幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 5 5 章 空间解析几 章 空间解析几 何 何

高等数学 A

5 . 4 平面与空间直线

5. 4 平面与空间直线

5.4.2 空间直线及其方程

5.4.1 平面及其方程

引 例

平面的点法式方程

引 例

空间直线的对称式方程与参数方程 空间直线的一般式方程

两直线的夹角

直线与平面的夹角 平面的一般式方程

两平面的夹角

补充内容 1--- 点到直线的距离 补充内容 2--- 异面直线的距离 补充内容 3--- 平面束方程

引例：在空间直角坐标系中，平面具有什么特征？

决定一个平面的要素是什么？

5.4.1 平面及其方程

1 、两条相交的直线决定一个平面；

3 、两条平行的直线决定一个平面。

2 、三个不共线的点决定一个平面；

一、平面方程引例

4 、任给空间中某一点，及某一方向，过该定点且 垂直于给定的方向可且只可做一个平面。

以上哪种确定方式易于在空间直角坐标系中用解析式表示？

x

y z

o M0

M

如果一非零向量垂直于 一平面，这向量就叫做该 平面的法向量．

法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．

已知 ^{n  {A, B, C}, M}₀^(x₀^{, y}₀^{, z}₀^), 设平面上的任一点为 M(x, y, z)

n M

M₀  

必有  M₀M  n  0

二、 平面的点法式方程

^n

5.4.1 平面及其方程

} ,

,

{ _{0 0 0}

0M x x y y z z

M    



0 )

( )

( )

(  ₀   ₀   ₀ 

 A x x B y y C z z

平面的点法式方程

平面上的点都满足上方程，不在平面上的 点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，

平面称为方程的图形．

其中法向量 n  {A, B,C}, 已知点 ⁽x0^, y0^, z0^).

5.4.1 平面及其方程

平面点法式方程习例

例1求过三点A(2,1,4)_、B(1,3,2)_和 )

3 , 2 , 0 (

C _{的平面方程}^.

例 2 求 过 点 (1,1,1)， 且 垂 直 于 平 面 x  y  z  7 _和 0

5 12

2

3 x  y  z   _{的 平 面 方 程} ^.

例1求过三点A(2,1,4)_、B(1,3,2)_和 )

3 , 2 , 0 (

C _{的平面方程}^.

解 AB  {3, 4,6} } 1 , 3 , 2

{ 

 AC

取 n  AB  AC _{ {14, 9,1},}

所求平面方程为 14(x  2)  9( y  1)  (z  4)  0, 化简得 14x  9 y  z  15  0.

5.4.1 平面及其方程

一般地，设平面  _过 M₁, M₂, M₃ 三点 , M₁, M₂, M₃ 不共线^{M M}  . ₁即₂ ^{ M M}_{1 3} ^{ 0.}

则得平面方程为：_{M1M (M1M2  M1M3)  0,}

0

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

1 1

1





















z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x

即 x

平面的三点式方程

特别 , 当平面与三坐标轴的交点分别为

此式称为平面的截距式方程 .

) , 0 , 0 ( ,

) 0 , , 0 ( ,

) 0 , 0 ,

(a Q b R c

P

1



 c

z b

y a

x 时 ,

) 0 ,

,

(a b c 

bc a

x )

(   y(a)c  zab  0 abc

bz a acy

bcx   

平面方程为

P

o z

y x

R

Q

分析 : 利用三点式

按第一行展开得

即

 0 a

x  y z

 a b 0

 a 0 c

例 2 求 过 点 (1,1,1) ， 且 垂 直 于 平 面 x  y  z  7 _和 0

5 12

2

3 x  y  z   _{的 平 面 方 程} ^. },

1 , 1 , 1

1  { 

n n₂  {3,2,12}

取法向量 n  n₁  n_{2 {10,15, 5},}

, 0 )

1 (

5 )

1 (

15 )

1 (

10 x   y   z   化简得 2x  3 y  z  6  0.

所求平面方程为 解

5.4.1 平面及其方程

由平面的点法式方程

0 )

( )

( )

(x  x₀  B y  y₀  C z  z₀  A

0 )

( ₀  ₀  ₀ 







 Ax By Cz Ax By Cz

 D

 0





 By Cz D

Ax 平面的一般方程

法向量 n  {A,B,C}.

5.4.1 平面及其方程

三、平面的一般方程

平面一般方程的几种特殊情况：

, 0 )

1

( D  _{平面通过坐标原点；}

, 0 )

2

( A 







 , 0

, 0 D

D _{平面通过 轴；}x 平面平行于 轴；x

, 0 )

3

( A  B  平面平行于 坐标面；xoy

类似地可讨论 情 形 .

