Министерство образования и науки Республики Казахстан

(1)

Министерство образования и науки Республики Казахстан Карагандинский государственный технический университет

«Утверждаю»

Председатель Ученого совета, ректор, академик НАН РК Газалиев А.М.

_______________________

«____» _________ 200___г.

ПРОГРАММА ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТА (SYLLABUS)

по дисциплине Математика в экономике для студентов специальности 050507 – Менеджмент

Факультет Экономики и менеджмента Кафедра Высшей математики

2008

(2)

Предисловие

Программа обучения по дисциплине для студента (syllabus) разработана к.ф.м.н., доцентом Швейдель А.П.; преподавателем Журовым В.В.

Обсуждена на заседании кафедры «Высшая математика » Протокол № _______ от «____»______________200___ г.

Зав. кафедрой ________________ «____»____________200___ г.

Одобрена методическим бюро Транспортно-дорожного факультета Протокол № ________ от «_____»_____________200___ г.

Председатель ________________ «____»____________ 200___ г.

Согласована с кафедрой «Предпринимательства и управления»

Зав. кафедрой ________________ «____»____________200___ г.

(3)

Сведения о преподавателе и контактная информация

к.ф.м.н, доцент Швейдель А.П., старший преподаватель Махметова Г.Ш.

Кафедра высшей математики находится в 1 корпусе КарГТУ (Б.Мира, 56), аудитория 311, контактный телефон 56-59-32 доб.(2008)

Трудоемкость дисциплины

Семестр Количество кредитов Вид занятий

Количе- ство ча- сов СРС

Общее количе- ство ча-

сов

Форма контроля количество контактных часов количе-

ство ча- сов СРСП

всего часов лекции практические

занятия

лабораторные занятия

I 3 15 30 - 45 90 45 135 Экзамен

Характеристикадисциплины

Дисциплина «Математика в экономике» входит в цикл базовых дисциплин и включает в себя: линейную алгебру и элементы аналитической геометрии;

введение в математический анализ; дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных; интегральное исчисление функций одной пе- ременной; дифференциальные уравнения и ряды.

Цельдисциплины

Дисциплина «Математика в экономике » ставит целью помочь студентам усвоить математические методы, дающие возможность изучать и прогнозиро- вать процессы и явления из будущей деятельности студентов как специалистов.

Задачи дисциплины

Задачи дисциплины следующие: развить логическое и алгоритмическое мышление студентов; обучить их приемам исследования и решения математи- чески формализованных задач.

В результате изучения данной дисциплины студенты должны:

иметь представление:

– о методах математики, ее роли вы развитии других наук;

– о возможностях применения математических методов в будущей профес- сиональной деятельности;

знать:

– основные определения, теоремы, правила, излагаемые в курсе;

уметь:

– применять теоретические знания при решении задач по всем темам, предусмотренным программой курса;

приобрести практические навыки:

– самостоятельно пополнять свое образование.

Пререквизиты

Для изучения данной дисциплины необходимо усвоение следующих дисци-

(4)

плин (с указанием разделов (тем)):

Дисциплина Наименование разделов (тем)

1 Элементарная математика. Алгебра

Тригонометрия Геометрия Стереометрия 2 Элементы высшей матема-

тики

Производная и интеграл (в объеме средней школы)

Постреквизиты

Знания, полученные при изучении дисциплины «Математика в экономике», используются при освоении следующих дисциплин: «Статистика», «Микро- экономика», «Макроэкономика», «Эконометрика». Знания и навыки, получен- ные в данном курсе, могут использоваться при выполнении дипломной работы.

Тематический план дисциплины

Наименование раздела, (темы)

Трудоемкость по видам занятий, ч.

лекции практи- ческие

лабора-

торные СРСП СРС 1 Линейная алгебра и элементы аналитиче-

ской геометрии. 5 10 15 15

2 Введение в математический анализ. 1 3 3 6

3 Дифференциальное исчисление функций

одной переменной. 2 5 12 9

4 Функции нескольких переменных. 2 2 - 4

5 Интегральное исчисление функций одной

переменной. 2 6 9 5

6 Обыкновенные дифференциальные урав-

нения. 1 1 - 6

7 Ряды. 2 3 6 -

ИТОГО: 15 30 45 45

Перечень практических (семинарских) занятий

1 Сложение, умножение, транспонирование матриц. Вычисление определи- телей.

