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臺北市立建國高級中學第 125 期通訊解題題目解答與評析

12501

欲從1!, 2!, 3!, …, 2016!中取出1個數，使得其他所有數的乘積為完全平方數，

則取出的數為何？ (n! 1 2 3     n)

【簡答】1008!

【詳解】由 1! 2! 3! 4! 5! 6!       2015! 2016! (1!) 2 (3!) 4 (5!) 6²  ²  ²   (2015!) 2016² [(1!) (3!) (5!)    (2015!)]²2¹⁰⁰⁸1008!

可知須刪去1008!

【評析】1. 本題作答者有十人，平均得6.5分，其中台北市石牌國中的公奕同學、

台北市師大附中的簡駿騏同學、台北市懷生國中的姚勁宇同學、新北市中山國中的王勻同學、新北市文山國中的陳泓恩同學及新竹市培英國中的楊叮噹同學作答完整，得7分，值得嘉許。

2. 這樣的題目可以有幾個不同的想法入手，不過主要的精神就是配對，

可以針對所有的質因數分解再配對，也可以直接拿階乘配對，最後把乘下的再略做調整，即可得到答案。大部分的同學都能找到切入的重點，表達也都非常詳盡，頗令人驚豔，希望各位同學能繼續努力，在數學中找到樂趣。

12502

已知 f x( )是整係數多項式，且其各項係數均大於或等於0，若 f(1) 10 , (5) 206

f  ，則 _f₍₃₎可能的值有哪些？

【簡答】60, 64, 76

【詳解】設 f x( )a x_n ⁿa x_n_₁ ⁿ^¹  a x a₁  ₀，其中a_n 0, ak ⁰（0  k n 1

）。考慮 f(5) 206 ，即5ⁿa_n5ⁿ^¹a_n_₁  5a₁a₀206，因₅⁴ __{625 206}_ 且a_k 0（0  k n 1），所以n3。

(1) 若n3，則a₃a₂ a₁ a₀ 10且125a₃25a₂5a₁a₀ 206，所以31a₃6a₂ a₁ 49, ( , , , ) (1,3, 0, 6)a a a a3 2 1 0  ,(1, 2,6,1)，因此 ^f^{(3) 60, 64}^ 。

(2) 若n2，則a₂ a₁ a₀ 10且25a₂5a₁a₀ 206，所以6a₂ a₁ 49, ( , , ) (8,1,1)a a a2 1 0  ，因此 f(3) 76 。

【評析】本題的重點是要推論出 f x( )是一個最高三次的多項式，這次作答的9 位同學皆能掌握這個要點。

其中得到滿分7分的同學有：

台北市中正國中黃元顥、台北市石牌國中公　奕、

台北市師大附中簡駿騏、桃園市復旦國中傅彥綱、

新北市秀朗國小蔡杰達、新竹市培英國中張家翔、

新竹市培英國中楊叮噹。

此外，有2位同學因為少了一組解，故只得到5分：

台北市麗山國中江子新、新北市文山國中羅祐辰。

1

(2)

12503

學校舉辦籃球比賽，開放給一年級及二年級的同學自由報名。已知報名的隊伍數不超過30隊，且一年級比二年級多一隊。所有隊伍進行循環賽(即任兩隊均進行一場比賽)，每場比賽勝隊得積分3分，敗隊得積分0分，若兩隊平手則各得積分1分。所有比賽結束後，統計積分發現：

(1) 一年級彼此對戰的比賽中，分出勝敗的場數與平手的場數之比為2:1，

(2) 二年級彼此對戰的比賽中，分出勝敗的場數與平手的場數之比亦為2:1，

(3) 一年級對戰二年級的所有比賽中，分出勝敗的場數與平手的場數之比為2:1。

此外，一年級所有隊伍的總積分比二年級所有隊伍的總積分多了34分。

請問：一年級和二年級各有多少隊伍參加比賽？

【簡答】一年級7隊，二年級6隊

【詳解】假設二年級隊伍數為x，

一、二年級對戰的比賽中，一年級勝y場，二年級勝z場，平手a場。

由(3)得(y z a ) : 2 :1，且y z a x x   ( 1) 故 1

( 1)

