ТЕРЕҢДЕТІЛГЕН ФИЗИКА 6В07108

ТЕРЕҢДЕТІЛГЕН ФИЗИКА

6В07108 –Автоматтандыру және басқару білім беру бағдарламасы бойынша оқитын студенттерге арналған дәрістер жинағы

Алматы 2021

Коммерциялық емес акционерлік қоғам

ҒҰМАРБЕК ДӘУКЕЕВ АТЫНДАҒЫ АЛМАТЫ ЭНЕРГЕТИКА ЖӘНЕ БАЙЛАНЫС

УНИВЕРСИТЕТІ

Ғарыштық инженерия кафедрасы

ҚҰРАСТЫРҒАНДАР: Сыздықова Р.Н., – Тереңдетілген физика.

6В07108 –Автоматтандыру және басқару білім беру бағдарламасы бойынша оқитын студенттерге арналған дәрістер жинағы. - Алматы: АЭжБУ, 2021 - 75 б.

Бакалавриаттың автоматтандыру және басқару мамандықтары үшін

«Тереңдетілген физика» пәні бойынша дәрістердің қысқаша мазмұны берілген.

«Тереңдетілген физика» пәні бойынша дәрістер конспектісі оқу үдерісін әдістемелік қамтамасыз ету жүйесінің бір элементі болып табылады және дәрістік сабақтарда, сондай-ақ студенттердің өзіндік жұмыстарында теориялық мәліметтермен жұмыс істеуде, машықтандыру, зертханалық сабақтарына және емтиханға дайындық кезінде таратпа материал ретінде қолдануға болады. Студенттер мен жас оқытушыларға ұсынылады.

Дәрістер жинағы 6В07108 –Автоматтандыру және басқару білім беру бағдарламасы барлық оқу түрлерінің студенттерге арналған.

Сур. 25 , кесте 6, әдеб. көр. - 14 атау.

Пікір беруші:ЭТ каф.доценті Айтжанов Н.М.

«Ғұмарбек Дәукеев атындағы Алматы Энергетика және Байланыс Университеті» коммерциялық емес акционерлік қоғамының 2021 ж баспа жоспары бойынша басылады.

© «Ғұмарбек Дәукеев атындағы Алматы энергетика және байланыс университеті» КЕАҚ, 2021 ж.

3

Кіріспе

«Тереңдетілген физика» дәрістер конспектісінде осы пән бойынша автоматтандыру және басқару бакалавриат мамандықтары үшін дәрістердің қысқа мазмұны берілген.

Әр дәрісте тақырыптың негізгі сұрақтары мен олардың логикалық байланысы және құрылымдық тұтастығы көрсетіледі. Сондықтан оқу- әдістемелік құрал студенттің дәрістік сабақтар, аудиториядан тыс өзіндік жұмыстар сияқты оқу іс-әрекеті үшін бағыттаушы құрал болып табылады.

Әр дәрістің мақсатының нақты берілуі, оқу материалының мазмұндалу формасы оның мазмұнына сай келеді, ол «Тереңдетілген физика» курсын меңгеруде ЕСЖ-тарды жүйелеуге, жақсы меңгеруге көмек береді.

Дәрістер жиынтығы аспап жасау мамандығының студенттеріне арналған.

Осы мамандықтар үшін «Тереңдетілген физика» курсы жалпы мазмұнға ие.

Мамандық бойынша оқу-әдістемелік қамтамасыз етудің барлық жүйесі кейбір бөлімдерді ғана тереңірек қарастырады.

4 1 Дәріс №1 Максвелл теңдеулері

Дәрістің мазмұны: Максвелл теңдеулерінің электродинамикадағы маңызы ашып көрсетіледі.

Дәрістің мақсаты: Максвелл теңдеулерінің оқып үйрену.

1.1 Электромагнитті өріс. Ығысу тогы

Айнымалы ток тізбегінде (1.1 сурет) конденсатор астарлары арасында өткізгіштік токты тұйықтайтын қандай да бір процесс өтеді, бұл – ығысу тогы болып табылады, ол токтың тығыздығы

t

j_ыг D



= 

 

, (1.1)

мұндағы

t D



 

- конденсатор астарлары арасындағы D

электр ығысуының өзгеру жылдамдығы. Осыны ескеріп, Максвелдің екінші теңдеуін мына түрде жазуға болады:

S t d j D

d H

L S

пр

 

 











 





 +

= , (1.2)

мұндағы

t j D j _пр

 + 

=

 

 - толық ток тығыздығы.