2 Нахождение обратной матрицы.

3 Ранг матрицы.

4 Решение систем линейных алгебраических уравнений по формулам Кра- мера и матричным способом.

5 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

6 Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений.

7 Линейные операции над векторами. Базис на плоскости и в пространстве.

Разложение вектора по базису.

8 Произведения двух и трех векторов.

9 Прямая на плоскости и в пространстве.

10 Плоскость.

(5)

11 Предел последовательности.

12 Предел функции.

13 Непрерывность функции одной переменной. Точки разрыва и их класси- фикация.

14 Вычисление производной на основе таблицы производных и правил дифференцирования суммы, произведения и отношения функций, а также правила дифференцирования сложной функции.

15 Логарифмическое дифференцирование; дифференцирование неявной функции; правило Лопиталя.

16 Производные высших порядков; исследование поведения функции в окрестности точки.

17 Дифференциал функции одной переменной и его применение в прибли- женных вычислениях.

18 Исследование функции одной переменной с помощью производной. По-

строение графика функции.

19 Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных: част- ные производные первого и высших порядков; производная по направле- нию; градиент.

20 Локальный и глобальный экстремумы функции двух переменных.

21 Нахождение неопределенного интеграла на основе таблицы неопреде- ленных интегралов, путем интегрирования по частям или замены перемен- ной.

22 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

23 Интегрирование рациональной функции.

24 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции.

25 Основные методы нахождения определенного интеграла.

26 Приложения определенного интеграла.

27 Интегрирование дифференциальных уравнений с разделенными и разде- ляющимися переменными.

28 Исследование сходимости положительных и знакопеременных рядов;

оценка остатка ряда лейбницевского типа.

29 Радиус сходимости и область сходимости степенного ряда.

30 Разложение функций в степенные ряды.

Тематический план самостоятельной работы студента с преподавате- лем

Наименование темы СРСП

Цель заня- тия

Форма про- ведения за-

нятия

Содержание задания Рекомендуемая литература Тема 1. Матричная

алгебра

Углубление знаний по данной теме

Решение за- дач, консуль- тация

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ] Тема 2. Системы

линейных алгебраи- ческих уравнений

Углубление знаний по данной теме

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ]

(6)

Тема 3. Векторная

алгебра Закрепление навыков и умений ре- шения задач

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ], [ 8 ]

Тема 4. Прямая на плоскости и в про- странстве

Закрепление навыков и умений ре- шения задач

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ], [ 8 ]

Тема 5. Плоскость

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ], [ 8 ]

Тема 6. Предел

функции Закрепление навыков и умений ре- шения задач

Выполнение

типового расчета по теме «Предел функ- ции»

[ 9 ]

Тема 7. Производ- ная

Выполнение

типового расчета по теме «Дифференциро- вание»

[ 9 ] Тема 8. Правило

Лопиталя Закрепление навыков и умений ре- шения задач

Выполнение ИДЗ [ 2 ], [ 4 ], [ 7 ], [ 8 ]

Тема 9. Наибольшее и наименьшее зна- чение функции, за- данной на отрезке

Выработка навыков и умений ре- шения задач

Выполнение ИДЗ [ 7 ], [ 8 ], [ 9 ]

Тема 10. Исследо- вание функции с помощью произ- водной и построе- ние графика функ- ции

Выполнение ИДЗ [ 7 ], [ 8 ], [ 9 ]

Тема 11. Интегри- рование рациональ- ной функции

Выполнение ИДЗ [ 5], [ 7 ],[ 8 ], [ 9 ]

Тема 12. Интегри- рование выражений, содержащих триго- нометрические функции

Выполнение ИДЗ [ 5], [ 7 ],[ 8 ], [ 9 ]

(7)

