Стохастические процессы и пространства с переменными аппроксимационными свойствами

УДК 517.51

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ПРОСТРАНСТВА С ПЕРЕМЕННЫМИ

АППРОКСИМАЦИОННЫМИ СВОЙСТВАМИ

Т. У. Аубакиров, Е. Д. Нурсултанов

Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова Караганда ул.Университетская, 28 aub-toibek@jandex.ru

В работе вводятся шкалы пространств стохастических процессов и интерполяционный метод для этих пространств, доказываются интерполяционные теоремы и теоремы вложения. На основе полученных результатов изучаются пространства типа пространств Бесова с переменными аппрок- симационными свойствами.

Определения и обозначения.Будем предполагать заданным полное вероятностное про- странство (Ω,F, P) с фильтрацией, т.е. семейством F = {F_n}_n≥1 σ-алгебр F_n таких, что F₁ ⊆... ⊆F_n ⊆ ...⊆ F. Пусть последовательность {X_n}_n≥1 случайных величин X_n такова, что для любого n≥1 величина X_n измерима относительно σ–алгебры F_n. Тогда говорят, что набор X= (X_n, F_n)_n≥1 является стохастическим процессом.

В работе вводятся пространства стохастических процессов в некотором смысле являющиеся аналогами сетевых пространств, исследованных в работах [1], [2]. Эти пространства связаны с такими важными понятиями теории случайных процессов, как сходимость процесса, закон больших чисел, мартингальные свойства процесса.

Говорят ([3]), что стохастический процесс (X_n, F_n)_n≥1 является мартингалом, если при каждом n ∈ N выполнены условия: 1) M|X_n| < ∞; 2) M(X_n+1|F_n) = X_n (Р.-п.н). Если вместо свойство 2) требуется, чтобы M(X_n+1|F_n)≥X_n (Р.-п.н.), то говорят, что процесс X= (X_n, F_n)^∞_n=1 является субмартингалом.

Пусть 1 < p < ∞,0 < q ≤ ∞, α ≥ 0 и рассматриваемые стохастические процессы X = (X_n, F_n)_n≥1 являются мартингалами.

Обозначим при 0< q <∞

N_p^αq(F) =



X= (X_n, F_n)_n≥1 : Ã_∞

X

k=0

(2^αk∆X_k)^q

!¹

q

<∞





и при q =∞

N_p^α∞(F) ={X= (X_n, F_n)_n≥1 : sup

k

2^αk∆X_k<∞},

Keywords:stochastic process, interpolation, Besov space, Haar’s system 2000 Mathematics Subject Classification: 60G07, 46B45

°c Т. У. Аубакиров, Е. Д. Нурсултанов, 2006.

где

∆X_k= sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^1−1p

¯¯

¯¯ Z

A

(X₂k−X₂k−1)P(dω)

¯¯

¯¯.

Здесь и далее полагаем, что X1

2(ω)≡0.

Пространства N_p^αq(F) являются пространствами сходящихся мартингальных процессов, где параметры α, q и p характеризуют скорость и метрику, в которой сходится данный про- цесс. Если X ∈ N_p^αq(F), то для любого A ∈ F такого, что P(A) > 0, обобщенное условное среднее

1 [P(A)]^1−p1

¯¯

¯¯ Z

A

(X_∞−X₂k)P(dω)

¯¯

¯¯

стремится к нули так, что сходится ряд X∞

k=0

Ã

2^αk 1 (P(A))^1−p1

¯¯

¯¯ Z

A

(X_∞−X₂k)P(dω)

¯¯

¯¯

!_q .

Для этих пространств в работе доказывается интерполяционная теорема типа теоремы Мар- цинкевича, вводится интерполяционный метод, существенно связанный со свойствами момен- тов остановки. В последнем параграфе данный интерполяционный метод применяется к про- странствам типа пространств Бесова с переменными аппроксимационными свойствами.

Случайная величина τ, принимающая значения в множестве (1,2, ...,∞), называется мар- ковским моментом относительно фильтрации F ={F_n}_n≥1, если {ω :τ(ω) =n} ∈F_n для лю- бого n∈N. Моментом остановки называется марковский момент τ, для которого τ(ω)<∞ (п.н)[3].