1.1 сурет

(1.2) теңдеу электромагниттік өріске ойша енгізілген кез келген қозғалмайтын тұйық контур бойынша алынған Н

магнит өрісінің кернеулік векторының циркуляциясы S беттен өтетін өткізгіштік және ығысу токтарының алгебралық қосындысына тең болатынын көрсетеді.

5

1.2 Дифференциал және интеграл түрдегі Максвелл теңдеулері

Электромагниттік индукция құбылысын оқып үйрену кезінде айнымалы магнит өрісінде тыныштықта тұрған контурда индукциялық ток пайда болатыны байқалған. Магнит өрісі уақыт бойынша өзгергенде қозғалмайтын контурда индукцияның ЭҚК-ң пайда болуы Максвелл теориясы бойынша құйынды электр өрісінің пайда болуымен түсіндіріледі. Оның электростатикалық өрістен ерекшелігі осы өрісте бірлік оң зарядты тұйық контур бойымен орын ауыстырғанда атқарылған жұмыс нөлге тең емес, ол индукцияның ЭҚК-не тең





=

L Bd E 

, (1.3)

мұндағы E_B

- айнымалы магнит өрісімен индукцияланған электр өрісінің кернеулігі.

Электромагниттік (1.1) индукция заңынан

t d Ф

E_B



−



^{ }= немесе



⁼⁻



^_

S L

S t d d B

E  



(1.4)

өрнектерін алуға болады.

Соңғы өрнек Максвелдің бірінші теңдеуі. Электромагниттік өріске ойша енгізілген кез келген қозғалмайтын тұйық контур бойынша алынған



L

d E 

-

E

векторының циркуляциясы теріс таңбамен алынған S беттен өтетін

^_

S

S t d B 

- магнит ағынының өзгеру жылдамдығына тең. Бұдан Максвелл теориясының бірінші тұжырымы: магнит өрісінің кез келген өзгерісі құйынды электр өрісін тудырады.

Максвелл теңдеулерінің жүйесі 1.1-кестеде көрсетілген.

1.1 кесте

Интегралдық түрі Дифференциалдық түрі 1.



⁼⁻



^_

S L

S t d d B

E  



t E B

rot 

−

=

 

2. d S

t j D d

H

L S

пр

 

 











 





 +

=

t j D H

rot 

+

=

 

 3.



=0

S

S d B 

=0 B di 

 4.



⁼



V S

V d S

d

D^{ }  diD = 

5. D E

0



=

6. B H

0



=

7. j E



=

6

Алғашқы екі теңдеуден маңызды қорытынды шығады: айнымалы электр және магнит өрістері біртұтас электромагниттік өріс жасап, бір-бірімен тығыз байланысқан.

Үшінші және төртінші теңдеулер электр өрісінің көздері – электр зарядтары, ал магниттік зарядтардың болмайтынын көрсетеді. Сондықтан Максвелл теңдеулері электр және магнит өрістеріне қатысты симметриялы емес. 1.2-кестеде (5, 6, 7) қатынастары материялық теңдеулер деп аталады, себебі олар ортаның жеке қасиеттерін көрсетеді.

Максвелл теориясы сол кездегі белгілі барлық тәжірибелік фактілерді түсіндірді және бірқатар жаңа құбылыстарды болжады. Оның теориясының негізгі салдары жарық жылдамдығымен таралатын электромагниттік толқындардың болуы жөнінде қорытынды болды, ол кейіннен жарықтың электромагниттік теориясын құруға алып келді.

2 Дәріс №2. Тербелістер. Гармоникалық тербелістердің жалпы сипаттамалары. Өшетін тербелістер.Тербелістерді қосу

Дәрістің мазмұны: дәрісте электромагниттік тербелістер және оның сипаттамаларына шолу жасалады

Дәрістің мақсаты: тербеліс процестерін оқып үйрену.

Қандай да бір дәрежеде қайталанып тұратын процестер (қозғалыстар немесе күй теңдеулері) тербелістер деп аталады.