Тема 13. Приложе- ния определенного

интеграла Выработка навыков и умений ре- шения задач

Вычисление площадей в декартовых коорди- натах;

вычисление объемов тел вращения;

вычисление

объемов тел по попе- речным сечениям

[ 5], [ 7 ],[ 8 ], [ 9 ]

Тема 14. Числовые ряды

Нахождение суммы

числового ряда [ 8 ],[ 9 ] Тема 15. Степенные

ряды Выработка

навыков и умений ре- шения задач

Разложение функций в степенные ряды

Нахождение суммы

степенного ряда

[ 8 ],[ 9]

Темы контрольных заданий для СРС 1 Матрицы и определители.

2 Системы линейных алгебраических уравнений.

3 Векторная алгебра.

4 Аналитическая геометрия.

5 Линейная алгебра.

6 Предел функции.

7 Дифференциальное исчисление функций одной переменной и его прило- жения.

8 Интегральное исчисление функций одной переменной и его приложения.

9 Дифференциальные уравнения.

10 Локальный экстремум функции двух переменных.

11 Числовые ряды.

12 Степенные ряды.

Критерии оценки знаний студентов

Экзаменационная оценка по дисциплине определяется как сумма макси- мальных показателей успеваемости по рубежным контролям (до 60%) и итого- вой аттестации (экзамен) (до 40%) и составляет значение до 100% в соответ- ствии с таблицей.

Оценка по бук- венной системе

Цифровые экви- валенты буквен-

ной оценки

Процентное со- держание усво- енных знаний

Оценка по традиционной

системе А

А-

4,0 3,67

95-100

90-94 Отлично

В+

В В-

3,33 3,0 2,67

85-89 80-84 75-79

Хорошо

(8)

С+

С С- D+

D

2,33 2,0 1,67 1,33 1,0

70-74 65-69 60-64 55-59 50-54

Удовлетворительно

F Z

0 0

30-49

0-29 Неудовлетворительно

Оценка «А» (отлично) выставляется в том случае, если студент в течение семестра показал отличные знания по всем программным вопросам дисципли- ны, а также по темам самостоятельной работы, регулярно сдавал рубежные за- дания, проявлял самостоятельность в изучении теоретических и прикладных вопросов по основной программе изучаемой дисциплины, а также по внепро- граммным вопросам.

Оценка «А-» (отлично) предполагает отличное знание основных законов и процессов, понятий, способность к обобщению теоретических вопросов дисци- плины, регулярную сдачу рубежных заданий по аудиторной и самостоятельной работе.

Оценка «В+» (хорошо) выставляется в том случае, если студент показал хо- рошие и отличные знания по вопросам дисциплины, регулярно сдавал семест- ровые задания в основном на «отлично» и некоторые на «хорошо».

Оценка «В» (хорошо) выставляется в том случае, если студент показал хо- рошие знания по вопросам, раскрывающим основное содержание конкретной темы дисциплины, а также темы самостоятельной работы, регулярно сдавал се- местровые задания на «хорошо» и «отлично».

Оценка «В-»(хорошо) выставляется студенту в том случае, если он хорошо ориентируется в теоретических и прикладных вопросах дисциплины как по аудиторным, так и по темам СРС, но нерегулярно сдавал в семестре рубежные задания и имел случаи пересдачи семестровых заданий по дисциплине.

Оценка «С+» (удовлетворительно) выставляется студенту в том случае, если он владеет вопросами понятийного характера по всем видам аудиторных заня- тий и СРС, может раскрыть содержание отдельных модулей дисциплины, сдает на «хорошо» и «удовлетворительно» семестровые задания.

Оценка «С» (удовлетворительно) выставляется студенту в том случае, если он владеет вопросами понятийного характера по всем видам аудиторных заня- тий и СРС, может раскрыть содержание отдельных модулей дисциплины, сдает на «удовлетворительно» семестровые задания.

Оценка «С-» (удовлетворительно) выставляется студенту в том случае, если студент в течение семестра регулярно сдавал семестровые задания, но по во- просам аудиторных занятий и СРС владеет только общими понятиями и может объяснить только отдельные закономерности и их понимание в рамках кон- кретной темы.