Пусть X = (X_n, F_n)_n≥1 – стохастический процесс, τ – марковский момент. Через X^τ обозначим "остановленный" процесс X^τ = (X_n∧τ, F_n)_n≥1, где X_n∧τ = ⁿ⁻¹P

m=1

X_mχ_τ=m(ω) + X_nχ_τ≥n(ω), χ_A(ω) – характеристическая функция множества A. В частности, если τ(ω) =k (п.н.), то

X^k={(X₁, F₁),(X₂, F₂), ...,(X_k, F_k),(X_k, F_k+1),(X_k, F_k+2), ...}.

Известно ([3]), что если процесс X = (X_n, F_n)_n≥1 является мартингалом (субмартингалом), то процесс X^τ = (X_n∧τ, F_n)_n≥1 также является мартингалом (субмартингалом).

Пусть T = {T_n}^∞_n=1 – преобразование стохастических процессов X, определенных на ве- роятностном пространстве (Ω,F, P) с фильтрацией F = {F_n}_n≥1, в стохастические процес- сы, определенные на некотором вероятностном пространстве (Λ,R, Q) с фильтрацией Φ = {Φ_n}_n≥1 :

T(X) ={T_n(X),Φ_n}^∞_n=1.

Будем говорить, что преобразование T квазилинейно, если найдется C >0 такое, что для любого n∈N верно неравенство (T_n(X)−T_n(Y))≤C(T_n(X−Y)).

Интерполяционный метод. Для построения теории интерполяции стохастических про- цессов нам помимо вещественного интерполяционного метода понадобится его некоторая мо- дификация.

Пусть A = (A₀(F), A₁(F)) – пара квазинормированных собственных подпространств ли- нейного хаусдорфова пространства N(F) стохастических процессов, определенных на вероят- ностном пространстве (Ω,F, P) с фильтрацией F ={F_n}_n≥1. Очевидно, эта пара является сов- местимой парой и, следовательно, для нее определяется шкала интерполяционных пространств относительно вещественного метода [4].

Пусть 0< θ <1. При 0< q <∞

(A₀, A₁)_θq=



X ∈N(F) :kXk^q_(A

0,A1)θ,q = Z∞

0

(t^−θK(t, X))^qdt t <∞



,

а при q =∞

(A₀, A₁)_θ,∞=

½

X ∈N(F) :kXk_{(A0,A1)θ,∞} = sup

0<t<∞t^−θK(t, X)<∞

¾ ,

где

K(t, X;A₀, A₁) = inf

X=X0+X1

(kX₀k_A0 +tkX₁k_A1) – функционал Петре.

Пусть R={τ_k(ω)}^∞_k=1 – последовательность моментов остановок относительно фильтрации F, A(F) = (A₀(F), A₁(F)) – пара квазинормированных собственных подпространств N(F). Определим для X ∈N(F) и t∈(0,∞) функционал

K_R(t, X) =K(t, X;A₀, A₁, R) = inf

τ∈R(kX−X^τk_A0+tkX^τk_A1).

Здесь точная нижняя грань берется по всем остановкам из R. При 0< q <∞

(A₀, A₁)^R_θq =



X∈N(F) :kXk^q_(A

0,A1)θ,q = Z∞

0

(t^−θK_R(t, X))^qdt t <∞



, а при q =∞

(A₀, A₁)^R_θ,∞=

½

X∈N(F) :kXk_{(A0,A1)θ,∞} = sup

0<t<∞t^−θK_R(t, X)<∞

¾ .

Tеорема 1. Пусть (A₀(F), A₁(F)),(B₀(Φ), B₁(Φ)) – две совместимые пары пространств стохастических процессов и R ={τ(ω)} – некоторое фиксированное семейство марковских моментов относительно фильтрации F.

Если T - квазилинейное отображение для стохастических процессов X = (X_n, F_n)_n≥1 и выполнены условия

kT(X−X^τ)k_B0 ≤M₀kX−X^τk_A0, kT(X^τ)k_B1 ≤M₁kX^τk_A1 для всех остановок τ ∈ R , то верно неравенство

kT(X)k_Bθq ≤CM₀^1−θM₁^θkXk_A^R

θq. Здесь константа C из определения квазилинейности оператора T.