Жүйені тепе-теңдік күйден шығарғаннан кейін өздігінен өтетін тербелістер еркін (меншікті) тербелістер деп аталады.

Сыртқы периодты күштің әсерінен жүйеде пайда болатын тербелістер еріксіз тербелістер деп аталады.

Егер тербелмелі жүйені сипаттайтын барлық физикалық шамалардың мәндері бірдей тең уақыт аралықтарында қайталанып тұратын тербелістер периодтық тербелістер деп аталады.

Гармоникалық тербелістер деп косинус (немесе синус) заңы бойынша өтетін процестерді айтады.

2.1 Еркін гармоникалық тербелістер

Гармоникалық тербеліс жасайтын шама үшін өрнекті мына түрде жазуға болады:

, (2.1) мұндағы - тербеліс амплитудасы, өзгеретін шаманың ең үлкен мәні;

- меншікті дөңгелектік (немесе циклдік), уақыттағы толық тербеліс саны;

( )t S

( )

t = Acos

(

₀t+₀

)

S

Sm

A= S

0 2

7

- кез келген мезетінде мәнін анықтайтын тербеліс фазасы;

- бастапқы фаза, яғни бастапқы уақыт мезетінде тербеліс фазасы.

Толық тербеліс жасайтын уақыт период деп аталады , .

Бірлік уақыт ішінде жасалатын толық тербеліс саны жиілік деп аталады.

Гармоникалық еркін тербелістер екінші реттік біртекті дифференциалдық теңдеумен сипатталады:

; . (2.2)

(2.2) теңдеуінің шешімі гармоникалық тербелістің теңдеуі (2.1) болып табылады.

Тербелмелі процестің физикалық табиғаты мен оның пайда болу

«механизміне» қарай тербелмелі процестер механикалық, электромагниттік, электромеханкалық т.б. тербелістерге бөлінеді.

2.1 сурет 2.2 сурет

Тербелмелі жүйе осциллятор, ал гармоникалық тербеліс жасайтын жүйені гармоникалық осциллятор деп атау қабылданған. Осцилляторларға маятниктер, тербелмелі контур, қатты денелердің молекулалары мен атомдары және т.б. жатады.

Тербелмелі процестерді оқып үйрену табиғаты әртүрлі процестер арасында математикалық ұқсастықты қарастырғанда қиын болмайды. Себебі, олар түрі бойынша бірдей дифференциалдық теңдеулермен сипатталады.

2.2 Бірдей бағыттағы және өзара перпендикуляр тербелістерді қосу

Тербелмелі жүйенің бір мезгілде бірнеше тербелмелі процестерге қатысып, жүйеде өтетін қорытқы тербелістің заңдылығын анықтауды тербелістерді қосу деп қарастырады. Екі шекті жағдайларды қарастырайық:

бірдей бағыттағы және өзара перпендикуляр бағыттағы тербелістерді қосу.

2.1 Бірдей бағыттағы,жіліктері бірдей тербелістерді қосу.

Егер жүйе бір мезгілде:

(

₀t+₀

)

t S

0 t =0

( )T T =2/



2 0

0 =

+ S

S^  (S=d²S/dt²)

8

, , (2.4) теңдеулерімен сипатталатын екі тербеліске қатысса, онда қосуды векторлық диаграмма әдісін қолданып, жүргізуге болады (5.3 сурет). Қорытқы векторының х осіне проекциясы қосылғыш векторлардың проекцияларының

қосындысына тең: .

2.3 сурет бойынша қорытқы тербеліс амплитудасы косинустар теоремасымен:

, (2.5)

ал қорытқы тербелістің бастапқы фазасы тангенс бойынша анықталады:

. (2.6)

5.3 сурет

Сонда қорытқы гармоникалық тербелістің теңдеуі:

.

2.2.2 Жиіліктері бірдей, өзара перпендикуляр тербелістерді қосу.

Егер тербелістер бір мезгілде өзара перпендикуляр х осі және у осі бойымен өтсе, онда олардың теңдеулері келесі түрде жазылуы мүмкін:

, , (2.7)

мұндағы - екі тербелістің фазалар айырымы (фаза ығысуы).