Оценка «D+» (удовлетворительно) выставляется студенту в том случае, если он нерегулярно сдавал семестровые задания, по вопросам аудиторных занятий и СРС владеет только общими понятиями и может объяснить только отдельные

(9)

закономерности и их понимание в рамках конкретной темы.

Оценка «D» (удовлетворительно) выставляется студенту в том случае, если он нерегулярно сдавал семестровые задания, по вопросам аудиторных занятий и СРС владеет минимальным объемом знаний, а также допускал пропуски заня- тий.

Оценка «F» (неудовлетворительно) выставляется тогда, когда студент прак- тически не владеет минимальным теоретическим и практическим материалом аудиторных занятий и СРС по дисциплине, нерегулярно посещает занятия и не сдает вовремя семестровые задания.

Оценка «Z» (неудовлетворительно) выставляется тогда, когда студент не владеет минимальным теоретическим и практическим материалом аудиторных занятий и СРС по дисциплине, пропустил более половины занятий и не пред- ставил вовремя семестровые задания.

Рубежный контроль проводится на 7,14-й неделях обучения и складывается исходя из следующих видов контроля:

Видконтроля %-оесо- держание

Академический период обучения, неделя

Итого, %

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Посещае-

мость 0,5 * * * * * * * * * * * * 6 Конспекты

лекций 1 * * * * * 5

Защита ИДЗ 3,5 * * * * * * 21

Письмен-

ный опрос 5 * * * * 20

Коллоквиум 4 * * 8

Экзамен 40

Всего по

аттестациям 30 30 60

Итого 100

Политика и процедуры

При изучении дисциплины «Математика в экономике» прошу соблюдать следующие правила:

1 Не опаздывать на занятия.

2 Не пропускать занятия без уважительной причины, в случае болезни про- шу представить справку, в других случаях – объяснительную записку.

3 В обязанности студента входит посещение всех видов занятий.

4 Согласно календарному графику учебного процесса сдавать все виды кон- троля.

5 Пропущенные практические и лабораторные занятия отрабатывать в ука- занное преподавателем время.

(10)

6 Активно участвовать в учебном процессе.

7 Быть терпимым, открытым, откровенным и доброжелательным к сокурс- никам и преподавателям.

Учебно-методическая обеспеченность дисциплины

Ф.И.О автора Наименование учебно- методической литературы

Издательство, год издания

Количество экземпляров

в библиотеке на кафед- ре

1 2 3 4 5

Основная литература 1 Н.Ш. Кре-

мер, Б.П. Пут- ко, И.М. Три- шин, М.Н.

Фридман

Высшая математика для экономистов

М.: ЮНИТИ,

1998 35 -

2 Н.Ш. Кре- мер, Б.П. Пут- ко, И.М. Три- шин, М.Н.

Фридман и др.

Практикум по высшей ма- тематике для экономистов

М.: ЮНИТИ-

ДАНА, 2005 20 1

3 М.С. Красс,

Б.П. Чупрынов Математика для экономи- стов

СПб.: Питер,

2007 15 -

4 А.П. Рябуш- ко и др.

Индивидуальные задания по высшей математике.Ч1

Минск:

Вышэйшая школа, 1991

248 12

Минск:

257 12

Минск:

100 12

7 Г.И. Запоро- жец

Руководство к решению задач по математическому анализу

М.: Высшая

школа, 1966 111 1

8 О.В. Зимина, А.И. Кирил- лов, Т.В.

Сальникова.

Высшая мате- матика

Высшая математика (ре- шебник)

М.: Физико- математиче- ская литера- тура, 2001

- 5

9 Л.А. Кузне- цов

Сборник заданий по выс- шей математике (типовые расчеты)

М.: Высшая

школа, 1983 283 -

1 2 3 4 5

Дополнительная литература

(11)

10 М.Л. Смо- лянский

Таблицы неопределенных интегралов

М.: Наука,

1965 21 1

11 М.Я. Вы- годский

Справочник по высшей ма- тематике

М.: Наука,

2005 43 3

12 А.Г. Цып- кин

Справочник по математике для средних учебных заве- дений

М.: Наука,

1983 3 1

13 Е.С. Бара- нова, Н.В. Ва- сильева, В.П.

