수능(94~17학년도), 모의고사(03~16년)
단원 : 적분 (회전체부피)
1.
반지름의 길이가 인 공이 잔잔한 물 위 에 떠 있다. 오른쪽 그림과 같이 공의 수면 아래 부분의 깊이가
일 때, 다음 중에서 수면 위에 있는 부분의 부피를 나타내는 수 학적 표현은?1)
[1.5점][1996학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
2.
오른쪽 그림과 같이 좌표평면의 제 사분 면에서 두 곡선
와
축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전 시킨 회전체의 부피를 라 할 때,
의 값을 구하시오.2) (단, π는 원주율을 나타낸 다.)
[3점][1998학년도 수능]
3.
곡선 와 축으로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킬 때, 만들어지는 회전체의 부피는?3)[3점][1999학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
4.
곡선 와 축 및 직선 로 둘러싸인 도형을 축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전체의 부피는?4)[3점][2003학년도 수능]
① ② ③ ④ ⑤
5.
곡선 ln 와 축, 축 및 직선 ln로 둘러싸인 영역 을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 라 할 때,
의 값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.5)
[3점][2004학년도 수능]
수 리 영 역
2 회전체부피
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6.
곡선 ≤ ≤ 을 축 둘레로 회전시킨 회전체 와 곡선 ≤ ≤ 을 축 둘레로 회전시킨 회전체 가 있다. 처음에는 물이 의 안쪽에만 차 있다가 원점 O 부근 의 작은 구멍을 통하여 의 바깥쪽과 의 안쪽으로 둘러싸인 부분으로 흘러 나가기 시작한다. 의 안쪽 수면의 높이를 ,의 바깥쪽 수면의 높이를 라 할 때, 가 의
이 되는 순 간의
의 값은?6)
[4점][2005학년도 수능]
① ② ③
④
⑤
7.
좌표평면에서 두 곡선 , 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는? 7)[3점][2005년 10월]
①
②
③
④
⑤
8.
곡선 과 축으로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 일 때, 양수 의 값을 구 하시오.8)[3점][2006학년도 수능]
9.
어떤 그릇에 깊이가 cm가 되도록 물을 넣을 때 수면은 반 지름의 길이가 cm인 원이 된다. 이 그릇에 매초 cm의 비율로 물을 넣을 때, 수면의 높이가 cm인 순간의 수면이 상승하는 속도는 몇 cm초인지 구하시오. (단, 그릇의 높이는 cm보다 크다.) 9)
[4점][2006년 10월]
10.
그림과 같이 좌표평면에서 원 와 포물선 으 로 둘러싸인 어두운 부분을 축 둘레로 회전하여 생기는 회전 체의 부피는? 1 0)[3점][2006년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
수 리 영 역
회전체 부피 3
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11.
아래 그림과 같이 반지름의 길이가 m인 구를 반으로 자른 모양의 그릇에 m초의 속도로 물을 채우려고 한다. 수면의 높이가
m가 되는 순간에 수면의 상승속도를 라고 할 때,
의 값을 구하시오. 11)
[4점][2007년 10월]
m
12.
함수 의 그래프와 원 이 서로 접하고 있다. 아래 그림에서 어두운 영역을 축 둘레로 회 전시켰을 때 얻어지는 입체의 부피는
π이다. 이 때, 의 값은? (단, 는 서로소인 자연수이다.) 12)
[4점][2007년 10월]
① ② ③ ④ ⑤
13.
곡선 ≦ ≦ 을 축을 둘레로 회전시켜 만든 모 양의 컵에 물이 들어 있다.손가락으로 컵의 테두리를 일정한 속도로 문지를 때 생기는 소 리의 공명주파수 와 컵의 바닥으로부터 물의 높이 의 관계는 다음과 같다.
(단, 는 상수)
그림과 같이 물의 높이 일 때, 공명주파수가 이다. 공명주 파수 를 얻기 위해서 이 컵에 더 부어야 하는 물의 양을 라 할 때,
의 값을 구하시오. (단, 컵의 두께는 무시한다.) 13) [점][2008년 7월]
14.