Қорытқы тербелістің траекториясын анықтау үшін (2.7) теңдеудегі уақыттан құтылып, траекторияның теңдеуін шығарып аламыз:

(

_{0 01}

)

1

1 = A cos t+

x x₂ = A₂cos

(

₀t+₀₂

)

А

2

1 x

x x= +

( 02 01)

2 1 2 2 2 1

2 = A +A +2AA cos −

A

02 2

01 1

02 2

01 1

0 cos cos

sin sin







 

A A

A tg A

+

= +

(

_{0 0}

)

cos +

= A t

x

t A

x= cos y =Bcos

(

t+₀

)

0

9

. (2.8) Егер өзара перпендикуляр тербелістердің жиіліктері бірдей болмаса, онда қорытқы қозғалыстың траекториялары Лиссажу фигуралары деп аталатын күрделі қисықтарды береді.

2.3 Электрмагнитті тербеліс энергиясы. Өшетін еркін электр тербелістері

Тербелмелі контурда конденсатордың зарядталуы кезінде оның астарларының арасында энергиясы W_э электр өрісі, разрядталу кезінде индуктивті катушкада W_м магнит өрісінің энергиясы пайда болады.

Wм магнит және W_э электр өрістерінің энергияларының теңдеулері

( )



1 cos 2 2



4 1 2

1

0 2

2 = − +

= LI LI t

W_{м m} және ^{1 cos}(^{2 2} )^,

4 1 2

1 ² = ₂ +  + 

= LI t

c

W_э q _m

ал Wтолық энергия

const LI

c W q

W

W = _м + _э = ^m = ^m = 2 2

2 2

(2.9) өрнектерімен анықталады.

Нақты тербелмелі контурдың идеал контурдан ерекшелігі - конденсатор мен катушкаға тізбектей жалғанған кедергісі R резистордан тұрады. Өшетін электр тербелістердің дифференциалдық теңдеуін R кедергіні ескеріп, жалпылама Ом заңынан аламыз:

0 2 + ₀² =

+ q q

q   _, (2.10) мұндағы ^ - өшу коэффициенті,

L R

= 2

 _.

Бұл теңдеуінің шешімі өшетін тербелістің теңдеуі болып табылады:

(

₀

)

0 ^ cos  +

= q e⁻ t

q _m ^t _, (2.11)

мұндағы q_m0 тұрақты (бастапқы амплитуда) және ₀ (бастапқы фаза) бастапқы шарттарға, яғни бастапқы уақыт мезетіндегі

q

_және q мәндеріне тәуелді. Өшетін тербелістер периоды мен циклдік жиілігі T =2/ ₀² −² және  = ₀² −² өрнектерімен анықталады. Өшетін тербелістің амплитудасы

e есе азаятын уақыт аралығын  релаксация уақыты (^{ =1/} ) деп атайды.

0 2 2

2 2 0

2

sin

2 cos + = 

− B

y AB

xy A

x

10

Өшетін тербелістің амплитудасының кему жылдамдығын сандық түрде сипаттау үшін өшудің логарифмдік декременті деген ұғымды қолданады.

Өшудің логарифмдік декременті  деп периодқа ерекшеленетін уақыт мезеттеріне сәйкес амплитудалардың мәндерінің қатынасының натурал логарифмін айтады:

( ( ) )

N_e

T T T

t A

t

A 1

ln = = =

= +

 

 , (2.12) мұндағы N_e - амплитудасы e есе азаятын уақыт аралығында жасайтын тербеліс саны.

3 Дәріс №3. Еріксіз тербелістер және айнымалы электр тоғы

Дәрістің мазмұны: еріксіз электромагниттік тербелістің дифференциал теңдеуі және оның шешімдері. Айнымалы ток сипаттамаларына шолу жасалады

Дәрістің мақсаты: айнымалы ток және оның заңдарын оқып үйрену.