Федотов

Практическое пособие по высшей математике. Типо- вые расчеты

СПб.: Питер,

2008 15 -

График выполнения и сдачи заданий по дисциплине

Вид кон- троля

Цель и содержание задания

Рекомендуемая литература

Продолжитель- ность выполнения

Форма контроля

Срок сдачи

1 2 3 4 5 6

Проверка тетрадей по СРС, собеседо- вание

Выполнении ИДЗ по теме «Матрицы и определители» с целью закрепления навыков решения типовых задач

[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], конспекты лекций

1неделя Текущий 2 не-

деля

Выполнение ИДЗ по теме «Системы линейных алгебра- ических уравне- ний» с целью за- крепления лекци- онного материала и навыков решения типовых задач

1 неделя Текущий 3 не-

деля

Выполнение ИДЗ по теме «Векторная алгебра» с целью закрепления лекци- онного материала и навыков решения типовых задач

[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ],[ 8 ], конспекты лекций

деля

Кон- трольная работа

Оценка знаний по теме «Прямая »

[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 8 ], конспекты лекций

1 контактный час Текущий 5 не-

деля

1 2 3 4 5 6

Колло- Оценка знаний по [ 1 ], [ 2 ], 1 контактный час Текущий 5 не-

(12)

квиум теме «Плоскость» [ 3 ], [ 4 ], [ 8 ], конспекты лекций

деля

Выполнение ИДЗ по теме «Линейная алгебра» с целью закрепления лекци- онного материала и навыков решения типовых задач

деля

Подведе- ние ито- гов рабо- ты сту- дента за 1-7 неде- ли

Оценка работы студента по

всем позициям

- 1 неделя Рубеж-

ный

7 не- деля

Оценка знаний по теме «Предел»

[ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 5 ], [ 7 ], [ 8 ], конспекты лекций

2 контактных часа Текущий 8 не-

деля

Выполнение типо- вого расчета по те-

ме «Приложения

производной »с це- лью закрепления навыков решения задач

деля

Оценка знаний по теме «Производ- ная»

деля

Выполнение типо- вого расчета по те- ме «Неопределен- ный интеграл» с целью закрепления навыков решения задач

[ 1 ] [ 2 ], [ 3 ], [ 5 ], [ 7 ] [ 8 ], конспекты лекций

2 недели Текущий 12 не-

деля

Оценка знаний по теме «Дифферен- циальные уравне- ния»

[ 1 ], [ 2 ], [3], [ 6 ],[ 7 ], [ 8 ],

конспекты лекций

деля

1 2 3 4 5 6

Колло- Оценка знаний по [ 1 ], [ 2 ] [3], 2 контактных часа Текущий 14 не-

(13)

квиум теме «Числовые ряды»

[ 6 ],[ 7 ], [ 8 ],

конспекты лекций

деля

Подведе- ние ито- гов рабо- ты сту- дента за

8-14 не-

дели

Оценка работы студента по

всем позициям

- 1 неделя Рубеж-

ный

14 не- деля

Экзамен

Проверка усвоения материала дисци- плины

Весь перечень основной и дополнитель- ной литерату- ры

3 контактных

часа Итоговый

В пе- риод сессии

Вопросы для самоконтроля 1 Что называется матрицей

2 Какие две матрицы называются равными?

3 В чем состоит операция транспонирования матрицы?

4 Какие линейные операции над матрицами Вы знаете?

5 Как должны быть согласованы размерности двух матриц, чтобы их можно было умножить?

6 Чему равен определитель треугольной матрицы?

7 Как изменится значение определителя, если переставить местами его два столбца?

8 Какая матрица называется обратимой?

9 Какая матрица называется ступенчатой?

10 Какие элементы матрицы образуют главную диагональ?

11 Какая матрица называется единичной?

12 В чем заключается правило вычисления определителей второго порядка?