Доказательство.

kT(X)k_Bθq = µZ _∞

0

µ

t^−θ inf

T(X)=Y0+Y1

(kY₀k_B0 +tkY₁k_B1)

¶_q dt

t

¶¹

q ≤

≤ µZ _∞

0

µ t^−θ inf

τ∈R(kT(X)−T(X^τ)k_B0 +tkT(X^τ)k_B1

¶_q dt

t

¶¹

q

≤

≤C µZ _∞

0

µ t^−θ inf

τ∈R(kT(X−X^τ)k_B0 +tkT(X^τ)k_B1

¶_q dt

t

¶¹

q ≤

≤CM₀ µZ _∞

0

µ t^−θ inf

τ∈R(kX−X^τk_A0 +tM₁

M₀kX^τk_A1)

¶_q dt

t

¶¹

q

=

=CM₀^1−θM₁^θkXk_AR θq(F). Теорема доказана.

Лемма 1. [5] Пусть a >1, R={k}_k∈N – остановки. Тогда при 0< q <∞

kXk_(A0,A1)R θq ∼

à _∞ X

n=0

(a^θnK_R(aⁿ, X))^q

!¹

q

и

kXk_(A0,A1)R

θ∞ ∼sup

n a^θnK_R(aⁿ, X).

Пространство N_p^αq(F).

Лемма 2. Пусть α >0, 0< q ≤ ∞, 1< p ≤ ∞. Если процесс X = (X_n, F_n)_n≥1 ∈ N_p^αq(F), то существует случайная величина X_∞ такая, что X_n−→

n→∞X_∞ (P - п.н.).

Доказательство.Пусть L_p∞(Ω) – пространство Марцинкевича-Лоренца. Воспользовавшись эквивалентной нормировкой (см.[1]) пространства L_p∞(Ω) и измеримостью функции X_n от- носительно σ -алгебры F_n, получим

kX_nk_Lp∞[0,1]∼ sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

X_nP(dω)

¯¯

¯¯=

= sup

A∈Fn,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

X_nP(dω)

¯¯

¯¯≤ sup

A∈F2ν,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

X₂^νP(dω)

¯¯

¯¯,

здесь ν : 2^ν−1≤n <2^ν. Далее имеем kX_nk_Lp∞[0,1]≤

ν−1X

k=0

sup

A∈F₂k,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X₂k+1−X₂k)P(dω)

¯¯

¯¯≤ kXk_N01 p (F).

Учитывая, что Np^αq(F) ,→ N_p⁰¹(F), при α > 0 получим kX_nk_Lp∞[0,1] ≤ ckX_nk_Np^αq_(F). Но M|X_n| ≤ckX_nk_Lp∞[0,1], поэтому по теореме Дуба [6] процесс X_n сходится почти наверное.

Приведем эквивалентную нормировку пространства Np^αq(F).

Tеорема 2. Пусть α >0, 0< q≤ ∞, 1< p≤ ∞. X = (X_n, F_n)_n≥1 – мартингал. Тогда

kXk_Np^αq_(F)∼ Ã_∞

X

k=0

(2^αkXf_k)^q

!¹

q

,

где

Xf_k= sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X_∞−X₂k−1)P(dω)

¯¯

¯¯.

Доказательство. Существование X_∞ следует из леммы 2. Далее имеем Xf_k= sup

A∈F₂k

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯

¯ Z

A

X∞

m=k

(X₂^m−X₂m−1)P(dω)

¯¯

¯¯

¯≤

≤ X∞

m=k

sup

A∈F2m

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X₂^m−X₂^m−1)P(dω)

¯¯

¯¯= X∞

m=k

∆X_m. Поэтому

Ã_∞ X

k=0

(2^αkXf_k)^q

!¹

q

≤ Ã_∞

X

k=0

(2^αk X∞

m=k

∆X_m)^q

!¹

q

. Для любого ε >0, используя неравенство Гельдера, имеем

ÃX∞

k=0

(2^αk X∞

m=k

∆X_m)^q

!¹

q

= ÃX∞

k=0

2^αkq ÃX∞

m=k

(2^mε∆X_m)2^−mε

!_q!¹

q

≤

≤



X^∞

k=0

2^αkq X∞

m=k

2^mεq∆X^q_m à _∞

X

m=k

2^−mεq0

!^q

q0





1 q

∼

∼ ÃX∞

k=0

2^kq(α−ε) X∞

m=k

2^mεq∆X^q_m

!¹

q

= ÃX∞

m=0

2^mεq∆X^q_m X∞

k=0

2^kq(α−ε)

!¹

q

∼ kXk_Np^αq_(F).