곡선 ln 와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를 라 할 때,
의 값을 구하시오. 14)
[4점][2007년 9월]
수 리 영 역
4 회전체부피
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15.
반지름의 길이가 인 반구 모양의 그릇에 물이 가득 차 있었 다. 그림과 같이 이 그릇을
만큼 기울였을 때 수면 의 높이를 , 수면의 넓이를 , 물의 부피를 라 하 자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? 15)[4점][2008년 10월]
< 보 기 >
ㄱ. sin
ㄴ. cos ㄷ.
cos
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
16.
직선 가 포물선 에 접할 때, 포물선 와 직선 및 축으로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 라 하자.
두 상수 의 곱 의 값을 구하시오.16 )
[3점][2009학년도 수능]
17.
함수 ≧ 과 직선 및 축으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전
시킨 도형의 부피를 이라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?1 7) (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수)
[4점][2009년 7월]
①
② ③
④ ⑤
18.
두 곡선 ≧ 와 으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는?18)[3점][2008년 10월]
①
②
③
④
⑤
19.
실수 전체의 집합에서 연속인 함수 가 모든 양수 에 대하여
를 만족시킨다. 곡선 와 직선 , 축, 축으로 둘 러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를
라 할 때, 의 값을 구하시오.1 9)
[4점][2009년 9월]
수 리 영 역
회전체 부피 5
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20.
그림과 같이 점 A 에서 쌍곡선
에 그은 접선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 P Q라 하자.
세 점 A, P, Q를 지나는 원의 내부가 쌍곡선에 의해 나뉘어서 생긴 두 영역 중에서 넓이가 큰 영역을 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 이다.
의 값을 구하시오. 20)
[4점][2009년 10월]
21.
21) 좌표평면 위의 두 원 ,
로 둘러싸인 어두운 부분을 둘레로 회전하여 얻은 입체의 부피 를 이라 할 때, 의 값을 구하시오, (단, 는 유리수이다.)
[3점][2009년 10월]
22.
함수
≦
≧
에 대하여 함수 를
( ≧ )이라 하자. 곡선 와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수 이다.) 2 2)
[점][2010년 7월]
23.
함수 이 있다. 함수 는 모든 실수 에 대하여 ′ ′를 만족시키고 이다.두 곡선 , 와 두 직선 , 로 둘러싸 인 부분을 축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가
일 때, 의 값을 구하시오. 2 3)
[4점][2010년 9월]
24.
곡선 와 축 및 축으로 둘러싸인 도형을 축 의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는? 24)[3점][2010년 10월]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
6 회전체부피
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25.
두 곡선 과 축으로 둘러싸인 부분을축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피가 일 때, 의 값을 구하시오. 25 )
[점][2011학년도 수능]
26.
곡선 과 축 및 직선 로 둘러싸인 도형을축 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피가
이다. 의 값을 구하시오. (단, 는 정 수이다.) 26)
[3점][2011년 6월]
27.
곡선
과 축 및 두 직선 , 으로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피는? 27)
[3점][2011년 7월]
① ②
③ ④
⑤
28.
그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD내부의 점 P, Q는 PA PC , QB QD 를 만족하며 움직인다. 점 P, Q가 나타내는 곡선과 정사각형으로 둘러싸인 어두운 부분을 직선 BD를 회전축으로 하여 회전시킬 때 생기는 회전체의 부피가
이다. 이때, 의 값을 구하시오.
(단, , 는 정수이다.) 28)
[4점][2011년 7월]
29.
그림과 같이 원점 O와 점 A
에 대하여 선분 OA와 곡선 log
≤ ≤
를 축의 둘레로 회전시켜 만든 회전체 모양의 그릇이 있다.이 그릇을 평평한 바닥에 놓고 매초 cm의 일정한 비율로 물을 넣고 있다. 수면이 상승하는 속도가 cm초가 되는 순간 의 수면의 높이는 cm이다. 의 값은?29) (단, 좌표축의 눈금 단 위는 cm이다.)
[4점][2011년 10월]
①
② ③
④ ⑤
수 리 영 역
회전체 부피 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
30.
함수
≧ 의 그래프와 이 함수의 역함수의 그래 프로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 서로소인 자연수이다.)30)
[3점][2012년 6월]
31.