a3x x ， 2

( 1) z3x x y

且二年級對戰比賽中分出勝敗的場數為2 1

( 1) 3 2 x x ，平手的場數為1 1

( 1) 3 2 x x 。

一年級對戰比賽中分出勝敗的場數為2 1

( 1) 3 2 x x ，平手的場數為1 1

( 1) 3 2 x x 。

因一年級的總積分比二年級的總積分多34分，

所以 1 1

3 ( 1) 2 ( 1) 3

3x x 6x x y a

      

1 1

3 ( 1) 2 ( 1) 3 34

3x x 6x x z a

         得9y3x² x 51，

因x, y均為整數，故x可被3整除，令x = 3k，

9y27k23k51 ² 1

3 6

3

y k k

   

1 3 k

為正整數，所以k = 3t – 1，故x 9t 3 又x  (x 1) 30 29

x 2

  35

t 18

   t 1，所以x = 6，

故一年級有7隊，二年級有6隊。

【評析】本題需要視題目給的條件設定適當之變數，列出關係式以求解。

此題共有7位同學作答，皆得到滿分7分：

台北市石牌國中公　奕、台北市麗山國中江子新、

桃園市復旦國中傅彥綱、新北市中山國中王　勻、

新北市光復國中董宥言、新竹市培英國中張家翔、

2

(3)

12504

如圖，設銳角三角形ABC的外接圓O在點B與C處的切線相交於P點。

證明：若D和E分別是P向直線^_AB和^_AC的投影，

則三角形ADE的垂心是線段_BC的中點_M 。

【證明】(1) 證明：_ME^_ _AB 設M 為_BC的中點。

由於三角形BPC為等腰三角形，故_PM __BC。因為__PMC_{ }_PEC_₉₀^，

所以MCEP四點共圓且MEP MCP。

又_CP為圓O之切線，可得MCP BAC，MEP BAC。因此，MEA BAC(90^ MEP) BAC90^

從而_ME^__AB 。

(2) 與(1)同理可得_MD^{}__AC。

因此，M 為三角形ADE的垂心。

3

(4)

【評析】本題作答的6位同學中，有5位完整的給出了證明，得到滿分7分：

台北市石牌國中公　奕、桃園市復旦國中傅彥綱、

新北市文山國中陳泓恩、新竹市培英國中張家翔、

12505

符號代表〝連乘積〞，對於任意二整數^{n m}^, （不妨假設m n ）以及k的函數 ( )

f k ，當k依序代入ⁿ至^m間的所有整數時，定義

( ) ( ) ( 1) ( 2) ( )

m k n

f k f n f n f n f m



      



^

試求

3 2

26

3 2

2

2 2 1

n

n n n



  

  



^的值。

【簡答】82251

【詳解】

3 2 3

2 2 1 ( 1) ( 1)

n n n n n n

     

      

2 2

( 1)( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 1) 1

( 1)( 1) 1 1

n n n n n n

        

  

     

3 2 2

26 26 26

3 2 2

2 2 2

2 2 1 ( 2) 1 ( 1) ( 1) 1

2 2 1 1 1

n n n

n n n n n n

  

 

          





   



  



   3 4 5 25 26 27 7 13 21 703

( ) ( )

1 2 3 23 24 25 3 7 13 651

            26 27 703

82251

1 2 3

   



【評析】本題共有11位同學作答，其中9位獲得滿分7分：

台北市中正國中黃元顥、台北市石牌國中公　奕、

台北市麗山國中江子新、新北市文山國中許崇淵、

新北市光復國中董宥言、新北市江翠國中董甄茵、

新北市秀朗國小蔡杰達、新竹市培英國中張家翔、

另2位同學，雖然列式正確，但因計算過程中發生失誤，導致錯誤的答案，所以酌減1分：

台北市師大附中簡駿騏、桃園市復旦國中傅彥綱。

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