幻灯片 1

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第 第 8 8 章 常微分方 章 常微分方 程 程

高等数学 A

8.3 几种高阶微分方程的解法

8.3.2 二阶线性微分方程的解法

8.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程

8.3 几种高阶微分方程的解法

非齐次方程求线性无关的解

—— 常数变易法

8.3.2 二阶线性

微分方程的解法 _{习例 1-2}

8.3.3 二阶常系数 齐次线性微分方程

建立模型

常系数方程的定义和解法 模型求解与分析

习例 3-6

n 阶常系数方程的通解 习例 7-9

二 阶 线 性 方 程 与 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 方 程 的 解 法

) (

*

) ( )

( )

(

y p x y q x y f x 的特解 y x

求方程      常

数 变 易 常法 数 变 易 法

) ( )

( )

(

_{1 1 2 2} 是齐方程的通解：

设 y x  C y x  C y x

 0

 

  p x y q x y

y ( ) ( ) (2)

) (

) (

_{1 1} ， _{2 2} 为待定的可微函数。

令 C  C x C  C x

) ( )

( )

( )

( )

(

_{1 1 2 2} 是非齐方程的解：

设 y x  C x y x  C x y x ) ( )

( )

(x y q x y f x ，

p

y      _{( 1 )}

则有y  C₁(x)y₁(x) C₁(x)y₁(x)  C₂(x)y₂(x)  C₂(x)y₂ (x )，

令 C₁(x)y₁(x) C₂(x)y₂(x)  0， (3)

以下推导的前提 以下推导的前提

二阶线性微分方程的常数变易法

于是 y  C₁(x)y₁(x)  C₂(x) y₂ (x )。 对上式两边关于 x 求导，

得 _{( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

2 2

2 2

1 1

1

1 x y x C x y x C x y x C x y x 。

C

y           

)

1 (

、 、 的表达式代入 式，得 将 y y y 

) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( _{1 1 1 2 2 2 2}

1 x y x C x y x C x y x C x y x

C        

)]

( ) ( )

( ) ( )[

(x C₁ x y₁ x C₂ x y₂ x

p   



) ( )]

( ) ( )

( ) ( )[

(x C₁ x y₁ x C₂ x y₂ x f x

q  



这两部分为零。

即 _{( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

2 2

1

1 x y x C x y x f x 。

C      (4)

联立 (3) 、 (4) 构成方程组

0 )

( ) ( )

( )

( _{1 2 2}

1 x y x  C x y x  ，

C

) ( )

( )

( )

( )

( _{1 2 2}

1 x y x C x y x f x 。

C     

, 0 )

(

2 1

2

1 



 

y y

y x y

系数行列式 w



) , (

) ) (

( ²

1 w x

x f x y

c  

 ,

) (

) ) (

( ¹

2 w x

x f x y

c 

积分可得 ^{c1(x)  C1 }



^{ y}_w^{2 f}₍⁽_x^x₎^{)dx, c2(x)  C2 }

^

^{yw1 f((xx))dx,}

1 1 2 2

2 1

1 2

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

= .

( ) ( )

y x C x y x C x y x

y f x y f x

y dx y dx

w x w x

 









非齐次方程通解为

) . (

) ( )

(

)

( ₁

2 2 1

2 2 1

1 ^{ }



^



 dx

x w

x f y y

x dx w

x f y y

y C y

C y

* y

. 1 1

1

1 的通解

求方程  

 

 

  y x

y x x y x

例 1

4

2 y (x 2)(x y y) x

x      

例 2 求方程 的通解．

. 1 1

1

1 的通解

求方程  

 

 

  y x

y x x y x

解

0 ,

1 1

1 1 

 

 

x x



x

对应齐方一特解为 y₁  e^x , 由刘维尔公式

 ^

 e

^{ }

dx e e

y

^xdx

x x

x 1

2 2

1

 x,

对应齐方通解为 Y  C₁x  C₂e^x. 例1

, )

( )

( ₂

1

e x

x c

x x c

y  

设原方程的通解为

应满足方程组

， ( ) )

(

₂

1

x c x

c  

 





 

 

 

 

1 )

( )

(

0 )

( )

(

2 1

2 1

x x

c e x

c

x c

e x

c x

x x

解得

  

 



 

x

xe x

c

x c

) (

1 )

(

2 1

2

2(x) xe e C

c   ^x  ^x 

1，

1(x) x C

c   

原方程的通解为 y  C₁x  C₂e^x  x²  x  1.