0 ,

0  



 C B C A

0 ,

0 

 C

类似地可讨论 情形B .

5.4.1 平面及其方程

 0





 By Cz D

Ax ( A²  B²  C ²  0)

平面一般式方程习例

例 3 指出下列平面的位置特点，并作出图形 : (1)x+y=4; (2)z=2.

例 5 求 平 行 于 平 面 6 x  y  6 z  5  0 _{而 与 三 个 坐}

标 面 所 围 成 的 四 面 体 体 积 为 一 个 单 位 的 平 面 方 程 .

例 3 指出下列平面的位置特点，并作出图形 : (1)x+y=4; (2)z=2.

解 (1) 式中不 含 z, 所以平面平 行于 z 轴

(2)z=2 表示过点

(0,0,2) 且垂直于 z 轴的平面

设平面为 Ax  By  Cz  D  0, 由平面过原点知 D  0,

由平面过点(6,3,2)_知6A  3B  2C  0 },

2 , 1 , 4 { 

 n

 4A  B  2C  0

3 , 2 C B

A   



. 0 3

2

2x  y  z  所求平面方程为

解

5.4.1 平面及其方程

例 5 求 平 行 于 平 面 6 x  y  6 z  5  0 _{而 与 三 个 坐}

标 面 所 围 成 的 四 面 体 体 积 为 一 个 单 位 的 平 面 方 程 . 设平面为    1,

c z b

y a

x

x

y z

, o

 1

V 1,

2 1 3

1  

 abc

由所求平面与已知平面平行得

6 , 1 1

1 6

1a  b  c

（向量平行的充要条件）

解

5.4.1 平面及其方程

6 , 1 1

6 1

c b

a  

化简得 令 t

c b

a    6

1 1

6 1

6 , 1 a  t

 1,

b  t , 6

1 c  t

t t

t 6 1 1

6 1 6

1  1   



代入体积式

6,

 1

 t

, 1 ,

6 ,

1  



a b c

. 6 6

6x  y  z  所求平面方程为

5.4.1 平面及其方程

我们目前已对平面本身的解析关系描述得较 清楚了 . 现在讨论两平面间的关系 .

一般说来，两平面的关系有以下几种 两平面平行不重合 .

两平面平行重合 . 两平面不平行相交

 两平面法向一致但无交点

 两法向一致且有交点

两平面垂直

相交但不垂直 ^{ 两法向不共线}

也不垂直

桥梁 法向夹角

定义 （通常取锐角）

1

n1

2

n2



两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角 .

, 0

: _{1 1 1 1}

1    

 A x B y C z D

, 0

: _{2 2 2 2}

2    

 A x B y C z D }, ,

,

{ _{1 1 1}

1 A B C

n 

}, ,

,

{ _{2 2 2}

2 A B C

n 

四、两平面的夹角

5.4.1 平面及其方程

按照两向量夹角余弦公式有

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 |

cos |

C B

A C

B A

C C B

B A

A













 



两平面夹角余弦公式 两平面位置特征：

2

) 1

1

(     A₁A₂  B₁B₂  C₁C₂  0;

2

) 1

2

( 

//

 ^.

2 1 2

1 2

1

C C B

B A

A  



5.4.1 平面及其方程

平行不重合

重合

A₁:A₂=B₁:B₂=C₁:C₂ D₁:D₂; A₁:A₂=B₁:B₂=C₁:C₂= D₁:D₂ . 特殊情形：

两平面的夹角习例

例 6 研究以下各组里两平面的位置关系

：(1)  x  2y  z  1  0, y  3z  1  0

0 1

2 2

4 ,

0 1

2 ) 2

( x  y  z    x  y  z   0 2

2 2

4 ,

0 1

2 ) 3

( x  y  z    x  y  z  

例 6 研究以下各组里两平面的位置关系

：(1)  x  2 y  z  1  0, y  3z  1  0

0 1

2 2

4 ,

0 1

2 ) 2

( x  y  z    x  y  z   0 2

2 2

4 ,

0 1

2 ) 3

( x  y  z    x  y  z   解 (1) _{2 2 2 2 2}

3 1

) 1 ( 2

) 1 (

| 3 1

1 2

0 1

cos |























 

 60

cos  1 _{两平面相交，夹角 .}

60 arccos 1

 

) 2

( n₁  {2,1,1}, n₂  {4,2,2} 2 ,

1 2

1 4

2

 

 

  两平面平行

2 1 (1,1,0)

) 0 , 1 , 1

(   M  

 M

两平面平行但不重合．

) 3

( ¹

2

2 1 1

= ,

4 2 2

D D

 

 

 

两平面重合 .



5.4.1 平面及其方程

例7设P₀(x₀,y₀,z₀)_是平面AxByCzD0

外一点，求P0_{到平面的距离}^.





