在 中，有多少個不同的整數

已知一遞增數列

{ , , ,...} {1,3,3,3,5,5,5,5,5,...}

a a a_{1 2 3}



，每一項皆為奇數，

且奇數k^重覆k次,試求第2009項a2009之值。

【解答】

答案: ^{1357}_^{(2n1)n2} 又n² 2009 即n45

取 m 45 即符合所求。

故 a2009=2m1 245189

<一般項作法>

設a_n

 2

m

+ 1

則

1 3 5 ... (2    

m

        1) 1

n

1 3 5 ... (2

m

 1)

m2

 + 1  

n

(

m

+ 1)

²



n

   1

m n

 1

1 1 1 [ 1]

n m n m n

        

n

2

a m

  + 1 2[ 

n

 1] + 1 其中  表示高斯記號

(

整數記號

) (設

n

為整數，當nxn1時，則 [

x

]＝

n

，

n

為不大於

x

之最大整數。

例如 [2.8]=2 ， [3.1]＝3)

故 a2009=244189

【評析】

本題屬於簡易的數論問題，如果能充分運用求和公式可以適度簡化計算過 程。此次共有12位同學參與此題徵答，所有學生均能將解答順利求出。許多 同學能提出許多不同的創意解法(例如運用等差求和公式。答題品質及書寫 較好的同學名單如後：臺中市居仁國中林鈺皙、黃顯博、郭昱廷 同學、臺北 市民生國中張育僑、臺北市蘭雅國中張高登 、臺北縣江翠國中廖浩翔 高雄 縣鳳西國中吳孟哲7人。

依次將正整數1,2,3,…的平方數排成一串：排在第1個位置的數字是1，排在第 5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2009個位置的數字 7101

7102

是？

【解答】

正整數的平方 幾位數 共佔 個位置

1² 到 3² 1 1×3＝3

4² 到 9² 2 2×6＝12

10² 到 31² 3 3×22＝66

32² 到 99² 4 4×68＝272

100² 到 316² 5 5×217＝1085

317² 到 411² 6 6×95＝570

3＋12＋66＋272＋1085＋570＝2008，412²＝169744

而169744的最高位數為1，所以排在第2009個位置的數字是1

【評析】

運用正整數的平方的運算，個數的累計，即可解出此題。

本題參與徵答人數有10人，分數如下：

得7分滿分者有9人：

臺北縣江翠國中廖浩翔 臺北縣中和國中梁子慶 臺中市居仁國中郭昱廷 臺中市居仁國中王嘉賢 臺中市居仁國中黃顯博 臺北市民生國中張育僑 臺北市蘭雅國中張高登 臺北市復興完全中學陳律廷 臺北縣義學國中洪承綱

如圖所示，在ABC中，ACB  90 , BAC60，在_AB 內取一點_D，在_CA的延長線上取一點_E，使得

AC CE AB BD BC    2。已知_CD1，則_BE?

【解答】

AC CE AB BD BC    2

AC CE AB BD BC BC

AC AC

   

 

AC AB BC

CE BD BC

AC AC AC

     

2 3

CE BD BC

    

7103

A E C

B D

E F

A B

C

D

顯然BFE 30 、_{BC BF: 1: 2}、_{BD EF: 1: 2} 即CBD~BFE

因此_{CD BE: 1: 2} 又_CD1，所以_BE2

【評析】

本題屬幾何問題，大部分的徵答作法均使用代數方式（利用畢式定理或餘弦定 理）解出。但建議盡量朝幾何的方法（如三角形相似原理）思考，多養成幾何方 面的解題能力。

從徵答的7位同學中，僅有台中市居仁國中林鈺皙同學嘗試從幾何的角度切入，

相當難得。建議對幾何類的問題，盡量以幾何的角度思考與欣賞，對數學能力的 養成將有很好的斬獲。

徵答人數共8人：

7分：

台中市居仁國中林鈺皙、台中市居仁國中郭昱廷、台北縣中和國中梁子慶、

台北縣江翠國中廖浩翔、台北市復興國中陳律廷、 高雄縣鳳西國中吳孟哲、 台 北市延平國中林育伶

5分：

台北市民生國中張育僑（雖然使用很好的代數方法，可惜欠缺有條理的表達方 式，建議對此可以多加磨練計算證明的寫作）

N P

Q

M D

C

B A

N P

Q

T

M D

C

B A

1

2

3

4

如圖所示，APM=BQM，AB、CD之中點分別為M、N，

試證：ADBC

【解答】

連BD取其中點T，連TM 、TN ， ∵ ^AB、CD之中點分別為M、N ∴^TN //BC， TM //AD

∴1=4，3=2 已知1=2  3=4 ∴ ₂^{1 BC}=TN =TM =

2 1 AD

【評析】

本題是一個多種解法的問，可從坐標法、旋轉變換、孟氏定理、，其中，利用 平行線的性質是一個較快速的途徑，如上述詳解。

本題徵答人數10人，其中得7分者有7人，得6分者有1人，得5分者有1人，

得0分者有1人。其中，答題最好的是台中市居仁國中8年32班林玉皙同學、台 中市居仁國中9年10班郭昱廷同學。特別是台北縣中和國中8年14班梁子慶同 學給了3種解法，充分顯示了數學解題的多元性，值得嘉許。