Обратное неравенство верно в силу следующих соотношений, которые следуют из F_k− измеримости функции X_k и свойства субмартингальности процесса X:

∆X_k = sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X₂k−X₂k−1)P(dω)

¯¯

¯¯=

= sup

A∈F₂k,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X₂k−X₂k−1)P(dω)

¯¯

¯¯≤

≤ sup

A∈F₂k,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X_∞−X₂k−1)P(dω)

¯¯

¯¯≤

≤ sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

(X_∞−X₂^k−1)P(dω)

¯¯

¯¯=Xf_k. Теорема доказана.

Tеорема 3. Пусть 1< p, q, q₀, q₁ ≤ ∞, α₀< α₁, 0< θ <1, α= (1−θ)α₀+θα₁, R={r}_r∈N. Тогда

(N_p^α0q0(F), N_p^α1q1(F))^R_θq =N_p^αq(F).

Доказательство.Используя лемму 1 и свойство вложения пространств N_p^αq(F), имеем

kXk_(N^α0q0

p ,Np^α1q1)^R_θq ∼ ÃX∞

n=0

(2^θnK(2ⁿ, X))^q

!¹

q

=

= Ã _∞

X

n=0

(2^θninf

r (kX−X^2rk_N^α0q0

p + 2⁻ⁿkX^2rk_N^α1q1 p ))^q

!¹

q

≤

≤c Ã_∞

X

n=0

(2^θninf

r (kX−X^2rk_N^α01

p + 2⁻ⁿkX^2rk_N^α11 p ))^q

!¹

q

. Положив r=nγ, получим

kXk_(N^α0q0

p ,Np^α1q1)^R_θq ≤c Ã_∞

X

n=0

(2^θn(kX−X^2nγk_N^α01

p + 2⁻ⁿkX^2nγk_N^α11 p ))^q

!¹

q

. (1)

Непосредственно из определения следует, что

(∆X^2r)_k= ∆X_k при k= 0,1, ..., r−1; (∆X^2r)_k= 0 при k≥r,

∆(X−X^2r)_k= 0 при k= 0,1, ..., r−1; ∆(X−X^2r)_k= ∆X_k при k≥r, поэтому

kX^2rk_Np^αq_(F)= Ã_r−1

X

k=0

(2^αk∆X_k)^q

!¹

q

,

kX−X^2rk_Np^αq_(F)= Ã_∞

X

k=r

(2^αk∆X_k)^q

!¹

q

.

Подставив эти равенства при q = 1 в (1) и применив неравенство Минковского, оценим слагаемые в правой части (1):



X^∞

n=0

2^θn X∞

k=nγ

(2^α0k∆X_k)^q





1 q

≤



X^∞

n=0

2^θnq X∞

k=nγ

(2^α0k+εk∆X_k)^q X∞

k=nγ

(2^−εkq0)^qq0





1 q

=

=c



X^∞

n=0

2^{θnq−εnγq} X∞

k=nγ

(2^α0k+εk∆X_k)^q





1 q

=c



 X∞

k=0

(2^α0k+εk∆X_k)^q

k

Xγ

n=0

2^{θnq−εnγq}





1 q

≤

≤c₁ ÃX∞

k=0

2^α0k+εkq ·2^{θkqγ −εkq}(∆X_k)^q

!¹

q

. (2)

ÃX∞

n=0

2^−n(1−θ) Xnγ

k=0

(2^α1k∆X_k)^q

!¹

q

=

= Ã_∞

X

n=0

2^{−nq(1−θ)} Ã_nγ

X

k=0

2^α1k−εk∆X_k·2^εk

!_q!¹

q

≤

≤ Ã _∞

X

n=0

2^{−nq(1−θ)} Xnγ

k=0

(2^kq(α1−ε)∆X_k)(

Xnγ

k=0

2^εkq0)^qq0

!¹

q

=

=c à _∞

X

n=0

2−nq+nqθ+εnγq

Xnγ

k=0

2^kq(α1−ε)∆X^q_k

!¹

q

=

=c Ã_∞

X

k=0

2^kq(α1−ε)∆X^q_k X∞

n=0

2−nq+nqθ+εnγq

!¹

q

=

=c₁ Ã_∞

X

k=0

2^{kq(α1−1−θγ )}∆X^q_k

!¹

q

. (3)

Сделав подстановку γ= _α ¹

1−α0 в (2) и (3), получим ÃX∞

n=0

(2^θn(kX−X^2nγk_Nα01 p )^q

!¹

q

≤c₁ ÃX∞

k=0

(2^αk∆X_k)^q

!¹

q

∼ kXk_Np^αq, (4) Ã _∞

X

n=0

(2⁻ⁿkX^2nγk_N^α11 p )^q

!¹

q

≤c₁ Ã_∞

X

k=0

(2^kα∆X_k)^q

!¹

q

∼ kXk_Np^αq. (5) Применив неравенство Минковского и подставив (4) и (5) в (1), имеем

kXk_(N^α0q0

p ,Np^α1q1)^R_θq ≤ckXk_Np^αq.