13 Какая матрица называется невырожденной?

17 Какая матрица называется обратной к матрице А?

18.Всякая ли матрица имеет обратную?

19 Что называют рангом матрицы?

27 Какая система уравнений называется совместной?

28 Какая система уравнений называется несовместной?

29 Как называется система уравнений, имеющая единственное решение?

30 Как называется система уравнений, имеющая более одного решения?

31 Всякая ли прямая может быть определена уравнением с угловым коэф- фициентом и уравнением в отрезках?

32 Как убедится в том, что данная точка лежит на данной прямой?

33 Как расположена прямая относительно системы координат, если в ее уравнение отсутствует: свободный член; одна из координат; одна из коор- динат и свободный член?

34 Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми?

(14)

35 Какой геометрический смысл имеют величины обратные коэффициентам в уравнении плоскости Ax + By + Cz = 1?

36 Какой геометрический смысл имеют коэффициентам в уравнении плос-

кости 1 0

3 2 3 2 3

1х− у+ z− = ?

37 Каково расположение плоскости относительно осей координат, если в уравнении плоскости отсутствует свободный член? Одна из координат? Две координаты? Одна из координат и свободный член? Две координаты и сво- бодный член?

38 Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями?

39 Как убедится что данная точка М (x₁, y₁, z₁) лежит в данной плоскости?

40 Когда прямая

p c z n

b y m

a

x− = − = −

лежит в плоскости Ax + By + Cz + D= 0?

41 Что такое бесконечно малая величина и каковы ее основные свойства?

42 Какая величина называется бесконечно большой? Какова ее связь с бес- конечно малой?

43 Какое предельное соотношение называется первым замечательным пре- делом?

44 Какое предельное соотношение называется вторым замечательным пре- делом?

45 Какие пары эквивалентных функций Вы знаете?

46 Что называется скоростью изменения функции?

47 Что называется касательной прямой к линии в данной точке?

48 В чем заключается правило дифференцирования сложной функции?

49 В чем заключается правило дифференцирования обратной функции?

50 В чем состоит прием логарифмического дифференцирования?

51 Как дифференцируют неявно заданные функции?

52 Что называется дифференциалом функции? Как выражается дифферен- циал функции через ее производную?

53 В чем состоит свойство инвариантности вида дифференциала?

54 Какая функция называется дифференцируемой? В чем состоит необхо- димое условие дифференцируемости функции?

55 Какие непрерывные, но не дифференцируемые функции Вы знаете?

56 Что называется производной n – го порядка?

57 В чем состоит геометрический смысл теоремы Роля?

58 В чем состоит геометрический смысл теоремы Лагранжа?

59 Как находят наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

60 Какие свойства функции можно изучать с помощью первой производ- ной?

62 Какие свойства функции можно изучать с помощью второй производ- ной?

63 Как связаны точки разрыва функции второго рода и ее вертикальные асимптоты?

64 Какая из перечисленных ниже функций дифференцируема в нуле?

(15)

( ) ^,

1 x x

f = f2( )x = x³^, f3( )x = ^sinx^, 4( ) ^,

e x

x

f = ⁻







=

= ≠

0 , 0

0 1, ) sin

(

2 5

x x x

x x f

65 Чему равна производная обратной функции в точке

5

=6

y , если

5

5 1x x

y= + ?

66 Чему равен ^



 



 + −

x x

d x 1

1 ln

в точке x=−1?

67 При каких значениях a и b точка ( )¹^,³ служит точкой перегиба графика функции y=ax³ +bx² ?

68 Будет ли прямая y=10x−1 наклонной асимптотой графика функции



 



 +

=x e x

y 1

ln ?

69 Чему равно наибольшее значение функции

x arctg x

y +

= −

1

1 на отрезке [ ]⁰^,¹ ^? 70 Какие из перечисленных ниже пар чисел можно принять за новые преде- лы интегрирования при вычислении интеграла

∫

¹ ⁻

0

1 x2dx с помощью заме- ны x=sint?

1) 4

π и π; 2) π и

2

π ; 3) 2π и

2

5π ; 4) π и

2 5π .