解上述可降阶微分方程 , 可得通解 :

例 2 求方程 x² y   (x  2)(x y  y)  x^{4 的通解 .}

解 : 对应齐次方程为 x² y   (x  2)(x y  y)  0

由观察可知它有特解 : y₁  x,

令 y  xu(x), 代入非齐次方程后化简得

x u

u    

) (

e ₂^{1 2}

2

1 C x x

C

u   ^x  

故原方程通解为

) (

e ¹₂ ^{3 2}

2

1x C x x x

C u

x

y    ^x  

D

D

C

8.3.3 二阶常系数 齐次线性微分方程

建立模型

常系数方程的定义和解法 模型求解与分析

习例 3-6

n 阶常系数方程的通解 习例 7-9

模型 .

x x

O 解 :

质量为 m 的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 , 在无外力作用下做自由运动 ,

初始 求物体的运动规律

0,

速度为v x  x (t).

立坐标系如图 , _设 t = 0 时物体的位置 x  x₀, 为

取其平衡位置为原点建

0

d 0

d v

t x

t _ 

0,

0 x

x _{t } 

2 

2

d d

t

x  k ² x  0 t

n x d 2 d

因此定解问题为

由 8.3.2 的模型可知 , 位移满足

常系数线性微分方程定义

)

1

(

) 1 ( 1 )

(

P y P y P y f x

y

ⁿ



^n







_n

 

_n



n 阶常系数线性微分方程的标准形式

 0

 

  p y qy y

二阶常系数齐次线性方程的标准形式

) ( x f

qy y

p

y     

二阶常系数非齐次线性方程的标准形式

二阶常系数齐次线性微分方程

 0

 

  p y qy

由齐次方程的解的结构定理知

y

, 欲求二阶常系数齐 次方程 ( 1) 的通解 , Y  C1y1  C2 y2

只需求出它的两个线性无关的特解 ^{y1, y2} . 问题：怎么求出它的两个线性无关的解？

) (

,

待定

是方程的解 假设

y



e^rx r

将其代入上方程 , 得

0 )

( r

²

 pr  q e

^rx

  e

^rx

 0 ,

 0

 

  p y qy y

故有

r

²

 pr q   0 (2)

根

,

特征方程

2

4

2 2

, 1

q p

r   p  

由此可见 , 只要 r 满足代数方程 ( 2), 函数 就是方程 ( 1) 的解 .

erx

y 

我们称代数方程 ( 2) 为方程 ( 1) 的特征方程 , 其根 称为方程 ( 1) 的特征根 .

说明 : 方程 ( 1) 的特征方程 ( 2) 是一个二次代 数方程 , 其中 r², r 的系数及常数项恰好依次 是方程 ( 1) 中y , y及y的系数.

0 (1)

y   py   qy 

2

0 (2)

r  pr q  

其特征方程为

. 0 13

6 )

3 (

; 0 4

4 )

2 (

; 0 5

) 1 (

. 1



 

 



 

 

 

 

y y

y

y y

y

y y

求下列方程的特征方程 例

的特征方程是

解 : ( 1 ) ^r

²

^{ 5 r  0}

0 4

4 )

2

( 的特征方程是 r

²

 r   0 13

6 )

3

( 的特征方程是 r

²

 r  

二阶常系数齐线性微分方程

) 1 (

 0

 

  p y q y y

的特征方程为

2 0

r  r p q  。

1 2

1 ^{r x} 2 ^{r x}

y  e ， y  e

是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程 (1) 的 通解为

1 2

1 1 2 2 1 ^{r x} 2 ^{r x}

y C y  C y  C e  C e 。

1 ）特征方程有两个不同的实根

r

₁

 r

₂

二阶常系数齐线性微分方程

) 1 (

 0

 

  p y q y y

的特征方程为

1 1

y er x

 