31) 곡선 과 축 및 축으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킬 때 생기는 입체의 부피는?[점][2012년 7월]
①
②
③
④
⑤
32.
32) 두 곡선
,
ln 와 직선 로 둘러싸인 부 분을 축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 이다.
의 값을 구하시오.
[3점][2012년 9월]
33.
33) 두 포물선 와 로 둘러싸인 부분을 축 의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피가 일 때,
의 값을 구하 시오.
[3점][2012년 10월]
34.
34) 곡선 을 축의 방향으로 만큼 평행이동시킨 곡 선을 라 하자. 곡선 가 축과 만나는 점을 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 이다.) 일 때, 점 를 지나고 축과 평행한 직선, 곡선 ,
축, 축으로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?
[3점][2012년 5월]
① ln
②
ln
③
ln
④
ln
⑤
ln
수 리 영 역
8 회전체부피
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
35.
35) 점 을 지나고 기울기가 양수인 직선 이 곡선 와 만나는 점을 , 점 에서 축에 내린 수선의 발 을 , 직선 이 축과 만나는 점을 라 하자.
일 때, 점 의 좌표를 라 하자. 축, 직선 , 곡선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?
[3점][2013년 6월]
① ② ③ ④ ⑤
36.
36) 곡선 와 직선 및 축으로 둘러싸인 부분 을 축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 라 할 때,
의 값을 구하시오.
[점][2013년 7월]
37.
37) 그림과 같이 직선 과 한 초점이 점 단 인 쌍곡선 이 있다.
직선 과 쌍곡선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?
[3점][2014학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
38.
38) 구간 ∞에서 정의된 함수
의 그래프는 그림과 같다. 곡선 와 축 및 두 직선 , 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 가 일 때, 상수 의 값은?
[4점][2015년 7월]
O
①
②
③
④ ⑤
수 리 영 역
회전체 부피 9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
39.
곡선
과 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피는?39)
[3점][2015년 9월]
①
②
③
④ ⑤
40.
40) 함수
≥
의 그래프가 그림과 같다.
닫힌구간 에서 함수 의 그래프와 축 및 직선
로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전 체의 부피는?
[3점][2016학년도 수능]
①
②
③
④
⑤
수 리 영 역
10 회전체부피
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
수 리 영 역
회전체 부피 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
[해설] 적분 (회전체부피)
1) ②구하는 부피는 원 을
≦ ≦ 의 범위에서
축으로 회전한 입체의 부피와 같다.
∴
2)
위의 그림에서 어두운 부분을 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는
∴
×
3) ⑤
축으로 회전시킨 입체의 부피는
이므로
4) ①
를 에서 까지 축을 중심으로 회전시킨 회전체의
5)
축의 둘레로 회전시켜 생긴 회전체의 부피는
ln
ln
ln
ln
ln
∴
6) ②
물의 부피는 항상 일정하므로
(상수)에서
양변을 에 대하여 미분하면
․
이므로
7) ⑤
구하는 회전체의 부피를 라 하면
8)
곡선 이 축과 만나는 점의 좌표는 이므로 구하는 회전체의 부피 V는
∴
9) 20
수 리 영 역
12 회전체부피
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
따라서
이고 이므로
∴
cm/초)
10) ②
(회전체의 부피)=
11) 16
채워지는 물의 양 는
양변을 에 대하여 미분하면
여기에 부피의 증가량 와 높이가
이므로
를 대입하면
∴
이므로 ×
12) ①
원의 중심 에서 직선 ││까지의 거리가 1이기 때문에
∴ .
와 직선을 연립으로 풀면 ∴
.
V직선
=
π
중심을 원점으로 평행이동을 통해 부피를 구해보면 V원
= π
=
π
∴ V V직선 V원=
∴
컵의 바닥으로부터의 물의 높이가 일 때 공명주파수가
이므로
공명주파수
를 얻기 위해서 물의 높이는 이어야 한다. 더 부어야 하는
물의 양
∴
14) 25
ln 에서 ln ≧ 이어야 하므로 ≧
∴
ln ln
× ∴
15) ⑤
그릇에 남은 물의 부피는 원 과 직선 sin로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다.