3.1 Еріксіз электромагнитті тербелістер

Еріксіз электромагниттік тербелістерді тудыру үшін контурдың

элементтерін айнымалы ЭҚК-не қосу қажет, берілген жағдайда тербелмелі контурдың теңдеуі келесі түрде жазылады:

немесе

, (3.1) бұл еріксіз тербелістің дифференциал теңдеуі, оның дербес шешімі

, (3.2) мұндағы - конденсатордағы зарядтың амплитудасы;

- бастапқы фазасы және олар мына өрнектермен анықталады:

және ,

Осыларды ескеріп (3.2) өрнекті былай жазуға болады

C L R− −

c t RI q dt

LdI + + =_m cos

(

L

)

t

q q

q+2+₀² = _m/ cos



(

 −

)

=q t

q _mcos qm



(

0² ²

)

² 4²²

 +

= − L

q_m ^m 2 2

0

2





 

= − tg

11

(3.3) 3.2 Айнымалы электр тогы. Айнымалы электр тогына арналған Ом заңы

Электромагнит индукция заңынан магнит ағыны уақыт бойынша өзгерсе айналмалы электр қозғаушы күші пайда болады . Айнымалы ток алу үшін, тұрақты бұрыштық жылдамдықпен айналатын рамканы магнит өрісіне (электромагнит полюстері арасына) енгізуіміз керек. Кез келген уақыт мезетінде рамка орамының ауданың тесіп өтетін магнит ағыны , олай болса

, (3.4) мұндағы

Олай болса, айнымалы ток теңдеуі Ом заңынан шығады:

(3.5) Айнымалы токтың және кернеудің әсерлік (эффективті) және ең үлкен мәндері мынандай қатынаста болады:

және

Активті кедергіден, индуктивтіліктен және сыйымдылықтан тұратын тізбекті қарастырайық (3.1 а сурет). Тізбекке жиілігі бар кернеу тудырайық . Активті кедергіде ток пен кернеу арасында ығысу фазасы жоқ, сондықтан токтың өзгеруі болады.

3.1 сурет

Ал ндуктивтіліктегі кернеудің кемуі токтың фазасынан (3.1 б сурет).

- ге озады, сыйымдылықтағы кернеу - ге қалады. Олай болса,

( )

^.

cos 2

4 ^{2 2 02 2}

2 2 2 0



 





− − + 

= −





 







 ^{t arctg}

q q^m

dt dФ i =−



t Ф=BScos

t t

dt BS dФ

i    



=− = ^sin = 0^sin

0 .



^{= BS}

. sin sin

0

0 I t

R t

I ₌



R^і ₌



 ₌ 

2 I0

I_эф = .

2 U0

U_эф =

 t

U

U = _mcos

t I

I = _mcos

UL

2



2



12

катушкадағы ток , сәйкес индуктивтілік кедергі Ал конденсатордағы кернеу , ал ток күші заңымен өзгереді, сонда сыйымдылық кедергісі өрнегімен анықталады.

Мұндай жүйенің векторлық диагрммасы 3.1, б -суретте көрсетілген.

Суреттен тізбектің кернеуі мен ток күшінің фазалық айырмасы мына өрнекпен анықталады:

. (3.9) Жоғарыдағы 3.1, б-суреттен - кернеулер түсуінің қосындысы тізбекке түсірілген толық кернеуге тең болады.

Сонда толық кернеудің максимал мәні:

бұдан айнымалы тізбек үшін Ом заңы:

, (3.10)

мұндағы - тізбектің толық кедергісі (импеданс) және , екенін ескерсек:

өрнегі шығады мұны реaктивті кедергі деп атайды.

3.3 Резонанс

Жоғарыдағы (3.10) өрнектегі меншікті жиілік пен айнымалы ЭҚК жиілігінің айырмасы неғұрлым аз болған сайын, амплитуда соғұрлым жоғары болады. Сыртқы әсер жиілігінің белгілі бір мәнінде еріксіз тербелістің амплитудасының күрт артуы резонанс деп аталады. Резонанс басталатын сыртқы әсердің (ЭҚК) жиілігі резонанстық жиілік деп аталады.