0

2  4q  ，

p

由求根公式 1,2 ²

4

2 2

p p q p

r   

   ，

2 0

r  r p q  。

1 2

r  r

1 ）特征方程有两个相同的实根（二重根）

是方程 (1) 的一个解

由刘维尔公式求另一个解：

1 1 1

1

d

( 2 )

2 2 d d

( )

p x

r x r x p r x

r x

y e e x e e x

e



  









2 1 0

p  r 

1 d 1

r x r x

e x x e





 ^。

于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通 解为

1 1 1

1 ^{r x} 2 ^{r x r x} ( 1 2 )

y C e  C x e  e C  C x 。

二阶常系数齐线性微分方程

) 1 (

 0

 

  p y q y y

的特征方程为

3) 特征方程有一对共轭复根： ^{r1   i  ，r2   i ,}

1 ( i ) 2 ( i )

1 ^{r x x}

2 ^{r x x}

y  e  e

^{ }

， y  e  e

^{ }

是方程 (1) 的两个线性无关的解，其通解为

)

i ( 2 )

i ( 1 2

2 1

1 y C y C e ^x C e ^x。

C

y    ^{ }  ^{ }

利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。

2 0

r  r p q  。

欧拉公式： e^i  ^cos  ^isin ^。

) sin

i

i (cos

) i (

1 e e e e x x ，

y  ^{  x}  ^{ x}  ^{ x}  ^{ x}   

) sin

i

i (cos

) i (

1 e e e e x x 。

y  ^{  x}  ^{ x}  ^{  x}  ^{ x}   

由线性方程解的性质：

cos

) 2 (

1

2 1

1 y y e x，

y^    ^{ x}  sin )

i ( 2

1

2 1

2 y y e x

y^    ^{ x} 

均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：

0 ]

sin

cos

[e x，e x  。

W ^{ x}  ^{ x} 

故当特征方程有一对共轭复根

1 i , 2 i

r    r   

时，原方程的通解可表示为

) sin

cos

(C₁ x C₂ x 。

e

y  ^{ x}   

二阶常系数齐线性微分方程 ^{y   p y  q y  0} 特征方程

特 征 根 通 解 形 式

1 2

r  r y C e ₁ ^{r x1}  C e₂ ^{r x2}

1 2

r  r y e ^{r x1} (C₁  C x₂ )

1,2 i

r    y  e^{ x}(C₁ cos  x  C₂ sin  x)

2 0

r  r p q  。

单实根 实重根

共轭复根

. 0

4

4 的通解

求方程 y   y   y 

. 0

5

2 的通解

求方程 y   y   y 

2 3 0 .

y  y  y  求方程的通解

例 4 例 3

例 5

例 6 求解初值问题 0 d

2 d d

d

2

2   s 

t s t

s

,

0  4



s t 2

d 0

d t t    s

. 0

4

4 的通解

求方程 y   y   y 

解 特征方程为

r

²

 4 r  4  0 ,

解得

r

₁

 r

₂

  2 ,

故所求通解为 y  (C₁  C₂x)e^2x. 例3

. 0

5

2 的通解

求方程 y   y   y 

解 特征方程为

r

²

 2 r  5  0 ,

解得

r

1 2_，

   1 2 i

故所求通解为

).

2 sin 2

cos

(C₁ x C₂ x

e

y  ^x 

例 4

例 5

0 3

2   

  y y

求方程 y _的通解 ^.

解 特征方

程 r²  2r  3 0,

特征根 : r₁  1, r₂  3 ,

因此原方程的通解为

x

x C

C

y  ₁ e^  ₂ e³

例 6 求解初值问题 0 d

2 d d

d

2

2   s 

t s t

s

,

0  4



s t 2

d 0

d t t    s

解 ^特征方程 r²  2r 1  0 ^有重根 r₁  r₂  1,

因此原方程的通解为 s  (C₁  C₂ t )e^t

利用初始条件得 C₁  4,

于是所求初值问题的解为 s  (4  2t )e^{ t}

2  2 C

方程 : ²₂  d

d t

x k ² x  0

特征方程 : r²  k ²  0, ^{特征根 :} r_{1, 2}  i k t

k C

t k C

x  ₁ cos  ₂ sin

利用初始条件得 : C₁  x₀,

故所求特解 :

t k k

t v k x

x  ₀ cos  ⁰ sin

A

) sin( 



 A k t

x0

k v₀



方程通解 :