71 Чему равен объем тела, полученного вращением эллипса ₂ 1

2 2

2 + =

b y a

x во-

круг оси OX? 72 Чему равен ^ln

∫

² ⁻

0

dx

xe ^x .107?

73 Чему равна длина дуги кривой x=8at³, y=3a(2t²−t⁴),y≥0,a>0? 74 Чему равен интеграл

∫

₇_x^dx²₊₅^?

75 Каким методом надо находить интеграл

∫

₋ 2

1 x

x

dx ?

76 Как изменится значение определенного интеграла, если подынтеграль- ную функцию переопределить в конечном числе точек?

76 Чему равен определенный интеграл по отрезку, симметричному относи- тельно нуля, если подынтегральная функция нечетная?

77 Чему равна y′′, если y=cos²x?

78 С помощью какой замены решается интеграл

∫

− ³

1 x

x

dx ?

79 При каких α сходится

( )

∫

²

0 sin

π

xα

dx ?

(16)

80 При каких α сходится

∫

² ⁻

0

cos 1

π

α dx

x

x ? 81При каких p сходится

∫

( )

∞

1 x lnx ^p dx ?

83 Какой числовой ряд называется сходящимся и что есть его сумма ? 84 В чем заключается необходимый признак сходимости числового ряда?

85 Как формулируется интегральный признак сходимости положительного ряда?

86 Какой ряд называется знакочередующимся и в чем заключается признак Лейбница?

87 Как оценивается остаток ряда лейбницевского типа?

88 Какие ряды называются абсолютно сходящимися? Условно сходящими- ся?

89 Как формулируется признак Коши сходимости положительного ряда?

90 Как формулируется признак Даламбера сходимости положительного ря- да?

91 Какой ряд называется гармоническим? При каком условии он сходиться?

92 Чему равна сумма бесконечной убывающей прогрессии?

93 Какие признаки абсолютной сходимости числовых рядов Вы знае- те?

94 Какое утверждение понимается под первой теоремой сравнения?

95 Какое утверждение понимается под второй теоремой сравнения?

96 Что называется областью сходимости функционального ряда?

97 Какой ряд называется степенным?

98 Как определяется радиус сходимости степенного ряда?

99 Для какой функции можно написать ее ряд Тейлора?

100 Каково достаточное условие разложения функции в степенной ряд?

101 Разложение в ряд Маклорена каких функций Вы знаете?

102 Какое уравнение называется обыкновенным дифференциальным урав- нением первого порядка?

102 Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделенными пере- менными?

103 Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися пе- ременными?

104 Какая функция называется решением дифференциального уравнения?

105 По какой формуле вычисляется производная по направлению l функ- ции u= f(x;y;z)?

106 Чему равно частное приращение по xфункции z=x²+3xy? 107 По какой формуле записывается полное приращение функции

)

; (x y f

z= ?

108 Какая система выражает необходимые условия локального экстремума

функции z= f(x;y)?

109 Когда мы говорим, что функция f(x,y) имеет в точке (x₀,y₀) локальный максимум?

(17)

110 Чему равна первая производная неявной функции y, определяемой уравнением f(x,y)=0?

111 Чему равен ₂ ₂

,

lim x xy y

y x

y

x + +

+

∞

→

∞

→ ?

112 Чему равен

x xy

a y x

lim sin

, →

∞

→ ?

113 Что называется частным приращением функции f(x;y) по переменной

y?

114 Что называется частной производной функции f(x;y) по переменной y? 115 Какой вид имеет дифференциал функции z= f(x;y)?

116 При каком условии функция z= f(x;y) имеет локальный минимум в стационарной точке M₀?

117 При каком условии функция z= f(x;y) не имеет локального экстремума в стационарной точке M₀?

118 При каком условии вопрос о наличии локального экстремума функции

? )

; (x y f

z= в стационарной точке M₀ остается открытым?

119 Каким равенством определяется дифференциал функции z=y²cosx? 120 Где будет разрывна функция

x y

x z y

2 2

−

= + ? 121 Каков физический смысл градиента?