Жиілікті табу үшін функциясының бөлімдегі түбір астындағы өрнекті бойынша дифференциалдап, нөлге теңестіреміз:



 



 +

=I cos t 2

I_{L m} Х_L =L.

t U

U = _mcos 



 



 −

=I cos t 2 I_{c m}

Х_c C



= 1



R L c R

I L c I tg

m

m    



1 1

= −



 



 −

=

C L

R U U

U , ,

U

( )

2 1 ²,

2 





 



 − +

= _{m m}

m I

L c RI

U  

2

2 1 )

( L C

R

I_m U^m

 − +

=

c Z L

R  =



 



 − +

2

2 1

  XL

L=

 _XC

c =

 1

L c X

X

X _{L C}

 −¹

=

−

=

0 

qm

qm



13

- ,

сонда резонаныстық жиілік пен амплитуда:

,

3.2, а - суретте өшу коэффициетінің әртүрлі мәндеріне сәйкес келетін резонанстық қисық сызықтары берілген. аз болған сайын максимум

а) б) 3.2 сурет

сүйірлене түседі. Ал 3.2, б-суретте өшу коэффициентінің әртүрлі мәндеріндегі еріксіз тербелістер фазасының сыртқы күштер фазасынан қалу сызбасы берілген. Қалу шамасы 0 мен аралықта жатады. мәнінде

шамасына сәйкес келеді. Резонанс кезінде ( ) демек . Әлсіз өшу кезінде , . Сонымен қатар ток күші мен кернеудің резонанстық мәндерін де анықтауға болады.

4 Дәріс №4. Толқындық процестер. Серпімді толқындар

Дәрістің мазмұны: дәрісте тербелістің таралу үрдісі, серпімді толқындар және толқындардың дисперсия құбылысы баяндалады.

Дәрістің мақсаты: толқындық үрдістерді оқып үйрену.

4.1 Серпімді толқындар және оның теңдеуі

Тербелістердің кеңістікте таралу процесі толқын деп аталады.

Механикалық тербелістердің серпімді ортада таралу процесі серпімді толқын деп аталады. Егер серпімді ортада оның бөлшектерін тербеліске келтірсе, онда

( )

^{4 0}

4₀²−² + ² =

2 2 2

2

0 2  



_рез = − = − .

2 ₀² −²

= ^m

рез

q q





  =0

2

 =  _рез ₀

2

  

0

_рез 

2

  

14

олардың арасындағы өзара әсерлесу салдарынан тербеліс бір бөлшектен екінші бөлшекке қандай да бір жылдамдықпен беріледі.

Бұл кезде бөлшектер орын ауыстырмайды, тепе-теңдік маңында тербеледі. Сондықтан толқындардың негізгі қасиеті – зат тасымалынсыз энергияны тасымалдау болып табылады.

Тепе-теңдік маңайында (толқындардың бойлық немесе көлденең таралу бағыты) бөлшек қозғалысының бағытына қарай толқындарды қума және көлденең деп екіге бөледі.

Көлденең толқындар ығысуға кедергі жасайтын ортада (қатты денелерде) таралады. Қума толқындар сығылуға және созылуға кедергісі бар орталарда (сұйық, газ тәрізді және қатты денелерде) таралады.

Бірдей фазада тербелетін нүктелердің геометриялық орны толқындық бет деп, ал берілген уақыт мезетінде тербеліс келіп жеткен нүктелердің геометриялық орны толқын фронты деп аталады. Толқындық беттер көп болуы мүмкін, ал толқын фронты біреу ғана. Толқындық беттер қозғалмайды, ал толқын фронты орын ауыстырады. Толқындық беттің (толқын фронты) пішініне қарай толқындар жазық немесе сфералық болуы мүмкін.

Толқын келесі параметрлермен сипатталады:

- толқын ұзындығы, бұл бір тербеліс периоды аралығында толқынның жүретін қашықтығы;

- толқын периоды, бір тербелістің уақыты;

- жиілік, бірлік уақыт ішіндегі тербеліс саны. Олардың арасындағы байланыс:

, .

Ортаның қандай да бір нүктесінде қандай да бір уақыт мезетінде ауытқу одан қандай да бір қашықтықта белгілі бір уақыттан кейін байқалады, яғни белгілі жылдамдықпен таралады.

Жалпы жағдайда толқынның теңдеуі уақыт пен үш кеңістіктік координатаның функциясы болып табылады. х осі бойымен ауытқулар таралғанда орта бөлшегінің тепе-теңдіктен ығысуы х координата мен уақыттың функциясы болып есептеледі, яғни .