建中數學科競賽組 范文榮

在〝恰恰好〞市場中買東西時，攤販只接受與商品售價相等的付款方式，例如售 價8元的商品，我們可以8個1元硬幣、或是1個5元加上3個1元硬幣購買。今 日小建帶著總額不到100元的硬幣若干個（新臺幣硬幣幣額共有50元、10元、5 元、1元4種）到此市場消費，已知小建原本可以支付的款項（在前例中：

8 1 8 1 3 5 1      為同一種款項）有32種（包含0元），但若他將1個10元 硬幣與他人交換為2個5元硬幣，則可支付的款項會增加為56種，若他將1個 10元硬幣與他人交換為1個5元硬幣加上5個1元硬幣，則可支付的款項會大 7104

7105

【解答】

50元硬幣1個、10元硬幣3個、1元硬幣3個。

一般來說，付款的方式會多於可支付的款項數，這個情形在什麼時候會 發生呢？如題例，當我們欲支付8元的款項時，我們可以使用8個1元 硬幣，或是選擇使用1個5元硬幣來替換5個1元硬幣，這就造成了付款 方式多於支付的款項數，因此我們應盡量將大面額硬幣視為小面額硬幣 來使用，以保有支付款項的彈性並避免可支付款項的重複計算。

在做更進一步的討論之前，我們應先釐清一個觀念：「在什麼樣的條件之下，

我們可將大面額硬幣等同小面額硬幣來使用？」我們若欲將5元硬幣當成 1元硬幣使用，則1個5元硬幣可取代5個1元硬幣，但這不代表我們就 可以購買4元的產品（因為要恰恰好！），除非我們實質上擁有4個1 元硬幣。所以，若我們擁有4個1元硬幣及1個5元硬幣，則我們等同於 擁有9個1元硬幣，而可自由購買1～9元的產品，此時可支付的款項數 就恰好等於9個1元硬幣所決定的付款方式數，而不會有重複計算的問題

在本題中，(1) 小建將1個10元硬幣交換為2個5元硬幣後，可支付的款項

數會提升，這代表原本小建是無法將他手中的10元硬幣視為5元硬幣來 使用的，也就是說他原本並沒有5元硬幣。 (2) 小建將1個10元硬幣交換 為1個5元硬幣及5個1元硬幣後，可支付的款項數又再度向上攀升，代 表原本小建是無法將他手中的5元硬幣視為1元硬幣來使用的，也就是 說他原本擁有的1元硬幣少於4個。

假設小建原本擁有^a個50元硬幣、b個10元硬幣、c個5元硬幣及d個1元硬 幣，則由總面額99及上述討論可列出下列條件：

1. 原有組合

面額 個數 限制 可支付款項數

50 ^a a1

10 b b1 32

5 ^c c0

1 d d3

2. 將1個10元硬幣換為2個5元硬幣（只要有1個5元硬幣，則應將所 有的10元硬幣替換為5元硬幣，才不會造成款項計算上之重複）

面額 個數 限制 可支付款項數 50 ^a a1 (a1)(2b1)(d 1) 56

10 b0 b1

5 2b

1 d d3

3. 將1個10元硬幣換為1個5元硬幣及5個1元硬幣（只要有4個1元 硬幣，則應將所有的5元硬幣替換為1元硬幣，才不會造成款項計算 上之重複）

面額 個數 限制 可支付款項數

50 ^a a1

(a1)(d10b 1) 56

10 b0 b1

5 0

1 d  d 10b d 3

由 (a1)(2b1)(d 1) 56 及 a 1 2、2b 1 3、d 1 4 可推得：

(a1)(2b1)(d 1) 56 2 7 4   即 ( , , , ) (1,3,0,3)a b c d  。

【評析】

本題共有臺北市立蘭雅國中張高登同學、臺北縣立中和國中梁子慶同學、臺 中市立居仁國中郭昱廷同學等3位正確作答，三位同學皆掌握了原有 各面額硬幣數目的基本限制，可惜並未充分掌握以大面額硬幣取代小 面額硬幣使用的時機與限制，以及付款方式的計算方式與因數分解的 討論，以致於後續皆是以近乎窮舉的方式來分析確實的硬幣數目，造 成討論過程過於冗長。但三位同學對於此題的研究精神及在解題過程中 展現出對數學問題嚴密的探究思考能力，仍值得嘉許。