이면A=O이다.

ㄴ. A²4A+3E=O일 때, A2E의 역행렬은 존재하지 않는다.

ㄷ. A⁵=A³=E이면A=E이다.

<보기>

1+2+3+Å+n ㄱ. Å–––––––––––––––––n² ㄴ. Å(nL nM²MM1 )

ㄷ. Å{log2(2n+1)log2(n+1)}

<보기>

9 ^.

^{양의 실수}x에 대하여 무한등비급수

S=x+x(x²x+1)+x(x²x+1)²+x(x²x+1)³+Å 이 수렴할 때, S의 값의 범위는? (4점)

①05S51 ②05S52

③15S52 ④ S61

⑤S62

10 ^.

^삼차함수y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 f(x)=2+L fM(Mx)의 서로 다른 실근 의 개수는? (3점)

①1 ② 2

③3 ④ 4

⑤5

f(x) f(x)

11 ^.

^{연속함수f(x)에 대하여}Ζ––––=Ç–––––=1이 성립할x x1 때, <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? (3점)

① ㄱ ② ㄴ

③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12 ^.

^함수y=f(x)의 그래프가 오른

& x * 쪽 그림과 같을 때, Ïf –––––

x+1 의 극한값은? (4점)

①0 ②1

③2 ④ ∞

⑤∞

1 x 1 2

2 y

O y＝f(x)

O y

x

－3 4

y＝f(x)

ㄱ. 방정식f(x)=0은 적어도 두 실근을 갖는다.

ㄴ. f(f(1))=0 f(x+1) ㄷ. Ζ–––––––=1x

<보기>

13 ^.

그림과 같이 이웃한 변이 서로 수직으로 이어져 있으며 한 변의 길이가1인 다각형이 차례로 그려져 있다.

그림은k=1, k=2, k=3, k=4인 경우이다. k=n인 다각형 의 둘레의 길이를an, 넓이를bn이라 할 때, a10, b10의 값을 순

서대로 적으면? (4점)

①72, 145 ②72, 181

③76, 145 ④ 76, 181

⑤80, 181

14 ^.

^다음은log 12가 무리수임을 증명한 것이다.

위의 증명 과정에서 ㉮~㉰에 알맞은 것을 순서대로 적으면? (3점)

q q

15 ^.

^{다음은 모든 자연수n에 대하여 부등식}

1 3 5 2n1 1

––"––"––"Å"––––––– –––––––––

2 4 6 2n L 3MnM+M1

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

위의 증명 과정에서 ㉮~㉰에 알맞은 것을 순서대로 적으면? (4점)

①L 3MkM+M1, 2k, 3k+4 ②L 3MkM+M1, 2k+1, 3k+4

③L 3kM +M M1, 2k+1, 3k+5 ④L 3k, 2k, 3k+4M

⑤L 3Mk, 2k+1, 3k+5

16 ^.

^1부터 6까지 적힌 똑같은 주사위 5개를 오른쪽 그림과 같이 쌓았을 때,

㈎와 ㈏의 방향에서 보이는 주사위에 적힌 숫자의 합은 각각11이다. 어두 운 부분의 주사위를 들어내었을 때,

1 5

2 1

3 2

6 4 6 5

㈎

㈏

––1 3

···

k＝4 k＝3

k＝2 k＝1

log 12를 유리수라고 하면

log 12=–– (단qp , p와q는 서로소인 정수이고, p60)

로 놓을 수 있다.

&1*

12= –– , 2^2pΩ3^p=3 3

T2^2pΩ3 =1

p, q가 정수이므로2p=´=0에서p=q=0 이것은 가정에 모순이므로log 12는 무리수이다.––1

3

㉰ ––13 ––13

㉮ ㉯

<증명>

i) n=1일 때, 주어진 부등식은 성립한다.

ii) n=k일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

1 3 5 2k1 1

––"––"––"Å"–––––– –––––––

2 4 6 2k ‰

부등식의 양변에–––––––을 곱하면Í 2k+2

1 3 5 2k1 Í Í

––"––"––"Å"––––––"––––––– ––––––––––––––––

2 4 6 2k 2k+2 (2k+2)‰

© Í ‹² (Í)² 1 –––––––––––––––– =––––––––––––––––––––5–––––––

∂(2k+2)‰⁄ (2k+1)²(3k+4)+k ´ 이므로

Í 1 –––––––––––––––5–––––––––––

(2k+2)‰ ´

1 3 5 2k1 2k+1 1

T––"––"––"Å"––––––"–––––– ––––––––––––––

2 4 6 2k 2k+2 L 3(MkM+M1)M+M1

즉, n=k+1일 때에도 주어진 부등식은 성립한다.

i), ii)에 의해 모든 자연수n에 대하여

1 3 5 2n1 1

––"––"––"Å"–––––– ––––––––

2 4 6 2n L 3MnM+M1

(단, 등호는n=1일 때 성립한다.)

<증명>

L MMMM MM MM MM M

17 ^.

n이 자연수일 때, 2Ω3ⁿ의 모든 양의 약수들의 역수의 합을 S(n)이라 하자. 이 때, ÅS(n)의 극한값은? (4점)

①––9 ②2

4

7 3

③–– ④––

4 2

⑤––5 4

18 ^.