Егер х=0 жазықтығында жататын нүктелердің тербелісі 𝜉(0, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜑₀] функциясымен сипатталса, онда бөлшектердің тербеліс көзінен қандай да бір х қашықтықта ол уақыт бойынша шамаға кешігеді, - толқынның таралу жылдамдығы. х жазықтығында жататын бөлшектердің тербеліс теңдеуі:

𝜉(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠[𝜔 (𝑡 −^𝑥

𝜐) + 𝜑₀] (4.1) Толқындарды сипаттау үшін - толқындық сан қолданылады:



Т v

Т

=

 =

 t

( )

x t f ,

 =



 =x/ 

k

15

. (4.2)

Толқындық сан ұзындығы тең кесіндіге қанша толқын ұзындығы сәйкес келетінін көрсетеді.

Сонда,

, (4.3) мұндағы - толқынның бастапқы фазасы;

- жазық толқынның фазасы.

(6.3) теңдеуі – энергия жұтпайтын ортада х осінің бойымен таралатын жазық қума толқынның теңдеуі.

Кеңістікте энергия тасымалдайтын толқындар қума толқындар деп аталады. (6.1) теңдеудегі жылдамдық – толқынның фазалық жылдамдығы, ол толқын фазасының таралу жылдамдығы.

Егер ортада энергия шығыны орын алса, онда:

, (4.4)

мұндағы - толқынның өшу коэффициенті.

Толқын фронтына перпендикуляр бағытталған бірлік вектормен сипатталатын кез келген бағытта жазық толқын таралғанда толқындық вектор енгізеді:

.

Бұл жағдайда жазық толқынның теңдеуі келесі түрде жазылады:

, (4.5)

мұндағы .

4.2 Толқындық теңдеу

Материялық нүктенің барлық мүмкін болатын қозғалыстарын сипаттайтын динамиканың негізгі теңдеуі сияқты толқындық процестер үшін де толқынның түріне тәуелсіз жалпылама өрнек болып табылатын теңдеулер бар. Бұл теңдеулер - толқынды сипаттайтын кеңістік пен уақыттағы функцияның өзгерісін байланыстыратын дербес туынды түріндегі дифференциалдық теңдеулер.

Оларды толқындық теңдеулер деп атайды. Толқындық теңдеуді алу үшін (4.3) теңдеуді алдымен уақыт бойынша, сосын х бойынша екі рет дифференциал аламыз. х осі бойымен таралатын жазық қума толқынның толқындық теңдеуін аламыз:











 _{= =}

= T

k 2 2

 2

( )

, cos( ₀)

 x t = A t−kx+

0

) (t −kx+₀



)

cos( ₀

0  

 = A e^−x t−kx+



n k



n n

k

k  





= 2

=

( )

, cos( ₀)

 r t = A t−kr+ z

k y k x k r

k= _x  + _y  + _ 

16

. (4.6) (4.3) жазық толқынның теңдеуі (4.6) толқындық теңдеудің шешімі болып табылады.

Жалпы жағдайда, ығысу төрт айнымалының функциясы болып табылады және ол келесі түрде жазылады:

, (4.7) мұндағы

. 4.3 Толқынның энергиясы. Умов векторы

Толқын таралатын серпімді орта бөлшектердің тербелмелі қозғалысының кинетикалық энергиясына және ортаның деформациясынан пайда болатын потенциалдық энергияға ие болады.

Барлық нүктелерде қозғалыс жылдамдығы және деформациясын бірдей деп есептеуге болатын және сәйкесінше х осі бойынша таралатын толқын үшін

және тең болатын аз көлемді ойша белгілеп аламыз.

Белгіленген көлем кинетикалық энергияға ие,

мұндағы - көлемдегі заттың массасы, .

Теңдеуге , мәнін қойып, келесі өрнекті аламыз:

.

Қарастырылып отырған көлем потенциалдық энергияға ие ,

мұндағы - Юнг модулі;

- салыстырмалы ұзару немесе сығылу.

Қума толқындардың жылдамдығы , екенін

ескерсек, потенциалдық энергияның өрнегін аламыз:

2 2 2 2

2 1

t

x 

= 



 





2 2 2

2 1

t

= 

 

 

2 2 2 2 2 2 2

x y

x 

+

 +



= 

    

t



x



V

t V t

W_k m  



 







= 



 









= 



2 2

2 2







V m= 

  V A

(

t kx

)

t =− −



  

sin

2



 







 t



(

t kx

)

V A

W_k = − 

  ²²sin²  2

1

E V W_n = 

 2

2

E

x

= 





 = E/ kA

(

t kx

)

x = −



 

sin

17

.