Для доказательства противоположной оценки воспользуемся тем, что для любых r и k выполнено равенство

∆X_k= ∆(X−X^2r)_k+ (∆X^2r)_k. Имеем

kXk_Np^αq = ÃX∞

k=0

(2^αk∆X_k)^q

!¹

q

=

= Ã _∞

X

k=0

³

2^αk−α0k(2^α0k∆(X−X^2r)_k+ 2^α0k−α1k·2^α1k(∆X^2r)_k)

´_q!¹

q

≤

≤ Ã_∞

X

k=0

µ

2^αk−α0k(sup

k

2^α0k∆(X−X^2r)_k+ 2^α0k−α1k·sup

k

2^α1k(∆X^2r)_k)

¶_q!¹

q

=

= Ã_∞

X

k=0

³

2^αk−α0k(kX−X^2rk_N^α0∞

p + 2^α0k−α1kkX^2rk_N^α1∞

p )

´_q!¹

q

.

Теперь, сделав подстановку 2^α1−α0 =a и используя лемму 1, получим

kXk_Np^αq ≤ Ã_∞

X

k=0

(a^θk·K(a^k, X, N_p^α0∞, N_p^α1∞))^q

!¹

q

∼ kXk_(N^α0∞

p ,Np^α1∞)^R_θq. Что и доказывает теорему, так как (N_p^α0qo, N_p^α1q1)^R_θq ,→(N_p^α0∞, N_p^α1∞)^R_θq.

Приведем пример фильтрации, которую в дальнейшем будем называть фильтрацией Хаара.

Пусть Ω = [0,1], P – мера Лебега, n ∈ N, F₁ = {Ω,∅}, F₂ −σ-алгебра, порожденная подмножествами [0,¹₂],(¹₂,1], т.е. F₂ = {Ω,[0,¹₂],(¹₂,1],∅}. При 2ⁿ < k ≤ 2ⁿ⁺¹ обозначим a_n,k= 2⁻ⁿ(k−2ⁿ−1) и определим F_k как σ− алгебру, порожденную набором

{[0, 1

2ⁿ⁺¹],( 1 2ⁿ⁺¹

1

2ⁿ], ...,(a_n,k− 1

2ⁿ⁺¹, a_n,k],(a_n,k, a_n,k+ 1 2ⁿ⁺¹],

(a_n,k+ 1

2ⁿ⁺¹, a_n,k+ 1

2ⁿ],(a_n,k+ 1

2ⁿ, a_n,k+ 1

2ⁿ⁻¹],(a_n,k+ 1

2ⁿ⁻¹, a_n,k+ 3

2ⁿ], ...,(1− 1 2ⁿ,1]}.

Заметим, что если {H_k(ω)}_k≥1 – система Хаара, а F = {F_k}_k≥1 – фильтрация, опреде- ленная в предыдущем примере, {c_k}_k≥1 – некоторая числовая последовательность, то процесс X= (X_n, F_n)_n≥1, где X_n(ω) =P_n

k=1c_kH_k(ω), является мартингальным процессом.

Пространства с переменными аппроксимационными свойствами. Существенная часть конструкции введенного выше интерполяционного метода основана на мартингальных свойствах стохастических процессов и использовании понятия момента остановки. Рассмотрим применение введенного интерполяционного метода к пространствам типа пространств Бесова с переменными аппроксимационными свойствами.

Пусть Ω = [0,1], F – σ-алгебра борелевских подмножеств множества Ω, P – линейная мера Лебега на F, F = {F_n}_n≥1 - фильтрация Хаара, R = {τ_k}^∞_k=0 – последовательность моментов остановки такая, что для любого k≥0 выполнены условия: τ_k≤τ_k+1 (P−п.н.) и

k→∞lim τ_k(ω) =∞ (P-п.н.) (6)

Для функции f(x) ∈ L[0,1] обозначим через c_k(f) коэффициенты Фурье по системе {H_k(x)}_k≥1 функций Хаара [7]. Для заданного момента остановки τ_k(ω) обозначим

S(f, τ_k)(ω) =

τXk(ω)

m=1

c_m(f)H_m(ω)

и назовем ее частичной суммой Фурье–Хаара функции f, соответствующей марковскому мо- менту τ_k.