 P₁(x₁, y₁, z₁)

| Pr

| j P₁P₀ d  _n

1 

P N

n

P0



0 0

1 0

Pr j_nP1P  P P  n

} ,

,

{ _{0 1 0 1 0 1}

0

1P x x y y z z

P    

解

5.4.1 平面及其方程



















 ₂  _{2 2 2 2 2 2 2 2}

0 , ,

C B

A

C C

B A

B C

B A

n A

0 0

1 0

Pr j_nP1P  P P  n



2 2

2

1 0

2 2

2

1 0

2 2

2

1

0 ) ( ) ( )

(

C B

A

z z

C C

B A

y y

B C

B A

x x

A





 





 





 

) , (

2 2

2

1 1

1 0

0 0

C B

A

Cz By

Ax Cz

By Ax













 

5.4.1 平面及其方程

1 0

1

1  By  Cz  D 

 Ax ( P₁  )

0  Pr j_nP1P

 ⁰ ₂ ⁰ ₂ ⁰ ₂ ^, C

B A

D Cz

By Ax











|.

|

2 2

2

0 0

0

C B

A

D Cz

By d Ax









 



点到平面距离公式

5.4.1 平面及其方程

引例：直线具有什么特征？如何确定一条直线？

F

5.4.2 空间直线及其方程

1 、任意一条直线都可以看成是两个平面的交线 . ；

3 、过一个点且与一个非零向量平行决定唯一一条直线；

2 、直线上任意两点的连线与一固定向量平行

一、 空间直线方程引例

x

y z

o

1

2

定义 空间直线可看成两平面的交线．

0

: _{1 1 1 1}

1    

 A x B y C z D

0

: _{2 2 2 2}

2    

 A x B y C z D





















0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

D z

C y

B x

A

D z

C y

B x

A

空间直线的一般方程

L

二、空间直线的一般方程

5.4.2 空间直线及其方程

空间直线一般方程表示式

• 通过空间直线 L 的平面有无数 多个，从中任两个方程联立，均表 示空间直线 L 。

L

L

0 . 0 0 ; : 0

.

轴 也表示

轴 表示

例如

所以直线方程不唯一

z y x

z x

z y x





















x

y z

o

方向向量的定义：

如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．

s _L

), ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M

M0

 ^{ M}

, L M 



), , ,

(x y z M

s M

M 

0

//

}, ,

,

{m n p

s  M₀M  {x  x₀, y  y₀, z  z₀}

三、空间直线的对称式方程与参数方程

5.4.2 空间直线及其方程

p z z

n y y

m x

x  ₀   ₀   ₀

直线的对称式方程

p t z z

n y y

m x

x  ₀   ₀   ₀ 

令



















pt z

z

nt y

y

mt x

x

0 0

0 直线的一组方向数

方向向量的余弦称为 直线的方向余弦 . 直线的参数方程

5.4.2 空间直线及其方程

p z z

n y y

m x

x

_{0 0}



₀

 

 

















 

   



0 0

0 ,

,

0

0 ,

0 ,

,

0 0 0

0 0

y y

x p x

n m

p z z

m y y

x x

m p

n m

时应该理解为 中有两个为

当

这时方程应理解为

例如 时

中有一个为 当

说明 : 某些分母为零时 , 其分子也理解为 零 .

直线方程 当

, 0

,

0  时



 n p m



 

0

y0

y

x x

0 0 0

0 0

x x y y z z p

  

 

可看成

空间直线方程习例

例 8 用对称式方程及参数方程表示直线

0. 4

3 2

0 1





















z y

x

z y

x

1 1 1 1 2 2 2 2

9 ( , , ) ( , , )

.

M x y z M x y z 例求和

的直的方程

过两点 线

例 8 用对称式方程及参数方程表示直线

0. 4

3 2

0 1





















z y

x

z y

x

解 在直线上任取一点 ( x₀, y₀, z₀ )

取 x₀  1 , 0 6

3

0 2

0 0

0 0















 

z y

z y

解得 y₀  0, z₀  2

点坐标(1,0,2),

5.4.2 空间直线及其方程

因所求直线与两平面的法向量都垂直 取 s  n₁  n_{2  {4,1,3},}

对称式方程 ,

3 2 1

0 4

1



 



 

 y z

x

参数方程 .

3 2

4 1





















t z

t y

t x

5.4.2 空间直线及其方程

解题思路 : 先找直线上一点 ;

再找直线的方向向量 .