1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )

k C₂  v⁰

 

0 0 2

02

02 , tan

v x k k

x v

A    

2 

2

d d

t

x  k ² x  0 t

n x d 2 d

解的特征 :

) sin( 



 A k t x

xA0

 A

x

O t

简谐振动 A: 振幅 ,  : 初相 , 周期 :

T  2k m :

k  c _固有频率

T



d 0 d

0

0  

 v

t x



下图中假设 ^x _t0 ^{ x}₀ ^{ 0,} t

( 仅由系统特性确定 )

方程 :

特征方程 : r²  2nr  k ²  0

2 2 2

,

1 n n k

r    

特征根 :

小阻尼 : n < k

这时需分如下三种情况进行讨论 :

2) 有阻尼自由振动情况

大阻尼 : n > k

临界阻尼 : n = k

2 

2

d d

t

x  k ² x  0 t

n x d 2 d

) sin

cos (

e C₁ t C₂ t

x  ^nt







) (



 k ²  n²

t r t

r C

C

x  ₁ e ¹  ₂ e ²

t

t n

C C

x  ( ₁  ₂ )e^

解的特征 解的特征 解的特征

小阻尼自由振动解的特征 :

) sin

cos (

e C₁ t C₂ t

x  ^nt







(



 k ²  n² )

由初始条件确定任意常数后变形

) sin(

e







 A ^ t

x ^nt

t x

O

T x0

运动周期 : 2π ;





T 振幅 : Ae^nt 衰减很快 ,

) 0 ,

0

(此图 x₀  v₀ 

随时间 t 的增大物体 趋于平衡位置 .

大阻尼解的特征 : ( n > k )

1) 无振荡现象 ;

t r t

r C

C

x  ₁ e ¹  ₂ e ²

2 2 2

,

1 n n k

r    

其中 ^{ }



ⁿ _ ^{n2  k 2}



^{ 0}

. 0 )

(

lim 



 x t

t

O t

x

x0 ^此图参数n 1.5, ^: k 1 5

.

0 1 x

073 .

0  5 v

2) 对任何初始条件

即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .

临界阻尼解的特征 : ^{( n = k )}

任意常数由初始条件定 ,

t

t n

C C

x  ( ₁  ₂ )e^ )

( )

1 x t 最多只与 t 轴交于一点 ;

: , ₂

1 取何值都有 无论C C

 

 ( ) lim

)

3 x t

t

即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置 .

. 0 e

) (

lim ₁  ₂ ^ 





t n

t C C t

2) 无振荡现象 ;

此图参数 : n  2

1 .

0  0 x

0 1

0 v

Ox x

y

n 阶常系数齐次线性微分方程

形如

) 1 (

1 0

) 1 ( 1 )

(  p y ^   p _ y  p y  

y ^{n n}  _{n n}

)

(实 常数。

为

的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，

,

,

p

₁ 

p

_n

其中

n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为

r Ce^{r x}

k _e^{r x}_{(C1  C x2   C xk} ^k1₎

一对共轭复根 2 项 e^{ x}(C₁ cos x  C₂ sin  x)

1

1 1 0

n n

n n

r  p r ^   p r p_  

1,2 i

r   

重复根 一对共轭 k

1,2 i

r   

2 k 项

cos

)

[(C₁ C₂x C x ¹ x

e^{ x}   _k ^k  ] sin

)

(D₁  D₂x   D_k x^k1  x

 

特 征 根 通 解 中 的 对 应 项

单实根 1 项 重实根

r

k 项

d 0 3 d d

3 d d

d ₂

2 3

3

的通解。

求方程    y  x

y x

y x

y

例 8 求下列方程的通解：

0

3 2

0 6

5 1

4 4

. )

(

; )

(

) (

) (



 



 

 

 

y y

y

y y

y 例

7

例 9 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的４个线性 无关的特解为

求这个微分方程及其通解 .

d 0 3 d d

3 d d

d ₂

2 3

3

的通解。

求方程    y  x

y x

y x

y

3 2

r  3r  3r  1 0 特征方程，

1 2 3

r   r r 1 特征根，

) (

_{1 2 3} ² 。

所求通解为 y  e^x C  C x  C x 例 7

解