Ортаның көлемдегі бөлшектердің потенциалдық және кинетикалық энергияларының теңдеулеріне жүргізілген талдау олардың максимум мәндерінің бірдей екендігін, және уақыттың бірдей функциялары болып табылатынын көрсетеді. Бұл заңдылық серпімді ортада кез келген қума толқынға тән. Ол серпімді ортада таралатын тербелістердің таралу процестеріне қолданатын энергияның сақталу заңынан шығады. Серпімді толқындардың таралуы ортаның бір аймағынан екінші аймағына энергияның тасымалдануымен тығыз байланысты, сондықтан энергия координата мен уақытқа тәуелді.

Толық энергия мен қосындысына тең:

. (4.8) Осы энергияны көлемге бөлсек, энергия тығыздығын аламыз:

.

Ортаның әрбір нүктесінде энергияның тығыздығы синустың квадраты бойынша өзгереді, сондықтан ортаның әрбір нүктесінде энергияның орташа тығыздығы:

. (4.9) Қандай да бір бет арқылы бірлік уақытта толқын тасымалдайтын энергия осы бет арқылы өтетін энергия ағыны деп аталады:

.

Беттің әртүрлі нүктесінде энергия ағыны әртүрлі болуы мүмкін, сондықтан энергия ағынының тығыздығы деген ұғым енгізіледі. Бұл энергия тасымалының бағытына перпендикуляр бағытталған бірлік аудан арқылы өтетін энергия ағыны:

. (4.10)

(

t kx

)

V A

W_n = − 

  ²²sin²  2

1

V

Wk

 W_n

Wk

 W_n

( ^{t kx}) ^V

A W

W

W = _k + _n = − 

 ^{2 2}sin² 

(

t kx

)

V A

w W = −



=  ^{2 2}sin² 

2 2

2

1 A

w = 

dt

dt Ф= dW

⊥

⊥ = 

= dt dS

dW dS

j dФ

18

Гармоникалық толқындар үшін (синусоидалық) толқынның энергия тасымалының жылдамдығы фазалық жылдамдыққа тең . Табанының ауданы

және ұзындығы тең қиық цилиндр ішінде жинақталған энергия : .

Осы формуланы (4.10) - ге қойып, энергия ағынының тығыздығы үшін формуланы аламыз:

.

Ағынның тығыздығын және оның бағытын анықтау үшін Умов векторын енгізеді:

, (4.11)

мұндағы - модулі толқынның фазалық жылдамдығына тең берілген нүктеде толқынға нормаль жылдамдық векторы.

Энергия ағынының тығыздығының уақыт бойынша орташа мәні толқынның қарқындылығы деп аталады:

.

4.4 Толқындық түйдек. Топтық жылдамдық. Толқын дисперсиясы

Толқындық сигналдың таралуы толқын топтарының (толқындық түйдек) тасымалдайтын тербеліс энергиясының орын ауыстыруымен анықталады.

Сәуле шығару көбіне монохроматты бола бермейді, жіңішке жиіліктер интервалын құрайды. Осы жиілік мәндерінің жиынтығы жиіліктер спектрі деп аталады. Тербеліс сипатына қарай, спектр дискретті немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Жиіліктері бір-біріне жақын екі жазық толқынның суперпозициясы болып табылатын сызықтық ортада таралатын толқынның қарапайым тобы – квазисинусоидалық толқынды қарастырамыз.

және ,

мұндағы , , , .

Тербелістерді қосу нәтижесінде келесі өрнек шығады .



dS dt dW

= ⊥

=w dtdS w dtdS dW  cos 



=w j

j

v

j =w

k n



₌ v





 ^{2 2}

2

1 A

w j

I =  = =

( ^{t kx})

A −

= 

_{1 0}cos ^2 ^{= A}0^cos



(^+d) (^{t− k+dk})^x



1

= 

k (k+dk) (= +d)/₂ d dkk

( )



td xdk



( t kx)

A − −

=  

 2 ₀cos /2 cos