ㄱ. sin (참)
ㄴ. 수면의 반지름의 길이는 cos이므로 cos이다. (참) ㄷ.
sin
이므로
cos sin cos cos cos (참)
16)
포물선 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식은
이므로
포물선 와 직선 의 접점의 좌표를 구하면
에서 ,
∴ 따라서 구하는 회전체의 부피는
∴
∴ ⋅
17) ①
[출제의도] 정적분을 이용하여 회전체의 부피 추론하기
수 리 영 역
회전체 부피 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
≦ 이면 ⋮
≦ 이면
.
V
V
∴ lim
→∞
V
18) ④
[출제의도] 정적분을 활용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
와 의 교점을 구하면 에서 만나므로
이다. 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 회전체의 부피는
∴
19)
주어진 식을 에 대하여 양변을 미분하면
=
축 축둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킨 부피는
이므로 회전체의 부피는 이다.
20) 26
접선의 방정식은 ± 이고, 두 접점 P, Q의 좌표는 각각 ,
이다.
이때, 점 A, P, Q를 지나는 원의 방정식은
이다.
∴
21) 80
두 원 으로 둘러싸인 어두운 부분은
으로 둘러싸인 부분과 같으므로
따라서 에서
22)
≦ 일 때,
≧ 일 때,
≦ ≧
∴
23)
′ ′ 이고, 이므로
이다.
따라서, 의 그래프는 의 그래프를 축의 방향으로
만큼 평행이동한 것이므로 모든 실수 에 대하여 이다.
′ 에서
⋯ ⋯ ⋯
′ + - +
↗
↘
↗
따라서, ≦ ≦ 에서 ≧
이다.
두 곡선 와 두 직선 로 둘러싸인 부분을
축 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피 는
따라서, 에서
,
∴
24) ④
25) 25
수 리 영 역
14 회전체부피
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
따라서, 회전체이 부피는
∴
26)
에서
27) ①
28)
점 PQ는 각각 두 정점 AC와 두 정점 BD로부터 거리의 차가 일정한 점이므로 점 PQ가 나타내는 두 도형은 점 AC와 점 BD를 초점으로 하는 쌍곡선이다.
점 BD를 지나는 직선을 축, 점 AC를 지나는 직선을 축이라 하자.
점 P가 나타내는 도형의 방정식은 점 Q가 나타내는 도형의 방정식은 회전체의 부피는
∴ 따라서
29) ③
[출제의도] 적분과 미분을 이용하여 수면의 높이를 구할 수 있는지 묻는 문제이다.
수면의 높이가 일 때 물의 부피 는
이므로30)
구하는 회전체의 부피는
∴
31) ⑤
[출제의도] 치환적분을 이용하여 회전체의 부피 계산하기
라 하면
․
32) 50
ln 에서 ln 이므로 ln
∴
ln
ln
이때, ln 라 하면
이고
일 때 , 일 때 이므로
∴
33) 16
[출제의도] 포물선의 그래프를 이용하여 회전체의 부피를 구하는 문제를 해결한다.
두 곡선의 교점의 좌표는 에서
∴
34) ①
일 때, log 이므로 회전체의 부피는
log
ln
log
ln
35) ①
이므로 점 는 를 으로 내분한 점이 된다.
∴
직선 , 곡선 로 둘러싸인 회전체의 부피는
수 리 영 역
회전체 부피 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
와 의 교점은
∴
37) ③
[출제의도] 정적분을 활용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가?
직선 과 쌍곡선 의 교점의 좌표를 구하면
또는
따라서, 교점의 좌표는 이다.
직선의 방정식 에서 쌍곡선의 방정식 에서 이므로 구하는 회전체의 부피 는
38) ④
[출제의도] 회전체의 부피 이해하기
,
이므로 39) ④
구하는 회전체의 부피는 그림과 같이 색칠된 부분을 축으로 회전시키는 것과 같다.
따라서 원기둥에서 곡선
의 에서 까지의 회전체를 뺀 값이므로
V ⋅
[출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가?
닫힌 구간 에서 함수 의 그래프와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시켜 생기는 회전체의 부피를 라 하면