오른쪽 그림과 같이 반지름 의 길이가r이고, 중심이O인 원 밖의 한 점P에서 이 원에 그은 접선의 접점을T라 하고, -PO와 원의 교점을C라 하자. 점P가 접점 T에 한없이 가까워질때,

-PC

–––––의 값은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? (4점) -PT²

1 1

①––– ② –––

r² 2r

③––1 ④ r

r

⑤2r

19 ^.

A, B 두 종류의 제품을 생산하는 어느 공장에서A, B 제 품 한 개를 각각 생산하는 데 드는 시간과 재료의 양은·표1‚과 같고, 1시간당 드는 생산비용과 재료1kg당 가격은·표2‚와 같 다. 이 때, A, B 두 제품을 각각200개, 500개 생산하는 데 드는 총 비용을 행렬의 곱으로 나타내면? (4점)

·표1‚ ·표2‚

(2 4) (200)

①(10000 3000)

3 5 500 (2 5) (200)

②(10000 3000)

4 3 500 (2 4) (10000)

③(200 500)

3 5 3000 (2 3) (10000)

④(200 500)

4 5 3000 (2 5) (10000)

⑤(200 500)

4 3 3000

20 ^.

흐르지 않는 물 위에서 일정한 속력을 낼 수 있는 배로 강의 상류에 있는 A지점과 하류에 있는 B지점 사이를 왕복하고 있 다. 두 지점 A, B 사이의 거리는 12km이고, 강물이 시속 4km의 속력으로 흐를 때에는 이 배로A와B 사이를 한 번 왕 복하는 데1시간36분이 걸린다. 강물이 시속8km의 속력으로 흐를 때, 이 배로A와B 사이를 한 번 왕복하는 데 걸리는 시

간은? (4점)

①1시간40분 ②1시간45분

③1시간50분 ④1시간55분

⑤2시간

P T

C r O

종류 시간(시간)재료(kg)

A 2 4

B 3 5

비용(원) 1시간당 드는 생산비용 10000

재료1kg당 가격 3000

21 ^.

^{남학생이200명, 여학생이}150명인 어느 고등학교의2학년 학생을 대상으로 제 2외국어 선택과목 희망자를 조사하였더니 A과목을 선택한 학생은180명, B과목을 선택한 학생은170명 이었다. 이 때, A과목을 선택한 남학생 수와 B과목을 선택한 여학생 수의 차는? (단, A, B 두 과목 중 한 과목만을 반드시

선택해야 한다.) (3점)

①26명 ②28명

③30명 ④ 32명

⑤34명

(1 2) (1 1)

22 ^.

^{두 행렬}A= , B= 에 대하여 (AB)¹의

3 4 0 1

모든 성분의 합을 구하시오. (단, X¹는 행렬X의 역행렬이다.) (2점)

1 1 1

23 ^.

^{분수방정식}––––––––––––––––=––의 해를 구하시오.

x+1 x²+3x+2 6

(3점)

24 ^.

^부등식(x1)(x2)(x4)²50을 만족시키는 모든x가 부 등식x²4x+k50을 만족시킬 때, 실수k의 최대값을 구하시

오. (3점)

주관식 문항(22~30)

ç 1

––––– (x≠1)

25 ^.

^{함수f(x)=ƒx1 에 대하여 개구간(2#, 2#)}

∂ 0 (x=1)

에서 정의된 함수f(sinx)의 불연속점의 개수를 구하시오.

(3점)

26 ^.

^구간·0, #‚에서 정의된 함수

& #* f(x)=2cos x––

3

의 최대값을m, 최소값을n이라 할 때, 곱mn의 값을 구하시

오. (3점)

27 ^.

^{자연수n에 대하여 수열{an}을}

an=(n²을7로 나눈 나머지)

20

로 정의할 때, da^k의 값을 구하시오. (4점)

k=1

28 ^.

^{좌표평면에서 곡선y=x33x2+2x+k와 직선y=kx가 서}

로 다른 세 점에서 만나고, 그 교점의 세x좌표가 공차가3인 등차수열을 이룬다고 한다. 이 때, 상수k의 값을 구하시오.

(4점)

29 ^.

^{어느 공장에A형 기계2대와B형 기계1대가 가동되고 있}

다. A형 기계1대, B형 기계1대는 각각a톤의 원료를 사용하 여 제품을 생산할 때, 4^akg, 2^akg의 오염 물질을 배출한다. 이 공장에서 하루에 사용되는 원료의 양이 총9톤일 때, 오염 물질 의 전체 배출량이 최소가 되게 하는A형 기계1대의 하루 원료 사용량을 구하시오. (단, 같은 형의 기계에는 같은 양의 원료를 사용하고, 단위는 톤이다.) (4점)

30 ^.

^{두 자연수}m, n의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 할 때, 다음 두 식

log3Llog3G=1+log32 log2L+log2G=5+3log23

이 성립한다. G5m5n5L일 때, mn의 값을 구하시오.(4점)