Пусть 1 < p < ∞, 0 < q ≤ ∞, α ∈ R. Через B_p^αq[R] обозначим множество функций f ∈L[0,1], для которых при 0< q <∞

kfk_B^αq_{p [R]}= Ã_∞

X

k=0

2^αkqkf −S(f, τ_k)k^q_Lp

!¹

q

<∞, и

kfk_Bα∞

p [R]= sup

k

2^αkkf −S(f, τ_k)k_Lp <∞.

В идейном плане введенные пространства близки к пространствам с переменной гладкостью.

Здесь отметим работы H.-G.Leopold [8], F.Cobos and D.L.Fernandez [9], O.V.Besov [10] – [13].

Лемма 3. Пусть 1 < p <∞, f ∈ L_p[0,1], S(f, τ) – частичная сумма Фурье–Хаара, соот- ветствующая марковскому моменту τ. Тогда верно неравенство

kS(f, τ)k_p≤ckfk_p. Доказательство.Обозначим

F_τ ={A∈F: A∩ {τ =n} ∈F_n для любого n≥1}.

Пусть L_p∞[0,1] – пространство Марцинкевича–Лоренца. Воспользовавшись эквивалентной нормировкой (см.[1]) пространства L_p∞[0,1] и мартингальными свойствами частичных сумм Фурье–Хаара, получим

kS(f, τ)k_Lp∞[0,1]∼ sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

S(f, τ)P(dω)

¯¯

¯¯=

= sup

A∈Fτ,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

S(f, τ)P(dω)

¯¯

¯¯= sup

A∈Fτ,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

f(ω)P(dω)

¯¯

¯¯≤

≤ sup

A∈F,P(A)>0

1 (P(A))^p10

¯¯

¯¯ Z

A

f(ω)P(dω)

¯¯

¯¯=kfk_Lp∞[0,1].

Теперь, применив интерполяционную теорему (см.[4]), получим утверждение леммы.

Лемма 4. Пусть 1< p <∞, 0< q≤ ∞, α∈R,

∆(f, τ_k) =

τk+1X−1

r=τk

c_r(f)H_r(ω).

Тогда

kfk_Bp^αq_[R]∼ ÃX∞

k=0

2^αkqk∆(f, τ_k)k^q_Lp

!¹

q

.

Доказательство.Покажем, что

kfk_B^αq_{p [R]}≤c Ã_∞

X

k=0

2^αkqk∆(f, τ_k)k^q_Lp

!¹

q

.

В силу условия (6) и того факта, что система Хаара является базисом в L_p[0,1], имеем kf−S(f, τ_k)k_Lp =

°°

°°

° X∞

m=k

∆(f, τ_m)

°°

°°

°Lp

≤ X∞

m=k

k∆(f, τ_m)k_Lp, следовательно,

kfk_B^αq_{p [R]}≤ ÃX∞

k=0

2^αkq ÃX∞

m=k

k∆(f, τ_m)k_Lp

!_q!¹

q

. Используя неравенство Гельдера, для любого ε >0 имеем

Ã_∞ X

k=0

2^αkq à _∞

X

m=k

k∆(f, τ_m)k_Lp

!_q!¹

q

= Ã _∞

X

k=0

2^αkq à _∞

X

m=k

(2^mεk∆(f, τ_m)k_Lp)2^−mε

!_q!¹

q

≤

≤



X^∞

k=0

2^αkq X∞

m=k

2^mεqk∆(f, τ_m)k_Lp à _∞

X

m=k

2^−mεq0

!^q

q0





1 q

≤

≤c₁ Ã_∞

X

k=0

2^kq(α−ε) X∞

m=k

2^mεqk∆(f, τ_m)k^q_Lp

!¹

q

=

=c₁ ÃX∞

m=0

2^mεqk∆(f, τ_m)k^q_Lp Xm

k=0

2^kq(α−ε)

!¹

q

≤c ÃX∞

m=0

2^αmk∆(f, τ_m)k^q_Lp

!¹

q

. Обратное неравенство следует из леммы 2, в которой вместо f положим P_∞

τkc_k(f)H_k(f), а вместо τ положим τ_k+1. Лемма доказана.