特例 : 若直线的一般式方程中缺少变量，则可直接 变形为点向式方程及参数式方程，例如

3 2 5 0 3 4 0 x y

y z

  

   



1 1

2 3

1 1

3

x y

y z

 

 

 

    



3 3 2 2

1 3 3

x y

y z

   

    

1 1 1

2 3 1

x  y  z 

  

 

1 2 1 3

1

x t

y t

z t

  

   

   



.

) ,

, ( )

, ,

(

3 _{1 1 1 1 2 2 2 2}

的直线的方程

和 求过两点

例 M x y z M x y z

. ,

) ,

, (

1 2

1 1

2

1 1

2

1

1 2

1 2

1 2

2 1

称为直线的两点式方程 方程为

过这两点的直线 由直线的标准方程可知

可以取两点的方向向量 解

z z

z z

y y

y y

x x

x x

z z

y y

x x

M M

s



 



 













 

例 9

解 _{因为直线和}y_{轴垂直相交}^,

所以交点为 B(0,3, 0), 取 s  BA _{ {2, 0, 4},}

所求直线方程 .

4 4 0

3 2

2 

 

  y z x

5.4.2 空间直线及其方程

定义

直线 L₁ : ,

1 1 1

1 1

1

p z z

n y y

m x

x     

直线 L₂ : ,

2 2 2

2 2

2

p z z

n y y

m x

x     

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

1 2

1

| ) |

,

cos( m n p m n p

p p n

n m

L m

L     



 

^

两直线的方向向量的夹角称之 . （锐角）

两直线的夹角公式 四、两直线的夹角

5.4.2 空间直线及其方程

两直线的位置关系：

2

) 1

1

( L  L  m₁m₂  n₁n₂  p₁ p₂  0,

2

) 1

2

( L

//

L ^,

2 1 2

1 2

1

p p n

n m

m  



直线 L₁ :

直线 L₂ :

}, 0 , 4 , 1

1  { 

s

}, 1 , 0 , 0

2  { s

,

2 0

1  s  s 

  s₁ s₂ ,

例如，

2 .

1 L

L  即

5.4.2 空间直线及其方程

习例

解 设所求直线的方向向量为 s  {m, n, p}, 根据题意知 s n₁ , s n₂ ,

取 s  n₁  n_{2  {4,3,1},}

1 . 5 3

2 4

3 

 

  y z

所求直线的方程 x

解 先作一过点 M 且与已知直线垂直的平面  0

) 3 (

) 1 (

2 )

2 (

3 x   y   z   再求已知直线与该平面的交点 N,

令 x y z  t

 

 



1 2

1 3

1 2 1.

1 3





















t z

t y

t

M x

N

代入平面方程得 ,

7

 3

t 交点 )

7 , 3 7 ,13 7

(2  N

取所求直线的方向向量为 MN

MN 3}

7 , 3 7 1

,13 7 2

{2    

 ^},

7 , 24 7 ,6 7

{12 



所求直线方程为 .

4 3 1

1 2

2  



 

 y z

x

定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角．

,

: ^{0 0 0}

p z z

n y y

m x

L x 

 

 

, 0

:    

 Ax By Cz D

}, ,

,

{m n p s 

}, ,

,

{A B C n 



 _ 

 2 )

, (s

^

n

 _

 2 )

, (s

^

n

五、直线与平面的夹角



 

0 .

2



5.4.2 空间直线及其方程

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系：



 L )

1

( .

p C n

B m

A  



 L

) 2

(

//

^{ Am  Bn  Cp  0.}

 

.

cos 

 2









  cos 

sin 2

5.4.2



空间直线及其方程

解 n  {1,1, 2}, s  {2,1, 2},

2 2

2 2

2 2

| sin |

p n

m C

B A

Cp Bn

Am













 



9 6

| 2 2

) 1 ( ) 1 ( 2

1

|















  .

6 3

 7

6 3 arcsin 7



  _{为所求夹角．}

5.4.2 空间直线及其方程

k j

i

的距离 p

z z

n y y

m x

L : x  ¹   ¹   ¹ 为

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M _到直线

补充 1 　点

2 2

2

1

p n

m  

 x₁  x₀ y₁  y₀ z₁  z₀ p n

m d

 s

s M

d M 

 ^{0 1} s  (m,n, p)

) ,

,

( _{1 1 1}

1 x y z M

) ,

,

( _{0 0 0}

0 x y z

M L

补充 2 空间两条直线异面

n

l1

l2 '

l1

C



D

设 为两异面直线，其公共法向量为l₁,l₂ n, C 、 D 分别是 上任一点，则 间的距 离可转化为向量 在 n 上的射影长，

故

2 1,l

l l₁,l₂

CD

即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量 和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的 比值 .

1 2

1 2

1 2

1 2

( )

( , , )

CD n CD s s

d n s s

s s CD s s

  

 



 

    

  

  

 